宁夏银川市兴庆区长庆高级中学2025届高二数学第一学期期末考试模拟试题含解析

宁夏银川市兴庆区长庆高级中学2025届高二数学第一学期期末考试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆，则下列结论正确的是（）A.长轴长为2 B.焦距为C.短轴长为 D.离心率为2．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为，，，，则此球的表面积等于（）A. B.C. D.3．将点的极坐标化成直角坐标是(

)A. B.C. D.4．在各项均为正数等比数列中，若成等差数列，则=（）A. B.C. D.5．已知椭圆的左右焦点分别为，，点B为短轴的一个端点，则的周长为（）A.20 B.18C.16 D.96．命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题中是真命题的个数为（）A.0个 B.1个C.2个 D.3个7．在等差数列中，，且构成等比数列，则公差等于（）A.0 B.3C. D.0或38．过坐标原点作直线的垂线，垂足为，则的取值范围是（）A. B.C. D.9．如图是一水平放置的青花瓷．它的外形为单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，且其外形上下对称．花瓶的最小直径为，瓶口直径为，瓶高为，则该双曲线的虚轴长为（）A. B.C. D.4510．若某群体中的成员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为（）A. B.C. D.11．已知等比数列的前项和为，首项为，公比为，则（）A. B.C. D.12．已知，是椭圆的两焦点，是椭圆上任一点，从引外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹为（）A.圆 B.两个圆C.椭圆 D.两个椭圆二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积14．如图，长方体中，，，，，分别是，，的中点，则异面直线与所成角为__.15．关于曲线C：1，有如下结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线x±y＝0对称；③曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π；④曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2＝2无公共点；⑤曲线C与曲线D：|x|+|y|＝2有4个公共点，这4点构成正方形其中正确结论的个数是_____16．过点的直线与抛物线相交于，两点，，则直线的方程为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知点在抛物线（）上，过点A且斜率为1直线与抛物线的另一个交点为B（1）求p的值和抛物线的焦点坐标；（2）求弦长18．（12分）已知数列的前n项积，数列为等差数列，且，（1）求与的通项公式；（2）若，求数列的前n项和19．（12分）已知圆的圆心为，且经过点.（1）求圆的标准方程；（2）已知直线与圆相交于、两点，求.20．（12分）已知点A（，0），点C为圆B：（B为圆心）上一动点，线段AC的垂直平分线与直线BC交于点G（1）设点G的轨迹为曲线T，求曲线T的方程；（2）若过点P（m，0）（）作圆O：的一条切线l交（1）中的曲线T于M、N两点，求△MNO面积的最大值21．（12分）等差数列的前项和记为，已知.（1）求的通项公式：（2）求，并求为何值时的值最大.22．（10分）已知点，点B为直线上的动点，过B作直线的垂线，线段AB的中垂线与交于点P（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若过点的直线l与曲线C交于M，N两点，求面积的最小值．（O为坐标原点）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据已知条件求得，由此确定正确答案.【详解】依题意椭圆，所以，所以长轴长为，焦距为，短轴长为，ABC选项错误.离心率为，D选项正确.故选：D2、D【解析】由条件确定三棱锥的外接球的球心位置及球的半径，再利用球的表面积公式求外接球的表面积.【详解】由已知，，，可得三棱锥的底面是直角三角形，，由平面可得就是三棱锥外接球的直径，，，即，则，故三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为故选：D.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.3、A【解析】本题考查极坐标与直角坐标互化由点M的极坐标，知极坐标与直角坐标的关系为，所以的直角坐标为即故正确答案为A4、A【解析】利用等差中项的定义以及等比数列的通项公式即可求解.【详解】设等比数列的公比为，∵成等差数列，∴，即，解得或（舍去），∴，故选：.5、B【解析】根据椭圆的定义求解【详解】由椭圆方程知，所以，故选：B6、B【解析】先判断出原命题和逆命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题同真或同假最终得到答案.【详解】“若a=0，则ab=0”，命题为真，则其逆否命题也为真；逆命题为：“若ab=0，则a=0”，显然a=1，b=0时满足ab=0，但a≠0，即逆命题为假，则否命题也为假.故选：B.7、D【解析】根据，且构成等比数列，利用“”求解.