《简单的三角恒等变换》教学设计二

高中数学精选资源2/2《简单的三角恒等变换》教学设计二教学设计一、导入新课三角函数的化简、求值、证明都离不开三角恒等变换.学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式以后,我们就有了进行三角变换的新工具,从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活.三角变换不同于代数变换,后者往往着眼于式子结构形式的变换,变换内容比较单一.而对于三角变换,不仅要考虑三角函数式结构形式方面的差异,还要考虑三角函数式所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异.它是一种立体的综合性变换,从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形,这是三角恒等变换的一个重要特点.例如,在二倍角公式中是的二倍,是的二倍,那么能用的三角函数表示出来吗？反过来,你能用表示出,和吗？二、新知探究1.探究二倍角公式的变形.思考1：我们知道倍角公式中,“倍角”是相对的,那么对二倍角的余弦公式,若用替换,用代替,结果怎样？提示：.思考2：根据上述结果,试用,表示,,.提示：,,同理,.思考3：利用和倍角公式又能得到与,怎样的关系？提示：,.结论：,,.2.探究和、差角公式的变形.思考4：和、差角的正弦、余弦公式有哪些？它们进行和与差的运算会出现什么结果？提示：（1）两角和与差的正弦公式：；.（2）两角和与差的余弦公式：；.将前两个公式、后两个公式的左右两边分别相加、减可以得到：①；②；③；④.思考5：如果令,,则,,把,的值分别代入①②③④,你能得到什么结论？提示：；；；.三、例题剖析例1试以表示,,.想一想1：与有什么关系？想一想2：二倍角的余弦公式是如何表示的？想一想3：同角三角函数的商数关系如何？解：是的二倍角.在倍角公式中,以代替,以代替,得,所以.在倍角公式中,以代替,以代替,得,所以.将上述两个式子左右两边分别相除,得.本例的结果还可以表示为：,,,并称之为半角公式,符号由所在象限决定.归纳总结：半角公式根号前的符号由所在象限决定,若没有给出限定符号的条件,则在根号前保留正、负号；若给出了角的具体范围（或某函数值的正、负情况）,则先求出的范围,再确定符号.若给出了所在的象限,可根据下表判定符号：第一象限第一、三象限+、-+、-+第二象限第一、三象限+、-+、-+第三象限第二、四象限+、--、+-第四象限第二、四象限+、--、+-练习：教材第84页练习第1题.例2求证：（1）；（2）.想一想1：我们学过的两角和与差的公式中哪些包含呢？想一想2：（1）式左边两个三角函数式体现乘积的形式,我们学过的和（差）角公式中有乘积的形式吗？想一想3：（1）式与（2）式的左右两边在结构形式上有什么不同？证明：（1）因为,,将以上两式的左右两边分别相加,得,即.（2）由（1）可得.①设,,则,,把,的值代入①,即得.归纳总结：例8的证明用到了换元的方法.如把看作,看作,从而把包含,的三角函数式转化为,的三角函数式.或者,把看作,看作,把等式看作,的方程,则原问题转化为解方程（组）求.它们都体现的化归思想.练习：教材第84页练习第2,3题.四、课堂小结本节主要学习了怎样推导半角公式、积化和差公式与和差化积公式,以及如何利用已有的十一个公式进行简单的三角恒等变换.在解题过程中,应注意对三角函数式的结构形式进行分析,根据结构特点选择合适公式,进行变形.还要思考一题多解、一题多变,并体会其中的一些数学思想,如换元、方程思想,“1”的代换,逆用公式等.五、巩固提升教材第87页练习第1、2、3题.板书设计第1课时利用公式进行简单的恒等变换一、导入新课二、新知探究1.探究二倍角公式的变形2.探究和、差角公式的变形三、例题剖析例1半角公式：例2积化和差与和差化积公式积化和差公式和差化积公式：四、课堂小结五、巩固提升教学研讨教学时,注意以下问题：1.三角变换,应注意三角函数种类和式子结构形式等特点的变化,分析透彻.找到它们之间的联系,即学会“三看”——“看角、看函数、看结构”,达到统一变形.