查补重难点03 反比例函数与一次函数的综合运用（原卷版）

查补重难点03反比例函数与一次函数的综合运用考点一：反比例函数与一次函数综合反比例函数与一次函数进行综合考查的题型是江苏历年中考数学对于函数考查的重点内容，那么关于反比例函数与一次函数的综合专题当中，我们主要涉及到函数共存问题，交点和不等式（比大小）问题、最值问题以及与几何综合压轴类的题型。无论是哪一类型的题型，在综合的考察过程当中都是对于反比例函数与一次函数的图像和性质有充分的了解，借助数形结合思想、方程思想、化归思想等。通过函数的图像来得到我们所需要的求解问题。在这过程当中，如果对于这两类函数没有全面的了解，那么在解题过程当中就要花费大家很多的时间而导致其解题效率的降低，那么在解决这三大类型的提醒过程当中，该如何利用这些函数的性质来进行解题，该专题可供大家在备考阶段能够进行专项的突破。题型1.反比例函数和一次函数图像共存问题函数图象共存问题是一次函数和反比例函数当中含有共同的参数，根据分类讨论的形式，由函数的图像特点来判定符合两个函数参数的图形。解决这类型的题不仅是反比例函数和一次函数进行综合考查，连同二次函数在内的题型进行考查也是比较常见的，所以解决这类型的问题时，我们先要根据一次函数或反比例函数中参数的共性，通过分别进行讨论的形式逐一进行排除，最终确定满足要求的函数图像。例1．（2023年山东省泰安市中考数学真题）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（

）A．B．

C．

D．

变式1.（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（

）A．B．C．D．变式2.（2022·广西·中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A．B．C．D．题型2.反比例函数和一次函数的交点问题一次函数图像与反比例函数相关问题，牵扯到的知识点比较多，如求它们的函数解析式，或是通过两者的图像相交，需要考生结合两个函数解析式转化成一元二次方程，从而求得交点坐标等。例1.（2023·江苏·九年级校考期中）已知一次函数与反比例函数的图象相交于A和B两点，其中有一个交点A的横坐标是3．(1)求k的值(2)求A，B两点的坐标．变式1．（2024·福建三明·一模）若正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为（）A． B． C． D．变式2．（2023·河南南阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．(1)求与的值；(2)请用无刻度的直尺和圆规作直线，使，且与反比例函数图象在第一象限内交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）；(3)求点的坐标．题型3.反比例函数与一次函数的大小比较或不等式问题大小比较问题的呈现方式主要以不等式的解集的求解来进行呈现，而满足条件的不等式的左右两边为一次函数或反比例函数的形式来存在，所以我们可以通过这类型不等式的左右两边的函数图像来进行判定是大于小于的情况，从而通过其函数的交点来确定图像的位置，满足的解集。例1．（2023·内蒙古·中考真题）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（

）A．B．C．或D．或变式1．（2023·山东日照·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴相交于点A，与反比例函数的图像相交于点、．则时x的取值范围是（

）

A．或 B． C． D．变式2．（2023·浙江湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是(

)A．或B．或C．或D．或题型4.反比例函数与一次函数的面积问题1.三角形的面积型：当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．例1．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点，连接．已知点，的面积是2．(1)求、的值；(2)求的面积．变式1．（2022·江苏无锡·中考真题）一次函数y=mx+n的图像与反比例函数y=的图像交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（-，-2m）、B（m，1），则△OAB的面积（