【详解】设等差数列的公差为d，因为，且构成等比数列，所以，解得，故选：D8、D【解析】求出直线直线过的定点A，由题意可知垂足是落在以OA为直径的圆上，由此可利用的几何意义求得答案,【详解】直线，即，令，解得，即直线过定点,由过坐标原点作直线的垂线，垂足为，可知：落在以OA为直径的圆上，而以OA为直径的圆为，如图示：故可看作是圆上的点到原点距离的平方，而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为，但将原点坐标代入直线中，不成立，即直线l不过原点，所以不可能和原点重合，故，故选：D9、C【解析】设双曲线方程为，，由已知可得，并求得双曲线上一点的坐标，把点的坐标代入双曲线方程，求解，即可得到双曲线的虚轴长【详解】设点是双曲线与截面的一个交点，设双曲线的方程为：，花瓶的最小直径，则，由瓶口直径为，瓶高为，可得，故，解得，该双曲线的虚轴长为故选：10、A【解析】利用对立事件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由对立事件的概率公式可知，该群体中的成员不用现金支付的概率为.故选：A.11、D【解析】根据求解即可.【详解】因为等比数列，，所以.故选：D12、A【解析】设的延长线交的延长线于点，由椭圆性质推导出，由题意知是△的中位线，从而得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆【详解】是焦点为、的椭圆上一点为的外角平分线，，设的延长线交的延长线于点，如图，，，，由题意知是△的中位线，，点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（1）最小正周期，，；（2）【解析】（1）根据降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦型函数的最小正周期公式、单调性进行求解即可；（2）根据特殊角的三角函数值，结合三角形面积公式进行求解即可.【详解】（1），所以的最小正周期令，，解得，，所以的单调递增区间为，（2）因为，所以，即，又，所以，所以或，或，当时，，不符合题意，舍去；当时，，符合题意，所以，，，，此时为等腰三角形，所以，所以，即的面积为14、【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角.【详解】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，0，，，0，，，2，，，1，，，，设异面直线与所成角为，，异面直线与所成角为.故答案为：.15、4【解析】直接利用曲线的性质，对称性的应用可判断①②；求出可判断③；联立方程，解方程组可判断④⑤的结论【详解】对于①，将方程中的x换为﹣x，y换为﹣y，方程不变，曲线C关于原点对称，故①正确；对于②，将方程中的x换为﹣y，把y换成﹣x，方程不变，曲线C关于直线x±y＝0对称，故②正确；对于③，由方程得，故曲线C不是封闭图形，故③错误；对于④，曲线C：，不是封闭图形，联立整理可得：，方程无解，故④正确；对于⑤，曲线C与曲线D：由于，解得，根据对称性，可得公共点为，故曲线C与曲线D有四个交点，这4点构成正方形，故⑤正确故答案为：416、##【解析】根据抛物线方程可得焦点坐标，进而点P为抛物线的焦点，设，利用抛物线的定义可得，有轴，即可得出结果.【详解】由题意知，抛物线的焦点坐标，又，所以点P为抛物线的焦点，设，由，由抛物线的定义得，解得，所以AB垂直与x轴，所以直线AB的方程为：.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），焦点坐标（2）【解析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，可求得的值，进而可得抛物线的焦点坐标；（2）写出直线的方程，联立直线与抛物线方程求得交点坐标，利用两点之间的距离公式即可求解.【小问1详解】因为点在抛物线上，所以，即所以抛物线的方程为，焦点坐标为；【小问2详解】由已知得直线方程为，即由得，解得或所以，则18、（1），.（2）.【解析】（1）由已知得，，两式相除得，由已知得，求得数列的公差为，由等差数列的通项公式可求得；（2）运用错位相减法可求得.【小问1详解】解：因为数列的前n项积，所以，所以，两式相除得，因为数列为等差数列，且，，所以，即，所以数列的公差为，所以，所以，【小问2详解】解：由（1）得，所以，，所以，所以.19、（1）；（2）.【解析】（1）求出圆的半径长，结合圆心坐标可得出圆的标准方程；（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得.小问1详解】解：圆的半径为，因此，圆的标准方程为.【小问2详解】解：圆心到直线的距离为，因此，.20、（1）（2）1【解析】（1）可由题意，点G在线段AC的垂直平分线上，，可利用椭圆的定义，得到点G的轨迹为椭圆，然后利用已知的长度关系求解出椭圆方程；（2）可通过设l的方程，利用l是圆O的切线，通过点到直线的距离得到一组等量关系，然后将直线与椭圆联立方程，计算弦长，表示出△MNO面积的表达式，将上面得到的等量关系代入利用基本不等式即可求解出最值.【小问1详解】依题意有，，即G点轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设椭圆方程为由题意可知，，则，，所以曲线T的方程为【小问2详解】设，，设直线l的方程为，因为直线l与圆相切，所以，即，联立直线l与椭圆的方程，整理得，，由韦达定理可得，，所以，又点O到直线l的距离为1，所以当且仅当，即时，取等号，所以的面积的最大值为121、（1）；（2）当或时，的值最大.【解析】（1）根据等差数列前项和公式，结合等差数列的通项公式进行求解即可；（2）根据等差数列的性质进行求解即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，因为，所以有，即；【小问2详解】由（1）可知，所以该数列是递减数列，而，当时，解得：，因此当或时，的值最大.22、（1）（2）【解析】（1）由