2.4 二次函数y=a（x-h）²的图像与性质（A卷基础巩固） -2021-2022学年九年级数学下册同步分层练习（基础巩固＋能力拓展北师大版）（解析版）

2.4二次函数的图像与性质学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A卷（基础巩固）一、选择题1．（2021·内蒙古九年级月考）抛物线的顶点坐标是（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据抛物线的解析式得出顶点坐标即可．【详解】解：抛物线的顶点坐标是（2，0），故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为(，)．2．（2021·长沙市九年级月考）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下 B．对称轴是直线C．顶点坐标为（，0） D．时，y随x的增大而减小【答案】D【分析】根据抛物线的性质由a=-2得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为（-5，0），对称轴为直线x=-5，当x＜-5时，y随x的增大而增大逐一判断即可得出答案．【详解】解：二次函数y=-2（x+5）2的图象开口向下，顶点坐标为（-5，0），对称轴为直线x=-5，当x＜-5时，y随x的增大而增大，故A、B、C正确，D不正确，故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．3．若抛物线的顶点在轴正半轴上，则的值为（）A． B． C．或 D．【答案】A【解析】试题分析：根据题意可得：，解得：m=5，故选择A．【点睛】本题主要考查的就是二次函数的顶点位置，属于简单题型．对于二次函数的顶点坐标为(m，0)，当m=0时，顶点在坐标原点；当时，顶点在x轴的正半轴上；当时，顶点在x轴的负半轴上．解决这些问题，我们都需要利用配方将函数转化为顶点式，然后再进行计算得出答案．4．（2021·全国九年级课前预习）抛物线y＝－3（x＋2）2不经过的象限是（）A．第一、二象限 B．第一、四象限C．第二、三象限 D．第三、四象限【答案】A5．二次函数的图象如图，则下列正确的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【分析】利用图象，抛物线开口向下，得；利用对称轴在y轴左侧，得，即可解答.【详解】由图象可知，抛物线开口向下，；对称轴在y轴左侧，；故选D【点睛】本题考查根据二次函数图象分析a和对称轴，属于基础题，难度低，熟练掌握二次函数相关知识点是解题关键.6．（2021·西藏拉萨九年级月考）若抛物线y=a（x-h）的对称轴是直线x=-1，且它与函数y=3x的形状相同，开口方向相同，则a和h的值分别为（）A．3和-1 B．-3和1 C．3和1 D．-1和3【答案】A【分析】根据抛物线y=a（x-h）的对称轴是直线x=-1，且它与函数y=3x的形状相同，开口方向相同，即可得到，从而得到答案．【详解】解：∵抛物线y=a（x-h）的对称轴是直线x=-1，且它与函数y=3x的形状相同，开口方向相同，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．7．（2019·山西九年级期末）下列哪个函数的图象不是中心对称图形A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：根据中心对称图形的概念与一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象，正比例函数图象的形状，对各选项分析判断后利用排除法求解．A、图象是直线，B、图象是双曲线，D、图象是直线，均是中心对称图形，故错误；C、图象是抛物线，不是中心对称图形，故本选项正确.考点：中心对称图形，函数的图象点评：解题的关键是熟练掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．8．（2020·陆丰市九年级月考）已知二次函数，当时，随着的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，的值为（）A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】根据题意可得二次函数的对称轴x=-2，进而可得h的值，从而可得函数解析式，再把x=0代入函数解析式可得y的值．【详解】由题意得：二次函数y=-（x+h）2的对称轴为x=-2，∴h=2∴函数解析式，∴当时，故选D.【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数顶点式y=a（x-h）2+k，对称轴为x=h.9．二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求出二次函数对称轴，，开口向上，再分段讨论函数的增减性即可解答.【详解】二次函数，对称轴为，，开口向上当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大y随x的增大而增大故选A【点睛】本题考查二次函数增减性的分析，熟练掌握利用顶点式求抛物线对称轴以及分段讨论二次函数增减性是解题关键.10．在正比例函数中，随的增大而减小，则二次函数的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正比例函数中，随的增大而减小，可知；利用抛物线顶点式，对称轴为x=h，可知二次函数的对称轴为，结合图象，即可解答.【详解】∵在正比例函数中，随的增大而减小∴∴二次函数，开口向下，对称轴为故选B【点睛】本题考点涉及正比例函数增减性与k的关系、抛物线开口方向、利用抛物线顶点式求对称轴等知识点，熟练掌握各个知识点是解题关键.二、填空题11．（2021·西藏拉萨九年级月考）抛物线最小值___．【答案】0【分析】根据二次函数开口向上在顶点处取得最小值进行求解即可．【详解】解：∵抛物线解析式为，3＞0∴当x=8时，抛物线有最小值，最小值为0，故答案为：0．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，解题的关键在于能够熟练掌握当二次函数图像开口向上时，二次函数在其顶点处的函数值最小．12．抛物线的开口向____________________，顶点坐标是____________________．【答案】上【分析】根据抛物线解析式的顶点式即可写出抛物线的开口方向及顶点坐标．