数学自主广场：平面向量的数量积

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1。①a·0=0；②0a=0;③0—；④|a·b｜=|a｜|b|;⑤若a≠0,则对任一非零向量b有a·b≠0；⑥a·b=0,则a与b中至少有一个为0；⑦a与b是两个单位向量，则a2=b2。以上成立的是(）A.①②③⑥⑦B.③④⑦C。②③④⑤D.③⑦思路解析：只要按照定义、性质、运算律作答即可.对于①，两个向量的数量积是一个实数，应有0·a=0,故①错；对于②，应有0a对于③，很明显正确；对于④，由数量积定义，有｜a·b｜=|a|·|b｜·｜cosθ|≤｜a｜｜b|,这里θ是a与b的夹角,只有θ=0或θ=π时,才有｜a·b｜=｜a｜·｜b|，故④错；对于⑤,若非零向量a、b垂直，有a·b=0，故⑤错;对于⑥，由a·b=0可知a⊥b，即可以都非零，故⑥错；对于⑦,a2-b2=｜a｜2-|b|2=1-1=0，故⑦正确.答案：D2。已知|a|=5，｜b|=3，a·b=，则a与b的夹角为()A.30°B.60°C.135°D。120°思路解析:cos〈a，b>==，又∵0°≤〈a，b>≤180°，∴〈a，b〉=30°.答案:A3。已知△ABC中，AB=a，AC=b，当a·b＜0或a·b=0时,△ABC的形状分别是(）A.钝角三角形，直角三角形B.锐角三角形，直角三角形C。锐角三角形,钝角三角形D.锐角三角形，斜三角形思路解析:由a·b＜0可知a与b的夹角为钝角，即△ABC是钝角三角形；当a·b=0时，可知a与b的夹角为直角，即△ABC是直角三角形。答案:A4。(2006天津高考，文12）设向量a与b的夹角为θ，且a=（3，3），2b-a=（—1,1），则cosθ=_________。思路解析:b=a+(-1,1）=（1,2),则a·b=9，｜a｜=3，｜b｜=，∴cosθ==.答案:5已知a=(3，—1），b=(1，2)，x·a=9，x·b=-4，向量x的坐标为__________________.思路解析:设出向量x的坐标，利用所给两个关系式得到关于坐标的方程组，再求解.设x=(t，s)，由答案:（2,—3）6.已知a=(1，2），b=（1，1)，c=b—ka,若c⊥a，则c=_______________.思路解析:根据a和b的坐标，求c的坐标,利用垂直建立关于k的方程,求出k后可得向量c。答案：（，—）7已知|a｜=10，｜b|=12，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；（2)（3a)·(b);（3)(3b-2a）·（4a+思路分析:第（1）题直接由定义可得，（2）和(3）则利用向量数量积的运算律计算。解:(1）a·b=|a||b｜cosθ=10×12×cos120°=—60。（2）（3a)·(b）=（a·b)=×(—60）=—36。（3)(3b-2a）·(4a+b）=12b·a+3b2—8a2=10a·b+3｜b|2-8｜a｜=10×（—60）+3×122-8×102=-968.我综合我发展8。已知a=（3，4)，b=(4，3)，（xa+yb)⊥a，｜xa+yb｜=1。求实数x、y的值.思路分析:首先写出（xa+yb）的坐标，再根据它与向量a垂直和模为1列出方程组，从而解得x和y的值.解:∵a=（3,4),b=（4，3)，∴xa+yb=（3x+4y,4x+3y）.∵(xa+yb）⊥a，∴(xa+yb）·a=0.∴3（3x+4y）+4（4x+3y)=0，即25x+24y=0。①又∵｜xa+yb｜=1，∴（3x+4y)2+（4x+3y）2=1.整理得25x2+48xy+25y2=1.②由①②联立方程组，解得或9。向量e1、e2满足|e1|=2，｜e2｜=1，e1、e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围。思路分析：向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,则它们的数量积应当小于零，由此可得关于t的不等式，解之即得.解:∵e12=4，e22=1，e1·e2=2×1×cos60°=1,∴(2te1+7e2）·(e1+te2）=2te12+（2t2+7）e1·e2+7te22=2t2+15t+7。∵向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，∴2t2+15t+7＜0.∴—7＜t＜-.设2te1+7e2=λ(e1+te2)（λ＜0），则2t=λ，且7=tλ，∴2t2=7.∴t=-，λ=—.∴当t=-时,2te1+7e2与e1+te2的夹角为π。∴实数t的取值范围是(-7，-)∪(-，—）.10。如图2-3-图2-3-12思路分析:结合图形，可以发现与垂直并且长度相等，利用这一关系建立B点坐标的方程组，再解方程组得B点坐标,进一步得向量的坐标。解：设B(x，y),则=（x，y)，=(x—5，y-2）.∵⊥，∴x(x—5）+y(y-2)=0，即x2+y2—5x—2y=0。又∵｜｜=||,∴x2+y2=(x—5)2+(y-2）2，即10x+4y=29.解方程组得或∴B点坐标为（，-）或（，）；当B（，-)时,=(-,-）；当B（,)时，=（-，）.综上得B（，-),=(-，—），或B（,)，=(-，)。11.四边形ABCD中，=a，=b，=c，=d,且a·b=b·c=c·d=d·a，试问四边形ABCD是什么图形？思路分析:四边形的形状由边角关系确定，由题设条件演变，推算该四边形的边角关系。解：由题意,得a+b+c+d=0，∴a+b=—（c+d)。∴(a+b)2=(c+d)2，即|a｜2+2a·b+｜b｜2=｜c|2+2c·d+|d｜2.由于a·b=∴｜a|2+｜b|2=|c|2+|d|2.①同理，有|a｜2+｜d｜2=｜c|2+｜b|2.②由①②可得|a|=｜c|且｜b|=|d|,即四边形ABCD的两组对边分别相等,∴四边形ABCD是平行四边形。∵a·b=b·c,∴b·（a—c)=0。由平行四边形ABCD可得c=—a,代入上式得b·（2a即a·b=0。∴a⊥b，即AB⊥BC.综上所述，四边形ABCD是矩形。12。（2006湖北黄冈模拟，16）平面直角坐标系内有点P（1,cosx）、Q（cosx，1),x∈［—，］。（1）求向量和向量的夹角θ的余弦值；（2)令f（x)=cosθ，求f（x）的最小值。思路分析:(1）直接用夹角公式即可求得；(2）利用换元法，再利用函数的单调性求出最小值.解：（1)由题意，得=（1，c