导数基础知识篇讲义

第1节导数基础知识篇考点出现频率2022年预测导数的几何意义16/322022年高考仍然重点利用导数的几何意义求函数的切线、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题，难度可以基础题，也可为中档题，也可为难题，题型为选择、填空或解答题．导数与函数的单调性7/32导数与函数的极值5/32导数与函数的最值5/32基础知识诊断回顾教材务实基础【知识梳理】考点1导数的概念和几何性质1.概念函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作或．要点诠释：①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即．2.几何意义函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．用导数研究切线问题，切点是关键．（三大基本关键点：切点在切线上，切点在曲线上，切点横坐标的导函数值为切线斜率）．(表示倾斜角，注意等于的特殊情况)．3.物理意义函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．考点2导数的运算1.求导的基本公式基本初等函数导函数（为常数）2.导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：；（2）函数积的求导法则：；（3）函数商的求导法则：，则．3.复合函数求导数复合函数的导数和函数，的导数间关系为：如我们将分三步：①将复合函数分解为基本初等函数；②将对的导数记为，将对的导数记为；③．基础知识诊断回顾教材务实基础考点一导数的概念和几何性质【例1】（2020•南阳月考）若，则＝（）A． B． C． D．【例2】（2020•全国Ⅰ卷）曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为．【例3】（2020•全国Ⅰ卷）函数的图像在点处的切线方程为（）A． B． C． D．【拓展提升】（2020•韶关期末）已知曲线：，求过点并与曲线相切的直线方程．【拓展提升】（2020•深圳月考）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（）A． B． C． D．【解题总结】1．注意导数的几何意义和物理意义．2．先化简解析式，在求导．3．注意区分在点的切线方程和过点的切线方程在点的切线方程切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．过点的切线方程设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）注意在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．【训练1】（2021•朝阳期末）已知，则的值为（）A． B． C． D．【训练2】（2020•全国Ⅲ）设函数，若，则．【训练3】（2020•渭南一模）在处的切线的倾斜角为，则的值为（）A． B． C． D．【训练4】(2018•全国卷Ⅰ)设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A． B． C． D．【训练5】（2019•全国Ⅲ）已知曲线在点处的切线方程为，则A． B． C． D．【训练6】（2020•清新期末）曲线在处的切线与曲线相切，则（）A． B． C． D．【训练7】（2020•珠海期中）直线分别与曲线，交于点，，则的最小值为（）A． B． C． D．考点2八大同构函数八大同构函数分别是：，，，，，，，我们通过基本的求导来看看这六大同构函数的图像，再分析单调区间及极值，以及它们之间的本质联系．图1-2-1图1-2-3图1-2-5图1-2-7图1-2-2图1-2-4图1-2-6图1-2-8对于：如图1-2-1，求导后知：，在区间递减，在区间递增，；对于：如图1-2-2，求导后知：，在区间递减，在区间递增，；关于图1-2-1和图1-2-2，我们仔细观察会发现对于函数，我们把换成即可得到．对于：如图1-2-3，求导后知：，在区间递减，在区间递增，；对于：如图1-2-4，求导后知：，在区间递增，在区间递减，；关于图1-2-3和图1-2-4，我们仔细观察会发现对于函数，我们把换成即可得到．对于：如图1-2-5，当时，，在区间递减；当时，，在区间递减，在区间递增，；对于：如图1-2-6，当时，，在区间递减；当时，，在区间递减，在区间递增，；关于图1-2-5和图1-2-6，我们仔细观察会发现对于函数，我们把换成即可得到．对于：如图1-2-7，求导后知：，在区间递减，在区间递增，；对于：如图1-2-8，求导后知：，在区间递减，在区间递增，；关于图1-2-7和图1-2-8，仔细观察会发现对于函数，我们把换成即可得到．【例1】（2020•福建模拟）函数的最小值为.【例2】（2020•荆州期末）函数的单调增区间为A． B． C． D．【例3】（2021•江苏期末）函数的最小值为．【解题总结】1．熟悉掌握八大函数的基本性质．2．利用八大函数基本性质解决最值单调区间问题．3．注意函数之间的同构式转化．【跟踪训练1】（2020•惠州期末）函数的最小值为.【跟踪训练2】（2020•成都二诊）已知函数，若存在，使得成立，则的最大值为A． B． C． D．考点3三次函数的图像和性质1.基本性质设三次函数为：(、、、且),其基本性质有：性质1：=1\*GB3①定义域为．=2\*GB3②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．=3\*GB3③单调性和图像：图像图1-6-1图1-6-2图1-6-3图1-6-4性质2：三次方程的实根个数对于三次函数(、、、且),其导数为当，其导数有两个解，，原方程有两个极值，．当时,原方程有且只有一个实根；当时,原方程有两个实数根；当时,原方程三个实数根；性质3：对称性（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；；（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．【例1】(2020•泸州期末)函数是上的单调函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．【例2】（2020•金凤期末）已知函数，则下列说法正确的（）有一个零点在处有极大值 在上单调递增 在处有极大值【例3】(2020•贵池期中)设为实数，函数，且是偶函数，则的递减区间为（）A． B．， C． D．【例4】(2020•新课标Ⅲ)已知函数．讨论的单调性．若有三个零点，求的取值范围【解题总结】1．注意三次函数的基本性质．2．数形结合便于理解．【跟踪训练】1．(2020•烟台期末)若函数在定义域上不单调，实数的取值范围为（）A．或 B． C． D．2．若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．（2014•全国=1\*ROMANI理）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围为（）A． B． C． D．考点4抽象函数导函数构造（拓展提升）类型一导数和差，构造和差型函数：；；；和与积联系，构造乘积型函数；差与商联系，构造分式型函数：；．类型二幂函数及其抽象构造定理1；证明：因为；，所以，则函数单调递增；，则单调递增．定理2当时，；证明因为；，所以，则函数单调递增；，则单调递减．类型三指数函数与抽象构造定理3；；证明：因为，，所以，则单调递增；反之单调递减；，则单调递增；反之单调递减．定理4；．证明：因为；，所以，则单调递增；，单调递减；若，则单调递增，若，则单调递减． 定理5正弦同号，余弦反号定理，当，；，当，；，当，；，当，．遇正切时化切为弦，请自己证明相关结论．【例1】（2020•湛河月考）已知定义在上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【例2】（2015•新课标II）设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（） B． C． D．【例3】（2020•南平一模）已知定义在上的连续函数满足且，为函数的导函数，当时，有，则不等式的解集为A．B．C． D．【例4】（2020•汕头一模）已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是A． B． C． D．【解题总结】1．构造时抓住问题最后的不等式，往往隐藏着原函数影子．2．利用单调性求解范围．【跟踪训练】1．（2020•宛城模拟）定义在上的可导函数的导函