专题02 等边三角形的性质与判定（十三大题型+跟踪训练）（原卷版）

专题02等边三角形的性质与判定（十三大题型+跟踪训练）题型1：等边三角形1．三边都相等的三角形叫做________．等边三角形的内角都等于________度，各条________所在的直线都是它的对称轴．2．等边三角形的边长为a，则它的周长为______，等边三角形共有________条对称轴．3．等边三角形是（

）.A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形题型2：等边三角形的性质4．如图，在等边中，，，则的长为___．5．如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（

）A． B． C． D．6．如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE=AD，则∠ADE=（

）A． B． C． D．7．如图，是等边三角形，，连接，，则的度数为________．8．如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（

）

A． B． C． D．9．如图，在等边三角形中，于点D，点E是延长线上一点，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．10．如图，和都是等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，，则（）A．6 B．5 C．8 D．711．如图，是等边三角形，延长到D，使，在右侧作等腰直角，与相交于点F，则的度数为___________．

题型3：动态问题12．如图，将等边三角形沿着折叠，点落到点处，连接．若，则___________．

13．如图，四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．求证：．

题型4：最值问题14．如图，等边中，于点H，点D为的中点，，，点E为上一点，连接，如果，那么m的最小值为___________．15．如图，在等边中，D，E分别为边的中点，，且P为上的动点，连接，则的最小值为______．16．如图，等边和等边的边长都是4，点在同一条直线上，点P在线段上，则的最小值为__________．题型5：等边三角形解答题17．已知：如图，E是四边形的边上一点，且和都是等边三角形．请问吗？说明理由．

18．如图，点O是等边内一点，以OC为边作等边三角形OCD，连接OD．

(1)求证：；(2)若，，当为多少度时，是等腰三角形．19．在中，，以为边向外作等边和等边．

(1)如图1，连接，与相交于点O．①说明的理由．②°．（直接填答案）(2)如图2，过D做的垂线，垂足为H，连接，交于点F，与相等吗？为什么？题型6：等边三角形的判定20．下列说法不正确的是（

）A．有一个角为的三角形是等边三角形； B．三边相等的三角形是等边三角形C．三个角相等的三角形是等边三角形 D．有一个角是的等腰三角形是等边三角形21．在下列结论中：（1）有一个外角是的等腰三角形是等边三角形（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形其中正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个题型7：等边三角形判定的应用22．在中，，，则的周长为（

）A．24 B．18 C．12 D．623．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，AC=2，则四边形ABCD的面积为（

）A．1 B． C． D．424．a、b、c是的三边，且，那么的形状是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形25．如图，∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点C，D分别是点P关于OA，OB的对称点，连接CD交OA，OB分别于点E，F；若△PEF的周长的为9，则线段OP＝_____题型8：等边三角形判定有关的最值问题26．如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．题型9：符合条件的格点问题27．如图，在中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（

）A．3 B．4 C．5 D．6题型10：新定义问题28．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③；④四边形的面积；⑤是等边三角形．其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个题型11：等边三角形的判定解答题29．已知点C和点F在线段BE上，且AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，AC和DF相交于点G．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）当∠AGF＝120°，猜想△GFC的形状，并说明理由．30．如图，已知在中，平分，，，．求证：是等边三角形．31．在中，，，、两点在直线上（点在点的左侧）．若，，求证：是等边三角形．32．如图，和都是等边三角形，点在上，点在上，，连接，，．(1)求证：．(2)判断的形状，并说明理由．题型12：等边三角形的判定与性质综合33．如图，在中，，，，将沿所在直线向右平移得到，连接．若，则线段的长为（）A．2 B．4 C．5 D．634．如图，中，，是中线，，将沿折叠至，则点C到的距离是（

）A．4 B． C．3 D．35．已知是等边三角形，点P在上，过点P作，垂足为D，延长至点Q，使，连接PQ交AC于点E，如图所示．如果等边的边长为4，那么线段的长为（）A．1 B．2 C． D．36．如图，在中，，点D为上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，点D的对应点为点E，连接．下列结论错误的是（

