19.2.4 证明举例-两线垂直 同步练习

19.2.4证明举例—两线垂直一、填空题1．如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件___，使得△EAB≌△BCD．二、解答题2．如图，△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC，且AD＝BD．求证：CD⊥AC．3．已知，，，．直线过点，交、于点、．（1）若是中线，求证：；（2）若，求证：．4．如图，在中，已知，平分，且，求证：．5．如图，在中，，点，、分别在边、、上，，，是的中点，求证：．6．将两块全等的直角三角形如图（1）摆放，其中，．

（1）

（2）（1）求证：；（2）将图中的绕点顺时针旋转得到图（2），、交于点，、交于，求证：．7．如图，在中，，，且，，求证：．8．如图，在中，，平分交于，是上一点，且，求证：．9．如图，≌，，．（1）求的长；（2）若、、在一条

直线上，则与垂直吗？为什么？10．如图，在△ABC中，AB=AC，D点在BA的延长线上，点E在AC上，且AD=AE，DE的延长线交BC于点F，求证：DF⊥BC．

19.2.4证明举例—两线垂直一、填空题1．如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件___，使得△EAB≌△BCD．【答案】AE=CB（答案不唯一）【详解】解：∵∠A=∠C=90°，AB=CD，∴若添加AE=CB可由“SAS”证得△EAB≌△BCD，故答案为：AE=CB（答案不唯一）二、解答题2．如图，△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC，且AD＝BD．求证：CD⊥AC．【答案】见解析【分析】过D作DE⊥AB于E，根据等腰三角形性质推出AE=AB，∠DEA=90°，求出AE=AC，根据SAS证△DEA≌△DCA，推出∠ACD=∠AED即可．【详解】过D作DE⊥AB于E，∵AD＝BD，DE⊥AB∴AE＝AB，∠DEA＝90°，∵2AC＝AB∴AE＝AC∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD，在△DEA和△DCA中，，∴△DEA≌△DCA，∴∠ACD＝∠AED，∴∠ACD＝90°，∴AC⊥DC．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出△DEA≌△DCA，主要培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目比较好，难度适中．3．已知，，，．直线过点，交、于点、．（1）若是中线，求证：；（2）若，求证：．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）延长至，使，易证≌，可得，，再根据可得，再利用∠BAC、∠BAE、∠EAD和∠DAC四个角和为360°，可得，利用△AEF的内角和可得，可得，即可证明≌，最后利用等角的余角相等的等量代换以及△ABN的内角和为180°可得出结论.（2）过点作交的延长线于，则，根据，可得；，可得，等量代换得出．根据周角等于360°，可得；根据三角形内角和可得，可得，则可证明≌（AAS），得到；易证≌，即可得到．【详解】解：（1）如图，延长至，使，∵是中线，∴．在和中，，∴≌（SAS）．∴，．∵，∴．∵，，∴．∵，∴．在和中，，∴≌（SAS）．∴．∵，∴．∴．在中，，∴．（2）如图，过点作交的延长线于，则，∵，∴．∵，∴．∴．∵，，∴．∵，∴．在和中，，∴≌（AAS）．∴．∵，∴．在和中，，∴≌（AAS）．∴．【点睛】本题考查三角形全等以及角度之间的等量代换，第（1）题通过“倍长中线”这一辅助线做法，构造全等三角形，从而得出角相等，在遇到有中线的题目，并且题中没有全等三角形，那么我们就可以通过延长中线，或者经过中点的线段，构造全等三角形；第（2）题是通过构造平行线，进而得到角相等，构造全等三角形，然后再根据角之间的等量代换，常见的就是等角的余角相等、等角的补角相等，当直角比较多的地方都可以想到这种方法.4．如图，在中，已知，平分，且，求证：．【答案】证明见解析【分析】在上截取，连结，可得BE=CD，由角平分线的定义可得∠CAD=∠EAD，推出△ACD≌△ADE，易得DE=CD、∠C=∠AED，即DE=BE，由等腰三角形的性质可得∠B=∠BDE，∠CAB=∠B，进而得到∠C=∠DEB=∠DEA，即可得到结论.【详解】证明：在上截取，连接，∵，∴．∵平分，∴．在与中，，∴≌．∴，．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．【点睛】本题考查全等三角形、等腰三角形的判定和性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.5．如图，在中，，点，、分别在边、、上，，，是的中点，求证：．【答案】证明见解析【分析】连结、，根据等腰三角形得到，利用SAS证明△BEF与△CFG全等，最后利用等腰三角形”三线合一”的性质证明即可.【详解】证明：连接、∵∴．在与中，，∴≌（SAS）．∴．∵是的中点，∴．【点睛】本题考查的是全等三角形和等腰三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定方法是解答本题的关键.6．将两块全等的直角三角形如图（1）摆放，其中，．

（1）

（2）（1）求证：；（2）将图中的绕点顺时针旋转得到图（2），、交于点，、交于，求证：．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【分析】（1）根据直角三角形的性质，可得∠A＋∠ABC＝90°，根据余角的性质，可得∠D＋∠ABC＝90°，∠D＋∠DBF＝90°，即可证明；（2）△ECM和△BCN，根据全等三角形的性质，可证明．【详解】（1）如图延长交于点，∵，，∴．∴．∵，∴．∴．∴．（2）∵，，∴．在和中，，∴≌（ASA）．∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了余角的性质，直角三角形的判定，全等三角形的判定与性质．7．如图，在中，，，且，，求证：．【答案】详见解析【分析】根据可得，即可证明≌，即可证明.【详解】∵，∴．在和中，，∴≌（SAS）．∴．∴．∴．【点睛】本题考查等边三角形的性质以及判定，难度不大，注意利用全等三角形的知识证明线段的相等．8．如图，在中，，平分交于，是上一点，且，求证：．【答案】详见解析【分析】作EF⊥AC于F，再根据等腰三角形的性质可得AF＝AC，再证明△ABE≌△AFE可得∠ABE＝∠AFE＝90°．【详解】作于点，∵，∴．∵，∴．∵平分交于，∴．在和中，，∴≌（SAS）．∴．∴【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定定理．9．如图，≌，，．（1）求的长；（2）若、、在一条

直线上，则与垂直吗？为什么？【答案】详见解析【分析】（1）根据三角形全等，得出边相等即可求出的长；（2）根据全等三角形的对应角相等和平角的定义解答．【详解】（1）∵≌，∴，．∴．（2）∵≌，∴．又、、在一条直线上，∴．∴．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．10．如图，在△ABC中，AB=AC，D点在BA的延长线上，点E在AC上，且AD=AE，DE的延长线交BC于点F，求证：DF⊥BC．【答案】见解析证明．【详解】试题分析：过A作AM⊥BC于M，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出∠BAC=2∠BAM，由三角形外角的性质及等边对等角的性质得出∠BAC=2∠D，则∠BAM=∠D，根据