3.1 圆（B卷能力拓展） -2021-2022学年九年级数学下册同步分层练习（基础巩固＋能力拓展北师大版）（解析版）

3.1圆学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________B卷（能力拓展）一、选择题1．（2021—2022·河南九年级期中）已知的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程没有实数根，则点P（）A．在的内部 B．在的外部C．在上 D．在上或在的内部【答案】B【分析】根据一元二次方程没有实数根列根的判别式，求出，再根据点与圆心的距离判断点的位置关系．【详解】解：∵方程没有实数根，∴∆，即，解得，∵的半径为1，点P到圆心O的距离为d，∴d大于圆的半径，∴点P在的外部，故选：B．【点睛】此题考查点与圆的位置关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的三种情况是解题的关键．2．（2021—2022河南九年级期中）如图，如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，，与x轴分别交于A，B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，据此求解可得．【详解】解：连接，，，，，若要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，过点作轴于点，则、，，又，，，故选：D．【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．3．（2021—2022浙江温州九年级期中）如图，函数的图象与x轴交于A，B两点，点C是以为圆心，2为半径的圆上的动点，P是的中点，连结，则线段的最小值是（）

A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】连接BC、BM、CM，根据题意得，然后由三角形的中位线定理，可得到，从而当BC最小时，OP最小，又由，得到当B、C、M三点共线时，BC=BM-MC，即可求解．【详解】解：如图，连接BC、BM、CM，

令y=0，则，解得：，∵函数的图象与x轴交于A，B两点，∴，，∴，∵P是的中点，∴，∴当BC最小时，OP最小，∵，∴，即当B、C、M三点共线时，BC=BM-MC，∵，MC=2，∴BC的最小值为4-2=2，∴OP的最小值为1．故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，圆的基本性质，线段最小值的问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．4．（2021—2022江苏惠山九年级期中）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB，则△PAB面积的最小值为（）A．5.5 B．10.5 C．8 D．12【答案】A【分析】过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，可求圆C上点到直线的最短距离，由此求得答案．【详解】解：过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴令，则；令，则；∴点A为（4，0），点B为（0，），∴；∴OA=4，BC=，则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，∴5×CM=16，∴CM=，∴圆C上点到直线的最小距离是

