3.4-3.5 圆周角与圆心角的关系（A卷基础巩固） -2021-2022学年九年级数学下册同步分层练习（基础巩固＋能力拓展北师大版）（解析版）

3.4—3.5圆周角与圆心角的关系学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A卷（基础巩固）一、选择题1．（2021—2022浙江金华九年级期中）下列命题中正确的有（）①平分弦的直径垂直于这条弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③相等的弧所对的弦相等；④相等的弦所对的圆心角相等；⑤弦心距相等，则所对的弦相等；⑥直径所对的圆周角为直角．A．1个 B．2个 C．5个 D．6个【答案】B【分析】根据垂径定理的推论、圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理逐个判断即可．【详解】解：①平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，错误；②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，错误；③相等的弧所对的弦相等，正确；④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，错误；⑤在同圆或等圆中，弦心距相等，则所对的弦相等，错误；⑥直径所对的圆周角为直角，正确，综上，命题中正确的有2个，故选：B．【点睛】本题考查垂径定理的推论、圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理，对基本概念定理的理解是解答的关键．2．（2021—2022浙江义乌市九年级期中）如图，点A、B、C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，若∠ABO＝50°，则∠ACB的度数是（）A．20° B．40° C．30° D．50°【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质求出∠AOB＝80°，再根据圆周角定理求出∠ACB的度数即可．【详解】解：∵AO＝BO，∴∠OAB＝∠ABO＝50°，∴∠AOB＝80°，∴∠ACB＝40°，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和圆周角定理，解题关键是明确圆周角定理，准确运用求解．3．（2021—2022浙江台州九年级期中）如图，A，B，C是⊙O上的三点，且∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（）A．35° B．65° C．70° D．90°【答案】C【分析】根据圆周角定理即可得．【详解】解：由圆周角定理得：，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．4．（2021—2022浙江衢州市九年级期中）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=35°，则∠COB的度数是（）A．75° B．70° C．65° D．35°【答案】B【分析】直接根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，判断即可．【详解】解：∵∠BAC=35°，∴∠COB＝∠BAC＝，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理以及推论是解本题的关键．5．（2021—2022重庆市九年级期中）如图，是的直径，点在上，若，则的大小是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆周角定理及直径所对圆周角为求解．【详解】解：为直径，，，，，故选：B．【点睛】本题考查与圆有关的角度计算，解题关键是掌握同弧所对圆周角相等，直径所对圆周角为．6．（2021—2022云南昆明市九年级期中）如图，是⊙O的内接三角形，，，则弦的长为（）A．4 B． C．2 D．【答案】D【分析】如图，首先证得OA⊥BC；然后由圆周角定理推知∠C=30°，通过解直角△ACD可以求得CD的长度．则BC=2CD．【详解】解：如图，设AO与BC交于点D．∵∠AOB=60°，，∴∠C=∠AOB=30°，又∵AB=AC，∴，∴AD⊥BC，∴BD=CD，∴在直角△ACD中，CD=AC×=2×=，∴BC=2CD=，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理等知识点．推知△OAB是等边三角形是解题的难点，证得AD⊥BC是解题的关键．7．（2021—2022黑龙江哈尔滨市九年级期中）如图，AC是⊙O直径，BC⊥AC于C，连接AB交⊙O于D，连接CD，AC＝8，tan∠BCD＝，则AB长为（）A．8 B．7 C．10 D．6【答案】C【分析】首先由AC是⊙O直径，得到，然后根据同角的余角相等得到，进一步得到的正切值等于的正切值，然后可求出的余弦值，即可求出AB的长度．【详解】∵AC是⊙O直径，∴，∴，又∵，∴，∴，即，又AC=8，∴BC=6，在中，．故选：C．【点睛】此题考查了三角形函数的运用，直径所对的圆周角是90°等知识，解题的关键是根据题意求出．8．（2021—2022江苏省南京市九年级期中）如图，在中，直径弦，若，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由垂径定理得，由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知，由三角形内角和定理求得，代入即可得到答案．【详解】在中，直径弦，，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．（2021—2022江苏省常州市九年级期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝100°，则∠BCD的度数()A．130° B．100° C．80° D．50°【答案】A【分析】根据圆周角定理可得∠A=，及圆内接四边形对角互补的性质∠C=180°-∠A=180°﹣50°=130°解答即可．【详解】解：∵∠BOD=100°，∴∠A=，在⊙O的内接四边形ABCD中，∴∠C=180°-∠A=180°﹣50°=130°．故选A．【点睛】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形对角互补的性质，熟知圆周角定理及圆内接四边形对角互补的性质是解题的关键．二、填空题10．（2021—2022北京四中九年级期中）在⊙O中，弦AB所对圆心角为140°，则弦AB所对的圆周角的度数是___________．【答案】70°或110°【分析】根据圆周角定理计算即可．【详解】如图，当角的顶点在优弧上时，∠ADB=∠AOB=70°；当角的顶点在劣弧上时，∠ACB=180°-∠ADB=110°；故答案为：70°或110°．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握定理，并灵活分类计算是解题的关键．11．（2021—2022山东滨城九年级期中）在半径为2的⊙O中，弦AB为2，则弦AB所对的圆周角的度数为___．【答案】30°或150°【分析】弦所对的弧有优弧和劣弧，故弦所对的圆周角也有两个，它们的关系是互补关系；弦长等于半径时，弦所对的圆心角为60°，进而即可求解．【详解】解：如图，弦AB所对的圆周角为∠C，∠D，连接OA、OB，因为AB＝OA＝OB＝2，所以，∠AOB＝60°，根据圆周角定理知，∠C＝∠AOB＝30°，根据圆内接四边形的性质可知，∠D＝180°−∠C＝150°，所以，弦AB所对的圆周角的度数30°或150°．