）A．3 B． C． D．变式2．（23-24九年级·广东深圳·阶段练习）将反比例函数y＝的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线A（﹣3，3），B（，）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为（）A．3 B．8 C．2 D．变式3．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点E，点在直线上，的顶点D在x轴上，反比例函数的图像经过点B，C．(1)求a、k的值和点C的坐标；(2)求的面积．题型5.反比例函数和一次函数的综合题型（新定义）根据新定义和相关函数的相关性质（重点考查单调性和最值、对称性、零点等）解答即可。例1.（2023·江苏宿迁·中考真题）规定：若函数的图像与函数的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．(1)下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是________（填写序号）；(2)若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是________、________；(3)若函数（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，求的取值范围．变式1．（2021·江苏南通·中考真题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值；（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m取值范围．考点二：反比例函数与几何综合压轴反比例函数与几何综合问题，是是历年来江苏中考的热点，常见于中考试卷的压轴题中，其融合了几何最值、特殊平行四边形、特殊三角形的性质、（全等）相似三角形的判定及性质、等角（倍角）的应用等数学核心知识，考查了学生的分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想、综合分析和应用知识的能力。题型1.反比例函数与最值问题反比例函数中的最值主要分两类：（1）面积类最值：常将几何图形的面积转化为代数式，利用函数求出代数式的最值即可；（2）长度类最值：①多线段和差类：常用将军饮马模型、费马点模型、阿氏圆模型、胡不归模型解答，②单线段最值：常用瓜豆原理（模型）、隐圆模型解答；例1．（2023·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于，两点，连接，的面积为．(1)求一次函数与反比例函数的表达式．(2)当时，请你直接写出的取值范围．(3)若为线段上的一个动点，当最小时，求的面积．变式1.（2024·江苏苏州·一模）如图，一次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数图像相交于点．(1)求反比例函数的表达式；(2)点在点的左侧，过点作轴平行线，交反比例函数的图像于点，连接．设点的横坐标为，求当为何值时，的面积最大，这个最大值是多少？变式2．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；(2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

题型2.反比例函数与图形变换（轴对称、平移、旋转）反比例函数与图形变换主要运用反比例函数自身的性质及K的几何意义和轴对称、平移、旋转的相关性质解题即可。例1．（2023·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点，与轴交于点，过作轴于点，已知，．(1)求一次函数和反比例函数表达式；(2)将线段沿直线向下平移得到线段，使得平移后的的中点恰好落在双曲线上，求线段平移的距离．

变式1．（2023·江苏南京·二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．(1)分别判断函数，的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；(2)设函数，的图象的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为时，求的值；(3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有个“等值点”时，请直接写出的取值范围．变式2．（2023·四川成都·三模）直线：与y轴交于点C，反比例函数的图象交于点、B．(1)求a的值及B的坐标；(2)在x轴上存在点D，使，求点D的坐标；(3)如图2，将反比例函数的图象沿直线：翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线：与此封闭图形有交点，求出满足条件的k的取值范围．

题型3.反比例函数与相似（位似）、全等反比例函数与相似（位似）、全等问题，一般字母未对齐，故存在分类讨论的情形，纵然这类题型，放在以函数为背景的题型中，与反比例函数结合，相似三角形分类讨论的解题技巧，仍没有发生变化，故掌握了解题方法或解题技巧，受益的不只是一道题，而是一类型题的解决。例1．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，．(1)______，______，点C的坐标为______．(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．

变式1．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点A、点B，将直线向下平移b个单位后双曲线交于点C、点D，M是第二象限内一点，连接、，若以M为位似中心的与位似，位似比为，则b的值为．

变式2．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与轴交于点．(1)_________，_________；(2)连接并延长，与反比例函数的图像交于点，点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．题型4.反比例函数与特殊图形（三角形、四边形）解反比例函数与特殊图形（三角形、四边形）的综合题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的当成（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值。特殊几何图形的存在性问题解题思想：（1）找点构成等腰三角形、直角三角形、（特殊）平行四边形等问题；（2）找点构成三角形全等、相似问题；（3）求点的坐标。例1．（2023·江苏连云港·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，与x轴相交于点C．(1)求m和n的值；(2)若点在该反比例函数的图像上，且它到y轴的距离小于3，则f的取值范围是；（直接写出答案）(3)以为边在右侧作菱形．使点D在x轴正半轴上，点E在第一象限，双曲线交于点F，连接，则的面积为．（直接写出答案）

变式1．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（

）

A． B． C． D．1变式2．（2023·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数且交于、两点，与轴、轴分别交于、两点，连接、若；，点的坐标为(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)连接，若点是轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．题型5.反比例函数与角度问题（等角、倍角、特殊角）

