27.6 正多边形与圆（作业）（解析版）

27.6正多边形与圆（作业）一、单选题1．（2019·上海江湾初级中学九年级三模）⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根据题意可以求出这个正n边形的中心角是60°，即可求出边数.【详解】⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则这个正n边形的中心角是60°，n的值为6，故选C【点睛】考查正多边形和圆，求出这个正多边形的中心角度数是解题的关键.2．（2020·上海）如果正十边形的边长为a，那么它的半径是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，画出图形，在直角三角形OAM中，直接利用三角函数即可得到OA.【详解】如图，正十边形的中心角∠AOB=360°÷10=36°，AB=a∴∠AOM=∠BOM=18°，AM=MB=a；∴OA==故选C.【点睛】本题考查三角函数，能够画出图形，找到正确的三角函数关系是解题关键.3．（2020·上海九年级二模）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形的内角和为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算可求出这个多边形的边数，然后根据多边形的内角和公式（n-2）×180°可得出结果．【详解】解：根据题意可得，这个多边形的边数为：360÷72=5，∴这个多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．

故选：B．【点睛】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算以及多边形的内角和公式，掌握正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键．4．（2019·上海市嘉定区丰庄中学九年级二模）已知正六边形的边心距为3，则它的半径为（）A．2 B．4 C．23 D．43【答案】A【分析】设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作OG⊥AB与G，在直角△OAG中，根据三角函数即可求得OA．【详解】如图，在Rt△AOG中，OG＝3，∠AOG＝30°，∴OA＝OG÷cos30°＝3÷32故选A．【点睛】本题主要考查正多边形的计算问题，常用的思路是转化为直角三角形中边和角的计算．5．（2020·上海九年级专题练习）正六边形的半径与边心距之比为（）A．1：3 B．3：1 C．3：2 D．2：3【答案】D【分析】边心距：是指正多边形的每条边到其外接圆的圆心的距离,正六边形的边长就等于其外接圆的半径.它的边心距等于边长的32倍..正多边形的边心距就是其内切圆的半径【详解】∵正六边形的半径为R，∴边心距r＝32R∴R：r＝1：32＝2：3，故选：D【点睛】本题主要考查了正多边形的半径与边心距之比，解决本题的关键是掌握边心距的求法.6．（2019·上海市嘉定区唐行九年制学校九年级二模）下列四个命题中，错误的是（）A．所有的正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴B．所有的正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心C．所有的正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角D．所有的正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补【答案】B【分析】利用正多边形的性质、对称性、中心角的定义及中心角的性质作出判断即可．【详解】A、正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴，正确，故此选项不符合题意；

B、正奇数多边形不是中心对称图形，错误，故此选项符合题意；

C、正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角，正确，故此选项不符合题意；

D、正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补，正确，故此选项不符合题意．

故选B．【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是正确的理解正多边形的有关的定义．7．（2019·上海市西南模范中学九年级二模）若一个正九边形的边长为，则这个正九边形的半径是()A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据题意画出图形，经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C．接OA，则在直角△OAC中，∠AOB=．OC是边心距，OA即半径．根据三角函数即可求解．【详解】解答：如图所示，过O作OC⊥AB于C，则OC即为正九边形的边心距，连接OA，

∵此多边形是正九边形，∴∠AOB==40°，OA=OB，

∴∠AOC=∠AOB=×40°=20°，

∵AB=a，∴AC=a，

∴OA===．

故选D．【点睛】本题考查了正多边形和圆，关键是构造直角三角形，利用圆内接正多边形的性质及直角三角形中三角函数的定义解答．8．（2020·上海九年级一模）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A． B． C．2 D．2【答案】D【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【详解】过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=CD=1，AD=BD=，∴△ABC的面积为BC•AD==，S扇形BAC==，∴莱洛三角形的面积S=3×﹣2×=2π﹣2，故选D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．二、填空题9．（2019·上海交大附中九年级）如图，是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为________．【答案】【分析】假设圆心为O，正五边形的内切圆与AB的切点为F，连接OA、OF，设OA=R，OF=，则根据切线定理、勾股定理及圆环的面积公式可直接求解．【详解】连接OA、OF，设OA=R，OF=；AB与⊙O相切，五边形ABCDE是正五边形，AB=1，，AF=在中，即又，．故答案为．【点睛】本题主要考查正多边形与圆的关系，熟练掌握正多边形的性质及圆的性质是解题的关键．10．（2020·上海大学附属学校九年级三模）正五边形绕着它的中心至少旋转_______度，能与它本身重合．【答案】72【分析】如图（见解析），先根据正五边形的性质可得，正五边ABCDE至少旋转的度数为的度数，再根据正五边形的性质求解即可得．【详解】如图，由题意可知，所求的问题为的度数由正五边形的性质得：又故答案为：72．【点睛】本题考查了图形的旋转、正五边形的性质，理解题意，掌握正五边形的性质是解题关键．11．（2020·上海九年级二模）已知正三角形的边心距为，那么它的边长为________．【答案】【分析】此题由题意做出图，做出边心距根据勾股定理求解即可．【详解】由题意作图，再作OP⊥BC，OP的长即为边心距，即OP=1，由△ABC是正三角形，∴∠ABC=60°，又∵OP平分∠ABC，则∠OBP=30°，∴OB=2OP，由勾股定理知：BP==，∴BC=，即边长为，故答案为．【点睛】本题考查三角形外接圆与圆心的关系，中间用勾股定理解题是关键．12．（2020·上海九年级二模）如图，在正六边形ABCDEF中，如果向量，，那么向量用向量，表示为____．【答案】22．【分析】如图，连接交于．则是等边三角形，，根据三角形法则求出即可解决问题．【详解】如图，连接BE交AD于O．∵ABCDEF是正六边形，∴△AOB是等边三角形，AO=OD，∴∠FAO=∠AOB=60°，OB=AB=AF，∴AF∥OB，∴，∵，∵AD=2AO，∴22．故答案为：22．【点睛】本题考查正多边形与圆，平面向量，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．三、解答题13．（2020·上海九年级一模）如图,在⊙O中,AB、CD是两条弦,⊙O的半径长为rcm,弧AB的长度为cm,弧CD的长度为cm(温馨提醒:弧的度数相等,弧的长度相等,弧相等,有联系也有区别)当=时,求证:AB=CD【分析】利用弧长公式得出圆心角相等，再利用圆心角，弧，弦之间的关系即可证明.【详解】解：令∠AOB=α，∠COD=β.∵=，∴∵AB和CD在同圆中，r1=r2，∴α=β，∴AB=CD【点睛】本题主要考查弧长公式及圆心角，弧，弦之间的关系，掌握圆心角，弧，弦之间的关系是解题的关键.14．（2014·上海）如图，已知AD既是△ABC的中线，又是角平分线，请判断：（1）△ABC的形状；（2）AD是否过△ABC外接圆的圆心O，⊙O是否是△ABC的外接圆，并证明你的结论．试题分析：（1）过点D作DE⊥A