故答案是：30°或150°．【点睛】若圆中的一条弦等于圆的半径，则此弦和两条半径构成了等边三角形；在圆中，弦所对的圆周角有两个，不要漏解．12．（2021—2022福建省福州九年级期中）如图在⊙D的内接四边形ABCD中，点E在DC延长线上．若∠A＝40°，∠BCE＝___．【答案】40°40度【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角求解．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCE=∠A=40°．故答案为40°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．13．（2021—2022江苏溧阳九年级期中）如图，在⊙O中，∠AOB＝50°，则∠ACB＝__________度．【答案】25【分析】根据圆周角定理即可求得．【详解】故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．14．（2021—2022浙江杭州市九年级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC＝___．【答案】【分析】先根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理即可得．【详解】解：四边形内接于，且，，由圆周角定理得：，故答案为：．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．15．（2021—2022江苏溧阳九年级期中）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C．D．与BC相交于点E，连接AC，AE．若∠ADC＝80°，则∠EAC的度数是_________．【答案】30°【分析】根据菱形的性质得到∠ACB=∠DCB=（180°∠D）=50°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=80°，由三角形的外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=80°，∴∠ACB=∠DCB=（180°∠D）=50°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB=∠D=80°，∴∠EAC=∠AEB∠ACE=30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．16．（2021—2022陕西汉滨九年级期中）如图，为的外接圆的直径，若，则____________________【答案】40【分析】连接BD，根据直径的性质可得∠ABD＝90°，由此可求得∠D＝40°，然后再利用圆周角定理即可得到∠ACB的度数．【详解】解：如图，连接BD，∵AD为的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，又∵∠BAD＝50°，∴∠D＝90°﹣∠BAD＝40°，∴∠ACB＝∠D＝40°．故答案为：40．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，直径（或半圆）所对圆周角为直角，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．三、解答题17．（2021—2022黑龙江桦南县九年级期中）如图，在⊙O中，．（1）若，求的度数；（2）若，，求⊙O的半径．【答案】（1）30°；（2）【分析】（1）根据弧、弦间的关系可以得到，结合等腰三角形的性质解答；（2）如图，延长交于，连接OB，则，构造直角三角形，通过勾股定理求得该圆的半径即可．【详解】（1）∵在中，，∴．∴．∴；（2）如图，延长交于，连接OB，则，，∴在直角中，由勾股定理，得．在直角中，由勾股定理，得，解得，即的半径是．【点睛】本题主要考查垂径定理，弧、弦的关系，等腰三角形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握弧、弦的关系和垂径定理．18．（2021—2022浙江九年级期中）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，连接AD，AG，GD．（1）求证：∠ADC＝∠AGD；（2）若BE＝2，CD＝8，求圆O的半径．【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）利用垂径定理得到，然后利用同弧或等弧所对的圆周角相等即可证得；（2）连接，设，利用垂径定理和勾股定理列出方程求得答案即可．【详解】（1）证明：，，；（2）连接，设，，，，，在中，，解得：，圆的半径为．【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理和垂径定理等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，综合性较强，难度不大．19．（2021—2022江苏无锡市九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半径；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．【答案】（1）10；（2）【分析】（1）先根据，，设，则得出的长，再利用勾股定理列方程，解方程即可；（2）由，，结合直角三角形两锐角互余可以求得结果；【详解】解：（1），，，设，则又，，解得：，的半径是10．（2），，，，．【点睛】本题考查了的是垂径定理，圆周角定理，勾股定理的应用，直角三角形的两锐角互余，掌握“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧”是解题的关键．20．（2021—2022江苏滨湖九年级期中）如图1，在RtΔABC中，∠B＝90°，∠C＝40°，以AB为直径画⊙O交AC于点D，E是线段AB上的动点，延长DE交⊙O于F点，连接AF．（1）如图1，求∠F的度数：（2）如图2，当AE＝AD时，求∠DFO的度数．

【答案】（1）40°；（2）15°【分析】（1）根据直角三角形的性质先求出∠BAC，连接DO，求出∠AOD，再根据圆周角的性质求出∠F；（2）连接DO，同（1）先求出∠AFD，根据AE=AD得到∠AED=65°，故可求出∠FAO=25°，根据等腰三角形的性质求出∠AFO，故可得到∠DFO的度数．【详解】（1）∵∠B＝90°，∠C＝40°∴∠BAC=50°，连接DO，∵AO=DO∴∠ADO=∠BAC=50°，∴∠AOD=180°-∠ADO-∠BAC=80°∴∠F=∠AOD=40°；（2）连接DO，同（1）先求出∠BAC=50°，∠AFD=40°∵AE=AD∴∠AED==65°，∴∠FAO=∠AED-∠AFD=25°，又AO=FO∴∠AFO=∠FAO=25°，∴∠DFO=∠AFD-∠AFO=15°．【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆周角的性质、等腰三角形的性质和外角定理的运用．21．（2021—2022黑龙江哈尔滨市九年级期中）已知△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，连接AD，AC与BD交于点E．（1）如图1，求证：∠ABD＋∠ACB＝90°；（2）如图2，过点A作AG⊥BC，垂足为点G，AG交BD于点F，若EF＝ED，求证：AB＝BC；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作BD的平行线交AG的延长线与点H，交⊙O于点P，连接BH，若∠BHP＝45°，CH＝6，