湖南省2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题（含答案）

2024年高三10月联考卷数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A=xlnx−1≥0，集合B=xA．0,2 B．2,3 C．0,+∞ D．2．已知i为虚数单位，复数z满足|z+1|=|z+i|=5，则|z|A．1 B．2 C．2或22 D．1或3．已知向量a=2,0，b=λ,32，若向量b在向量a上的投影向量A．3 B．7 C．104 4．已知函数f(x)满足f(x)=f(2−x)，且在区间[1,+∞)上单调递减.设a=f(−ln1.1)，b=f2A．a>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．b>a>c5．已知圆锥的母线长为定值R，当圆锥的体积最大时，圆锥的底面半径为（

）A．33R B．63R C．6．已知函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x+1)f'(x)<0A．(−∞,−1)∪1C．(−1,1)∪(3,+∞) 7．若正项等比数列an满足anan+1=22nA．152 B．1524 C．88．已知小明射箭命中靶心的概率为35A．36625 B．925 C．144625二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=A．直三棱柱的侧面积是4+2B．直三棱柱的外接球表面积是4C．三棱锥E−AA1OD．AE+EC110．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（）A．若a2tanB．若cos2C．若a=3,b=4,B=πD．若△ABC是锐角三角形，则sin11．已知数列an的首项为a1=1，且9anan+1=an−4an+1A．an+1an<15 B．S三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）12．已知x>1，y>0，且x+2y=2，则113．已知函数fx=sin2πωx(ω>0)14．设函数fx=①当m=0时，函数fx在−②若函数fx有且仅有两个零点，则m>0③当m<0时，若存在实数a,b，使得fa=fb，则a−b④已知点P−m,0，函数fx的图象上存在两点Q1x1,y1,Q2其中所有正确结论的序号是．四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S5(1)求数列{an}(2)令cn=an1+bn16．（15分）如图，在三棱锥P−ABC中，A1，B1，C1分别是侧棱PA，PB，PC的中点，AB⊥BC，A(1)求证：平面A1B1(2)如果A1C=B1C17．（15分）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了A,B两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从A,B两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择A健身中心健身的概率分别为12,1(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A健身中心的概率为12.若丁周六选择A健身中心，则周日仍选择A健身中心的概率为14；若周六选择B健身中心，则周日选择A健身中心的概率为23(3)现用健身指数kk∈0,10来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过n.若抽取次数的期望值不超过23，求参考数据：0.918．（17分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>1>b>0)的离心率为32，过点M(1)求椭圆C的方程；(2)记椭圆C的左焦点为F，若过F,A,B三点的圆的圆心恰好在y轴上，求直线l的斜率.19.对于四个正数m、n、p、q，若满足，则称有序数对是的“下位序列”．（1）对于2、3、7、11，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由；（2）设a、b、c、d均为正数，且是的“下位序列”，试判断、、之间的大小关系；（3）设正整数n满足条件：对集合内的每个m，总存在正整数k，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数n的最小值．数学参考答案2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】D5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】D9．【答案】ACD10．【答案】BD11．【答案】BCD12．【答案】3+22/213．【答案】114．【答案】②③④15．【解】（1）由题意知，S5=62S解得a1=2q=2由b1得b1两式相减，得nb所以bn当n=1时，b1故bn（2）由（1）知，an=2n，Tn2T两式加减，得−T所以Tn16．【解】（1）因为A1，B1，C1分别是侧棱PA，PB所以A1因为AB⊥BC，所以A1因为A1C⊥平面BB1C所以A1又A1C∩A所以B1C1又因为B1C1所以平面A1B1（2）因为A1C⊥平面BB1C所以A1因为AB=BC=4，所以A1所以A1因为B1C1⊥平面所以BC⊥平面A1又B1C⊂平面A1所以CA如图，以点C为原点，建立空间直角坐标系，则B4,0,0故A1设平面A1BB则有n⋅A1因为A1C⊥平面所以CA1=故cosn所以二面角A1−BB17．【解】（1）由题意得这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率P=1（2）记事件C：丁周六选择A健身中心，事件D：丁周日选择B健身中心，则P(C)=P(C由全概率公式得P(D)=P(C)PD故丁周日选择B健身中心健身的概率为1324（3）设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为p，则p=0.02，设抽取次数为X，则X的分布列为X123⋯n−1nPp1−p(1−p)⋯(1−p)(1−p)故EX又1−pE两式相减得pEX所以E=1−所以EX=1−0.可知当n=29时，EX当n=30时，EX当n=31时，EX若抽取次数的期望值不超过23，则n的最大值为30.18．【解】（1）椭圆C的方程为x2当l⊥x轴时，AB=3，所以点依题意e=ca=321a∴椭圆C的方程为x2（2）设圆心P0,m,A(x1,y1),B(显然直线l的斜率存在，设l:y=k(x−1)，由|PA|2=|PB又x12=4同理可得3y则y1,