，∴△PAB面积的最小值是

；故选：A．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最小距离，属于中档题目．二、填空题5．（2021—2022江苏亭湖·九年级月考）矩形ABCD中，边AB＝6cm，AD＝8cm，以A为圆心作⊙A，使B、C、D三点有两个点在⊙A内有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是____．【答案】8cm<r<10cm【分析】根据矩形的性质及勾股定理求出AC，再根据点与圆的位置关系解答．【详解】解：矩形ABCD中，边AB＝6cm，AD＝8cm，，∴BC=AD=8cm，∴cm，∵以A为圆心作⊙A，使B、C、D三点有两个点在⊙A内有一点在⊙A外，∴⊙A的半径8cm<r<10cm，故答案为：8cm<r<10cm．【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，点与圆的位置关系，熟记各定理并熟练应用解决问题是解题的关键．6．如图，点A在半径为3的内，，P为上一点，当取最大值时，的长为________．【答案】【分析】过作，由正弦的定义可得，因为是定值，当最大时，则最大，勾股定理求得此时的即可．【详解】过作，如图，，，是定值，当最大时候，取得最大值，即，此时，，由勾股定理可得．故答案为：．【点睛】本题考查了正弦的定义，圆的基本性质，勾股定理，根据正弦求得最大值时候的长度是解题的关键．7．（2021—2022湖北丹江口九年级期中）如图，中，是边上的一个动点，过点作垂足为则长的最小值为_______________________．【答案】2【分析】取BC中点F，连接AE、EF．易得点E在以BC长为直径的圆周上上运动，当点A、E、F在同一直线上时，AE最短．据此计算即可．【详解】解：如图，取BC中点F，连接EF．∵CE⊥BD，∠BEC=90°，∴点E在以BC长为直径的圆周上上运动，当点A、E、F在同一直线上时，AE最短．∵CA=4，CB=6，∴BF=BF=EF=BC=3，∴AF==5，∴AE=AF-EF=5-3=2，即AE的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查了线段最小值，正确理解圆外一点到圆上的最短距离等于点与圆心连线与圆的交点到点到这点的线段长是解题的关键．8．（2021—2022江苏省锡山九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（-6，8），B（-6，0），以A为圆心，4为半径作⊙A，点P为⊙A上一动点，M为OP的中点，连接BM，设BM的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为___．【答案】4【分析】在x轴上取一点E（-12，0），连接PE．由OM＝PM，OB＝BE，推出BM＝PE，因为点P在⊙A上运动，所以P，A，B共线时，可以取得最大值或最小值，最大值＝EP′＝10＋4＝14，最小值EP″＝10−4＝6，由此即可解决问题．【详解】解：在x轴上取一点E（－12，0），连接PE．∵点A（-6，8），B（-6，0），∴OB＝BE＝6，AE＝，∵OM＝PM，OB＝BE，∴BM＝PE，∵点P在⊙A上运动，∴P，A，B共线时，可以取得最大值或最小值，最大值＝EP′＝10＋4＝14，最小值EP″＝10−4＝6，∴m＝7，n＝3，∴m−n＝4，故答案为4．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．9．（2021—2022广东惠阳九年级期中）如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA，PB，则PAB面积的最大值与最小值之和是___．【答案】【分析】过作于，的延长线交于，连接，根据一次函数求出点A、B的坐标，然后利用等面积即可求出CM的值，根据圆上距离直线AB最近的点为CM与的交点，从而求出面积的最小值，根据圆上距离直线AB最远的点为，即可求得最大值，进而求得答案．【详解】解：过作于，连接，将x=0，代入中，得y=-3，将y=0代入中，得x=4∴点B的坐标为（0，-3）点A的坐标为（4,0）∴OA=4，OB=3，BC=1－（-3）=4根据勾股定理可得AB=则由三角形面积公式得，，∴，∴，的半径∴圆上点到直线的最小距离是，即点P为CM与的交点时∴面积的最小值是，当圆上点到直线的最大距离是，即点P为CM与的交点时∴面积的最小值是，故答案是：．【点睛】此题考查的是求一次函数图象与坐标轴的交点坐标、圆上动点问题和三角形的面积，掌握坐标轴上点的坐标特征、利用等面积求高和求圆上距离直线最近的点到直线的距离是解决此题的关键．三、解答题10．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在左边），抛物线经过点，顶点为M．（1）写出M点的坐标，并指出函数y最值？求a的值．（2）以AB为直径画，试判定点D与的位置关系，并证明．【答案】（1），最小值为，；（2）点D在上，理由见解析【分析】（1）根据二次函数顶点式求法直接的出二次函数的顶点坐标以及二次函数的最值；把代入直接求出a的值；（2）首先求出二次函数与x轴的交点坐标，进而求出P点的坐标，得出PE=4，DE=3，从而得出PD的长，判断出D与的位置关系．【详解】解：（1）∵抛物线，∴顶点为；∴该函数有最小值，最小值为；∵抛物线经过点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为，（2）点D在上，理由如下：∵，令，则，解得：，，∴，，∴，，∵以AB为直径画，∴，即的半径为5，∴，∴，如图，过点D作DE⊥x轴于点E，∵，∴，，∴，∴PD与的半径相等，∴点D在上．【点睛】此题主要考查了二次函数的最值以及顶点式和点与圆的位置关系等知识，判定点与圆的位置关系得出点与圆心距离等于半径是解决问题的关键．11．（2021—2022湖南长沙市九年级月考）如图，圆心M（3，0），半径为5的⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C点，抛物线经过A、B、C三点．（1）求抛物线的解析式．（2）求圆M上一动点P到该抛物线的顶点Q的距离的最小值？并求出此时P点的坐标．（3）若OC的中点为F，请问抛物线上是否存在一点G，使得∠FBG＝45°，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）当时，的值取最小为；（3）存在，，【分析】（1）求出A、B、C三点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式，将A、B、C三点坐标代入解析式组成方程组，解方程组即可；（2）把抛物线的解析式化为顶点式，根据点的坐标与圆心连线交圆于P即可得出结果；（3）分两种情况讨论，先求出，，再分别和抛物线联立组成方程组，解方程组即可．【详解】解：（1）连接MC，∵⊙M的圆心M（3，0），半径为5，∴OA=AM-OM=5-3=2，OB=BM+OM==5+3=8，∴A（-2，0）、B（8，0），在Rt△OCM中，∴OC==4，

C（0，-4），

∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），

∴，∴，

∴所求抛物线的关系式为：．（2）连结MQ交⊙M于P，则PQ最短，∵，∴抛物线的顶点，∵圆心M（3，0），∴M、P、Q在平行于y轴的直线上，而⊙M的半径为5，∴当时，的值取最小，∴．（3）∵C（0，-4），OC的中点为F，∴，分两种情况，BG在BF下方时，连结FB，过点F作FH⊥BF交直线BG于H，过H作HE⊥y轴于E，，∴∠FHB=180°-∠BFH-∠FBH=180°-90°-45°，∴∠FHB=∠FBH=45°，∠HFB=90°，为等腰直角三角形，∴FH=FB，∵∠OFB+∠DOBF=∠OFB+∠EFH=90º，∴∠OBF=∠EFH，在△OFB和△EHF中，，∴△OFB≌△EHF（AAS），∴OF=EH=2，OB=EF=8，∴OE=OF+EF=2+9=10，∵点H在第四象限，∴点H（2，-10），设HB的解析式为，把，B（8，0）、代入，，解得，∴，点G是直线与抛物线的交点，，消去y得：，解方程得：或8（舍），则，BG在FB上方时，连结FB，过点F作FH1⊥BF交直线BG于H1，过H1作H1E⊥y轴于E1，∴，∴∠FH1B=180°-∠BFH1-∠FBH1=180°-90°-45°，∴∠FH1B=∠FBH1=45°，∠H1FB=90°，为等腰直角三角形，∴FH1=FB，∵∠OFB+∠OBF=∠OFB+∠EFH1=90º，∴∠OBF=∠E1FH1，在△OFB和△E1H1F