查补重难点05 三角形与相似三角形（原卷版）

查补重难点05.三角形与相似三角形考点一：三角形及其全等1）三角形相关定理：①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；②三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和；③三角形三边关系：三角形两边之和＞第三边，两边之差＜第三边；④角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；⑤线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。2）全等三角形的性质和判定：①全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。推论：全等三角形的周长和面积相等，对应的“三线”分别相等。②全等三角形的判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）。题型1.三角形的内角和定理与外角定理1.三角形的内角和与三角形的大小、形状无关，不会随着三角形的大小发生变化，三角形的内角和永远都是180°。2.三角形的外角性质：三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。特别注意：“不相邻”。例1．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，已知等腰，，将绕点顺时针旋转，点落在点处，且，连接交于点，如果，那么度．变式1.（2023·河北·模拟预测）在中，数据如图所示，若比小，则比（

）

A．大 B．小 C．大 D．小变式2．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在中，，点D，E分別在边AB，AC上，，连结CD，BE．（1）若，求，的度数．（2）写出与之间的关系，并说明理由．题型2.三角形三边关系1.三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”。例1．（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（

）A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12变式1．（2024·江苏淮安·一模）如图，A、B、C、D是平面内四点，若，，，则线段的长度可能是（

）A．2 B．4 C．5 D．6变式2．（2023·江苏连云港·中考真题）一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是．（只填一个即可）题型3.角平分线与垂直平分线定理角平分线到一个角两边的距离相等，垂直平分线上的点到一条线段两端的距离相等。这两个性质组合在一起也是初中几何比较常见的题型，灵活运用角的平分线的和线段垂直平分线的性质是解题的关键。见到角平分线我们常作辅助线：向角的两边引垂线；见到垂直平分线：连结线段的两端点。例1．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为．

变式1．（2024·江苏盐城·一模）如图，在中，，，的平分线交于D，于点E，若，则的长度为（

）A．2 B．4 C．6 D．8变式2．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，△ABC为锐角三角形．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，若，，，则四边形ABCD的面积为．（如需画草图，请使用试卷中的图2）.题型4.全等三角形的性质与判定证明三角形全等时要注意以下几点：1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA），②任一组等角的对边相等(AAS)，（2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)，②第三组边也相等(SSS)，（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS或ASA)，②夹等角的另一组边相等(SAS)。特别注意：边边角不能证全等哦！例1．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，，，．(1)求证：；(2)用直尺和圆规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹）变式1．（2022·江苏南通·中考真题）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是

变式2．（2023·江苏南通·中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，．求证：．小虎同学的证明过程如下：证明：∵，∴．∵，∴．第一步又，，∴第二步∴第三步

(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；(2)请写出正确的证明过程．题型5.尺规作图观近几年江苏中考，对尺规作图的考查常考垂直平分线、角平分线、等角的作图，我们不仅要能操作，还需要能用语言准确地表述作图步骤。注意：直尺和圆规的使用规则。例如，直尺不能用来测量长度，只能用来连接两点；圆规可以开到无限宽，但上面不能有刻度，只能拉开成之前构造过的长度。例1．（2024·江苏南京·一模）如图，已知，请用无刻度直尺和圆规（不要求写作法，保留作图痕迹）；(1)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合；(2)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且，请在图②中作出点．变式1．（2023·江苏·中考真题）如图，、、、是直线上的四点，．

(1)求证：；(2)点、分别是、的内心．①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）；②连接，则与的关系是________．变式2．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，，．

(1)求出对角线的长；(2)尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹）考点二：特殊三角形1）特殊三角形相关定理：①等腰三角形：等边对等角、“三线合一”，常做辅助线→底边上的高线；判定方法：两边长相等、等角对等边、逆用“三线合一”（角平分线与中线重合除外）；②直角三角形：直角三角形两锐角互余、斜边上的中线等于斜边长的一半、勾股定理；判定方法：一个角为直角、两个内角互余、勾股定理逆定理、一边上的中线等于这边长的一半。题型1.等腰三角形的性质与判定1、等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。2、等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合（三线合一）。3、等腰三角形两腰上的高、中线、角平分线相等。例1．（2023·江苏·中考真题）若等腰三角形的周长是，一腰长为，则这个三角形的底边长是．变式1．（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为．变式2．（2024·江苏苏州·模拟预测）将边长为的等边三角形按如图所示的位置放置，边与轴的交点为，则．变式3．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．(1)求证：；(2)若，求的度数．

题型2.直角三角形的性质与判定1、两锐角互余：在直角三角形中，两个锐角（非直角的角）的角度和为90度。2、斜边中线性质：直角三角形斜边上的中线长度等于斜边长度的一半（该性质的逆命题也是真命题）。3、30度角性质：如果直角三角形中有一个30度的角，那么这个角所对的直角边长度是斜边长度的一半。例1．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，在和中，，、、分别为、、的中点，若，则．变式1．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为.