【详解】由知，二次项系数3>0，故抛物线的开口方向上，顶点坐标是(-1，0)故答案为：上，【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是关键．13．当a＞0时，抛物线的开口______，对称轴是直线______，顶点坐标是______，当x＝h时，y有最____值为0，当x＜h时，y随x的增大而____；当x＞h时，y随x的增大而______．当a＜0时，抛物线的开口______，对称轴是直线______，顶点坐标是______，当x＝h时，y有最____值为0，当x＜h时，y随x的增大而_____；当x＞h时，y随x的增大而_____．【答案】向上x＝h（h，0）小减小增大向下x＝h（h，0）大增大减小14．（2021·北京市第五中学九年级月考）点，是抛物线上的两点，则______．（填，或）【答案】<【分析】根据抛物线解析式可得抛物线的开口向上，对称轴为直线x=2，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得．【详解】解：∵抛物线，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，∴当x>2时，y随x的增大而增大，∵点A（1，m）关于对称轴的对称点为（3，m），且3<4，∴m<n，故答案为：<．【点睛】本题考查了二次函数，解题的关键是掌握二次函数的对称性和增减性．15．抛物线y＝3（x＋2）2当________，y随x增大而增大；当________，y随x增大而减小．【答案】x＞2x＜216．通过_____法画出和的图象通过图象可知：的开口方向_______，对称轴_______，顶点坐标___________．的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．【答案】描点向下x＝－1（－1，0）向上x＝1（1，0）17．抛物线的图象相当于把抛物线的图象____（h＞0）或____（h＜0）平移_____个单位．【答案】向右向左|h|18．（2021·上海市实验学校九年级二模）如果一抛物线的对称轴为，且经过点A（3,3），那么点A关于对称轴的对称点B的坐标为____________【答案】（-1,3）【分析】根据抛物线的对称性即可得到点B的坐标．【详解】解：∵抛物线的对称轴为，点A（3,3），∴点A关于对称轴的对称点B的坐标为（-1,3）【点睛】本题主要考查二次函数图形的性质和特征，应用对称性性是解题的关键．19．（2021·北京丰台九年级一模）写出一个图象开口向上，顶点在x轴上的二次函数的解析式_______．【答案】【分析】开口向上，顶点在x轴上的函数是（a>0）的形式，举一例即可．【详解】解：开口向上，即，顶点在x轴上时，顶点纵坐标为0，即k=0，例如．（答案不唯一）故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式，顶点坐标是(，)，此题考查了其中一种函数，要充分理解各函数的关系．三、解答题20．填表函数开口方向顶点对称轴最值对称轴右侧的增减性【答案】见解析【分析】根据二次函数，，的图象与性质即可完成填表．【详解】函数开口方向顶点对称轴最值对称轴右侧的增减性上y轴最小值0y随x增大而增大下y轴最大值1y随x增大而减小上直线最小值0y随x增大而增大21．在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：．观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．．【答案】见解析；三条抛物线都开口向上，对称轴依次是y轴、直线x＝－2，直线x＝2，顶点坐标依次是（0，0），（－2，0），（2，0）．【分析】用描点法画函数图像，先列表，描点，平滑曲线连线可依次得到，，，根据平移的性质可得出三函数关系，结合函数图像可得出三函数的开口方向，对称轴，顶点坐标．【详解】解：列表x-3-2-10123202028820描点（-3，），（-2，2），（-1，），（0，0），（1，），（2，2），（3，），用平滑曲线连线可得的图形如图；描点（-3，），（-2，0），（-1，），（0，2），（1，），（2，8），（3，），用平滑曲线连线可得的图形如图；描点（-3，），（-2，8），（-1，），（0，2），（1，），（2，0），（3，），用平滑曲线连线可得的图形如图；将抛物线向左平移2个单位得，向右平移2个单位得函数开口方向对称轴顶点向上y轴（0，0）向上x=-2（-2，0）向上x=2（2，0）22．（2020·陕西陇县九年级期中）已知抛物线y=a(x-h)2,当x=2时，有最大值，此抛物线过点(1，-3)，求抛物线的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小.【答案】当x＞2时，y随x的增大而减小【解析】由于已知抛物线当x=2时，函数有最大值，得出h=2，可设抛物线为y=a（x-2）2，然后把（1，-3）代入求出a，然后根据二次函数的性质求解．解：当x=2时，有最大值，∴h=2.又∵此抛物线过(1，-3)，∴-3=a(1-2)2.解得a=-3.∴此抛物线的解析式为：y=-3(x-2)2.当x＞2时，y随x的增大而减小.23．如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC;【答案】【分析】过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，由抛物线y=得C（2，0），于是得到对称轴为直线x=2，设B（m，n），根据△ABC是等边三角形，得到BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，求出PB=PC=（m-2），由于PB=n=，于是得到（m-2）=，解方程得到m的值，然后根据三角形的面积公式即可得到结果．【详解】解：过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，由抛物线y=得C（2，0），∴对称轴为直线x=2，设B（m，n），∴CP=m-2，∵AB∥x轴，∴AB=2m-4，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，∴PB=PC=（m-2），∵PB=n=，∴（m-2）=，解得m=，m=2（不合题意，舍去），∴AB=，BP=，∴S△ABC=．【点睛】本题考查二次函数的性质.24．（陕西汉滨九年级期末）如图，二次函数y1=a（x﹣2）2的图象与直线交于A（0，﹣1），B（2，0）两点．（1）确定二次函数的解析式；（2）设直线AB解析式为y2，根据图形，确定当y1＞y2时，自变量x的取值范围．【答案】（1）y1=﹣（x﹣2）2．（2）0＜x＜2．【详解】试题分析：（1）将点A