1）特殊角问题：（1）利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系；（2）

遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形。2）角的数量关系问题（1）等角问题：基于动点构造某个角使其与特定已知角相等，主要借助特殊图形的性质、全等和相似的性质或构造圆，利用圆周角的性质来解决；（2）倍角问题：基于动点构造某个角使其等于特定已知角的倍角，主要利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答；例1．（2019·江苏镇江·中考真题）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接．已知与的面积满足．（1）＝_____，＝_____；（2）已知点在线段上，当时，求点的坐标．变式1．（2023·江苏泰州·模拟预测）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．(1)直接写出A、B两点的坐标（用含有a的代数式表示）；(2)当时，在双曲线位于直线下方的图象上找一点D，使得，求出点D的坐标；(3)点C在y轴上，坐标为，且直线过一定点，试判断的值是否会发生变化．若不变化，请求出该值；若变化，请说明理由．变式2．（2023·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点O为坐标原点，直线交反比例函数图象于另一点B，点C是反比例函数位于第一象限的图象上的任意一点，与点A不重合，过点A作轴，过点C作轴，点E为垂足，相交于点D，连接．(1)______；(2)求证：：(3)当时，求的长．题型6.反比例函数与新定义几何图形例1．（2023·四川成都·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．与坐标轴交于C、D两点，连接、，已知，的面积为1．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)P是线段的中点，直线向上平移个单位长度后，将的面积分成两部分，求b的值；(3)我们把只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角的四边形，叫作“直角等补形”；设M为y轴负半轴上一点，N为平面内一点，当四边形是直角等补形时，求点M的坐标．变式1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)当时，根据图象直接写出自变量x的取值范围；(3)我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”．设C是第一象限内反比例函数图象上一点，点在x轴上方，当以为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点的坐标．课后训练1．（2023年安徽中考数学真题）已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（

）

A．

B．

C．

D．

2．（2023·江苏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标，则的值是（

）．

A． B． C． D．3．（2023·广西南宁·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的圆上，点Q是的中点，且长的最大值为1.5，则k的值为（

）A． B． C． D．4．（2023·山东日照·二模）在平面直角坐标系中，P是双曲线上的一点，点P绕着原点O顺时针旋转的对应点落在直线上则代数式的值是（

）A． B． C． D．5．（2024·河北石家庄·一模）如图，直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则的取值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．56．（2021·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设为双曲线上一点，直线，分别交y轴于C，D两点，则的值为（

）A．2 B．4 C．6 D．87．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点．一次函数与交于点，若为的中点，则的值为．

8．（2024·江苏·模拟预测）如图，和y＝x的图像，若一个数x大于它的倒数，可知x的取值范围是．9．（2023·江苏镇江·二模）在平面直角坐标系中，若双曲线与直线恰有1个交点，则的值是．10．（2023·江苏常州·一模）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶好点”．例如点是函数图像的“1阶好点”；点是函数图像的“2阶好点”，若y关于x的二次函数图像的“3阶好点”一定存在，则a的取值范围为．11．（2023·四川成都·一模）如图，反比例函数的图形过点A，反比例函数的图象与直线交于点B，C，已知，则；过点A分别作y轴和x轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点D和E，连接交y轴于G，连接交x轴于点F，当的面积为1时，．

12．（2024·湖南衡阳·模拟预测）定义新运算：，即的取值为，，的中位数，例如：，，已知函数与直线有个交点时，则的取值范围为．13.（2023·江苏·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、．C是y轴上的一点，连接、．(1)求一次函数、反比例函数的表达式；(2)若的面积是6，求点C的坐标．14．（2023·四川成都·三模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，与反比例函数的图像交于，两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式：(2)点是反比例函数图像在第一象限上的点，且，请求出点的坐标；(3)反比例函数具有对称性，适当平移就可发现许多神奇的现象．将该双曲线在第一象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，再将双曲线在第三象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于，两点，如图2，此时平移后的两条曲线围成了一只美丽的“眸”，为这只“眸”的“眸径”，请求出“眸径”的长．

15．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．(1)点是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；(2)连接、，若四边形为正方形．①求、的值；②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．

16．（2023·江苏宿迁·三模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．(1)求出一次函数与反比例函数的解析式；(2)点是线段上一点（不与，重合），过点作轴的平行线与该反比例函数的图象交于点，连接，，，当时，求点的坐标；(3)如图，在（）的前