2024-2025学年河北省承德一中等校高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省承德一中等校高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={0,1,2}，B={x|x>0}，则A∩B的真子集个数为(

)A.2 B.3 C.4 D.52.已知复数z在复平面内对应的点为(2,−1)，则4zz−i=(

)A.1+i B.3+i C.1−i D.3−i3.已知数列{an}，{bn}满足anbn=2，A.619 B.1959 C.19614.若曲线y=tanπ2x(1<x<3)与x轴，直线y=1的交点分别为A，B，O为坐标原点，则向量OA与ABA.33 B.23 C.5.已知AB=10，C是以AB为直径的圆上一点，AC=8，D为BC的中点，则DA⋅DB=A.−10 B.−9 C.−8 D.−76.已知数列{an}满足an=(1−3a)n+3,n≤5an−5A.(13,715] B.(7.已知函数f(x)=sin3(x−1)2x−1+21−x+x+a(a为常数)，若f(x)在[−2,4]上的最大值为MA.6 B.4 C.3 D.28.在△ABC中，角A，B为锐角，△ABC的面积为4，且cos2A+cos2B=2−sinC，则A.42+4 B.42−4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知Sn为数列{an}的前n项和，若SA.存在t<0，使得{bn}既有最小项也有最大项

B.存在t<0，使得{bn}仅有最小项无最大项

C.存在t>0，使得{bn10.若实数x，y满足x2−4xy+y2A.|x−y|≥2 B.|x−y|≤12 C.x2+y11.已知函数f(x)=cosx−sinx+x，则(

)A.f(x)的图象关于点(π4,π4)对称 B.f(−x+π4)−π4为奇函数

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知f(x)=ex+1x−x，则曲线y=f(x)在点13.已知数列{an}满足a1=2，an+114.如图的“心形”曲线C恰好是半圆C1，半圆C2，曲线y=cosx+1(0≤x≤π)，y=−cosx−1(0≤x≤π)组合而成的，则曲线C所围成的“心形”区域的面积等于______．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在数列{an}中，a1=2,an+1=2an+2n+1−n．

(1)若16.(本小题15分)

已知函数f(x)=sin(π2+ωx)sin(ωx+π6)−1(ω>0)，且f(x)图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为π4．

(1)求ω的值及f(x)的单调递增区间；

(2)将f(x)图象上的所有点的横坐标向右平移π4个单位长度(纵坐标不变)，再向上平移317.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,bcosC−33csinB=a．

(1)求B；

(2)已知b=6，BD为∠ABC的平分线，交AC于点D，且BD=3,M为线段AC18.(本小题17分)

已知函数f(x)=ln(1−ax)+12x2(a≠0)．

(1)证明：当a=1时，f(x)只有1个零点；

(2)当a<0时，讨论f(x)的单调性；

(3)若a=−119.(本小题17分)

若n项数列{an}同时满足i=1nai=0,i=1n|ai|=1，.则称{an}为“n阶0−1数列”．

(1)若等比数列{an}为“4阶0−1数列”，写出{an}的各项；

(2)若等差数列{an}为“2k−1阶0−1数列”(k≥2且k∈N∗)，求{an}的通项公式(用k，n表示)参考答案1.B

2.B

3.D

4.C

5.B

6.C

7.D

8.A

9.BCD

10.AC

11.ABC

12.3x+y+3=0

13.2

14.3π

15.解：(1)证明：在数列{an}中，a1=2,an+1=2an+2n+1−n，

可得an+1−(n+1)=2an+2n−2n，

则an+1−(n+1)2n+1=an−n2n+12，

若bn=an−n2n，则bn+1=bn+116.解：(1)由f(x)=sin(π2+ωx)sin(ωx+π6)−1=cosωx(32sinωx+12cosωx)−1

=34sin2ωx+12cos2ωx−1=34sin2ωx+14cos2ωx+14−1

=12sin(2ωx+π6)−34，

因为f(x)图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为π4，

所以其最小正周期为T=4×π4=2π2ω⇒ω=1，

则f(x)=12sin(2x+π6)−34，

令−π2+2kπ≤2x+π17.解：(1)∵bcosC−33csinB=a，根据正弦定理得sinBcosC−33sinCsinB=sinA，

∴sinBcosC−33sinCsinB=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

∴−13sinCsinB=cosBsinC，

∵sinC≠0，∴−13sinB=cosB，∴tanB=−3，

又∵B∈(0,π)，∴B=2π3．

(2)∵BD为∠ABC的平分线，B=2π3，∴∠ABD=∠CBD=π3，

又S△ABC=S△ABD+S△CAD，BD=3，

∴12acsin23π=12c⋅3sinπ3+12a⋅3sinπ3，18.解：(1)证明：当a=1时，f(x)=ln(1−x)+12x2，函数定义域为(−∞,1)，

可得f′(x)=1x−1+x=x2−x+1x−1=(x−12)2+34x−1>0恒成立，

所以f(x)在(−∞,1)上单调递增，

又f(0)=0，

根据零点唯一性定理可知，f(x)只有1个零点为0；

(2)因为a<0，

所以函数f(x)的定义域为(1a,+∞)，

可得f′(x)=aax−1+x=ax2−x+aax−1，

因为a<0，

当Δ=1−4a2≤0，即a≤−12时，ax2−x+a≤0恒成立，

则f′(x)≤0，

所以函数f(x)在(1a,+∞)上单调递减；

当Δ=1−4a2>0，即−12<a<0时，

方程ax2−x+a=0的两个根为x1=1−1−4a22a,x2=1+1−4a22a，

因为1+1−4a22a−1a=1−4a2−12a>0，且x1>x2，

所以x1=1−1−4a22a,x2=1+1−4a22a均在(1a19.解：(1)设a1，a2，a3，a4是公比为q的等比数列，根据题意q≠1，

因此有a1+a2+a3+a4=0，所以a1(1−q4)1−q=0，解得q=−1，

又由于|a1|+|a2|+|a3|+|a4|=1，因此4|a1|=1，解得a1=±14，

因此数列的各项为14,−14,14,−14或−14,14,−14,14．

(2)设等差数列a1，a2，a3，⋯，a2k−1(k≥2)的公差为d，

因为a1+a2+a3+⋯+a2k−1=0，

所以(2k−1)a1+(2k−2)(2k−1)d2=0，所以a1+(k−1)d=0，所以a