变式2．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，．过点作，延长到，使，连接．若，则．（结果保留根号）

题型3.勾股定理与逆定理1、勾股定理：两直角边平方和等于斜边平方，即a²+b²=c²，其中a和b是直角边长，c是斜边（直角边中最长的边）的长度。（切记运用定理一定要确定斜边哦！）2、勾股定理逆定理：如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形。例1．（2022·江苏南京·中考真题）直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点距离最大的是（

）

A．点 B．点 C．点 D．点变式1．（2023·江苏·中考真题）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为（精确到个位，参考数据：）．

变式2．（2023·江苏南通·中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则（用含的式子表示）．考点三：相似三角形1）相似三角形相关定理：①相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例；推论：相似三角形的周长比=相似比；面积比=相似比的平方；对应三线之比=相似比；②相似三角形的判定：两对内角对应相等、三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等。题型1.黄金分割黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比。例1.（2023·四川达州·统考中考真题）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，之间的距离为．变式1.（2024·上海杨浦·统考一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（

）A．B．C．D．题型2.相似三角形的性质与判定性质：（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。判定：（1）有两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。例1．（2022·江苏苏州·中考真题）（1）如图1，在△ABC中，，CD平分，交AB于点D，//，交BC于点E．①若，，求BC的长；②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）如图2，和是△ABC的2个外角，，CD平分，交AB的延长线于点D，//，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为，△CDE的面积为，△BDE的面积为．若，求的值．变式1．（2023·江苏南通·中考真题）在中（如图），点D、E分别为、的中点，则．变式2．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，在中，D为边上一点，且，已知，则．变式3．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．题型3.位似位似图形的性质：（1）平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比。找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心。例1．（2024·江苏常州·模拟预测）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为．

变式1．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为．（结果用含，的式子表示）变式2．（2022·江苏南京·中考真题）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图①，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻折，得到，则与成自位似轴对称．

(1)如图②，在中，，，，垂足为，下列3对三角形：①与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是________（填写所有符合条件的序号）；(2)如图③，已知经过自位似轴对称变换得到，是上一点，用直尺和圆规作点，使与是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；(3)如图④，在中，是的中点，是内一点，，，连接，求证：．题型4.相似三角形的综合运用利用影长测量物体的高度：①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决。②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度。利用相似测量河的宽度（测量距离）：①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上。必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形。②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度。借助标杆或直尺测量物体的高度：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度。例1．（2023·江苏宿迁·中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．【应用拓展】小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．

变式1．（2023·江苏·中考真题）如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形和矩形，点、在边上（），且点、、、在直线的同侧；第二步，设置，矩形能在边上左右滑动；第三步，画出边的中点，射线与射线相交于点（点、不重合），射线与射线相交于点（点、不重合），观测、的长度．

(1)如图，小丽取，滑动矩形，当点、重合时，______；(2)小丽滑动矩形，使得恰为边的中点．她发现对于任意的总成立．请说明理由；(3)经过数次操作，小丽猜想，设定、的某种数量关系后，滑动矩形，总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由．课后训练1．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（）

A． B． C． D．2．（2022·江苏连云港·中考真题）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为12，则的周长是（

）A．54 B．36 C．27 D．213．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是（

）A．8 B．6 C．5 D．44．（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（

）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm5．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（

）A． B． C． D．6．（2023·江苏·中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：画法图形1．以A为端点画一条射线；2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．

这一画图过程体现的数学依据是（

）A．两直线平行，同位角相等B．两条平行线之间的距离处处相等C．垂直于同一条直线的两条直线平行D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例7．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，，，是的中点，将沿着翻折得到，连接，则线段的长为（

）

A．4 B． C． D．38．（2022·江苏盐城·中考真题）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法步骤：第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测，点的距离值．如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（

）A．40米 B．60米 C．80米 D．100米9．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③10．（2023·江苏徐州·中考真题）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为（写出一个即可）．11．（2023·江苏扬州·中考真题）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为．

12．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，在中，，，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接．若的面积是2，则的值是．13．（2022·江苏泰州·中考真题）如图上，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为.14．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，以，为边分别向外作正方形和正方形，交于点，交于点若，则的值为．15．（2024·江苏苏州·模拟预测）问题情境：如图1，在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使DG＝，连接，先证明，再证明，可得出，，之间的数量关系．实际应用：如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化，四周修有步行小径，且，，在小径，上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，米，米，试在小王同学研究的基础上，求两凉亭之间的距离．16．（20