）

A． B．C． D．当时，题型13：等边三角形的判定与性质综合解答题37．如图，等边的边长为3，点P是边上的一个动点，过点P作于点D，延长至点Q，使得，连接交于点E，则之长为（

）

A．1 B． C．2 D．38．如图，在等腰中，，，于点D，点P是延长线上一点，点O在延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个39．如图，已知，，，，和交于点，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的有（

）A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④40．已知线段和点，，，，，相交于点．(1)如图1，若点在线段上，①求证：；②若，求的度数；(2)如图2，点是线段上方的一点，且保持，连接，求证：．41．已知和为等腰三角形，，，，点在上，点在射线上，交于点．(1)如图①，求证：；(2)如图②，若，点与点重合，求证：；(3)如图③，若，求证：．一、单选题1．下列条件不能得到等边三角形的是（

）A．有一个内角是60°的锐角三角形 B．有一个内角是60°的等腰三角形C．顶角和底角相等的等腰三角形 D．腰和底边相等的等腰三角形2．如图，是等边三角形，则（

）A． B． C． D．3．如图，等边中，点D是上一点，，则（

）A． B． C． D．4．三角形三边长分别为a，b，c，它们满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则该三角形是(

)A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形5．如图，∠B=∠D=90°，AB=AD，∠2=60°，BC=5，则AC=（

）A．5 B．10 C．15 D．2.56．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（

）A．10° B．15° C．20° D．25°7．如图，D、E是等边的BC边和AC边上的点，，AD与EE相交于P点，则的度数是（

）A．45° B．55° C．60° D．75°8．下列结论中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（

）A． B． C． D．9．如图，在中，，点D在上，，则等于（

）A．4 B．5 C．6 D．810．如图，等边的边长为12，D是边上一点，交于点E，连接，F是上的一点，，则的长为（）A．4 B．5 C． D．11．如图，在正方形网格中有，两点，点在点的南偏东方向上，且点在点的东北方向上，则点可能的位置是图中的（

）A．点处 B．点处 C．点处 D．点处12．如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点O，与交于点P，与交于点，连接．有以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．其中正确结论的个数是（

）A．5 B．4 C．3 D．2二、填空题13．等边三角形是特殊的三角形，因此它也是图形，有条对称轴．14．在△ABC中，∠A＝60°，要使是等边三角形，则需要添加一条件是.15．如图，在等边△ABC中，于点D，若，则．16．如图，中，平分交于D，，则．17．如图，已知点B、C、D、E在同一直线上，是等边三角形，且，则．18．如图，中，，，于，是的平分线，且交于点.如果，则的长为.19．如图，在的同侧，点为线段中点，，若，则的最大值是．20．如图，是等边三角形，F为的中点，D在线段上，且，连接．以为边作等边，的延长线交于H，连接，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是．

三、解答题21．如图，等边中，分别交BC，AC于点D、E．求证：是等边三角形．22．已知：如图，在中，是腰上的高．求证：．23．如图，在等边中，点D，E分别在边上，且与交于点F．求证：．24．如图，在中，交边于点，，，.(1)求的度数；(2)求证：.25．如图，、分别是等边三角形的边，上的点，且，、交于点．（1）求证：；（2）求的度数．26．如图，在中，，点在内，，，点在外，，．(1)求的度数；(2)求证：．27．如图，在等边中，线段为边上的中线，，且在下方，点、分别是线段、射线上的动点，且点不与点重合，点不与点重合，．(1)求的度数；(2)连接，求证：是等边三角形．28．如图，已知是等边三角形，点在边上．

(1)如图1，在的延长线上取点，使，在上截取，连接．①求证：是等边三角形；②求证：．(2)如图2，在的延长线上取点，使，直接写出之间的等量关系．29．已知为等边三角形，点为的垂直平分线上一点，连接、，点、分别在、所在的直线上，连接、．(1)如图①，若，点、在边、上，，则、、之间的数量关系是_______；