专题02 数的运算（教师版）

2022-2023学年广东省小升初数学专题真题汇编学问讲练专题02数的运算学问点一：四则混合运算的运算挨次1.分级的标准四则混合运算分为两级，加法和减法叫作第一级运算；乘法和除法叫作其次级运算。2.四则混合运算的运算挨次（1）在没有括号的算式里，假如只含有同一级运算，要从左往右依次计算；假如含有两级运算，要先算其次级运算，再算第一级运算（也就是先算乘除法，再算加减法）。（2）算式里有括号的，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最终算括号外面的学问点二：四则混合运算定律运算定律文字叙述用字母表示加法加法交换律两个数相加，交换加数的位置，和不变a+b=b+a加法结合律三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变(a+b)+c=a+(b+c)乘法乘法交换律两个数相乘，交换两个乘数的位置积不变ab=ba乘法结合律三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变(ab)c=a(bc)乘法安排律两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把它们的积相加(a+b)c=ac+bc学问点三：运算性质1.减法的性质：a-b-c=a-(b+c)a-b+c=a-(b-c)2.除法的性质（除数不等于0）:a÷（b×c）=a÷b÷ca÷b÷c=a÷c÷b3.商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。a÷b=（a×m）÷（b×m）（mQUOTE≠≠0，bQUOTE≠≠0）a÷b=（a÷m）÷（b÷m）（mQUOTE≠≠0，bQUOTE≠≠0）重点提示：在利用减法和除法的运算性质进行简便计算时，等式的两边可以颠倒过来，要依据算式的特点机敏地进行去括号或添括号。学问点四：四则混合运算中的速算技巧：1.加减法中的速算与巧算（1）分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．（“补数”就是两个数相加，假如恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”）（2）加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．（3）数值原理法：先把加在一起为整十、整百、整千…的数相加，再与其它的数相加．（4）“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要留意把多加的数减去，把少加的数加上）2.乘法凑整技巧：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最终再与前面的数相乘，使得运算简便。例如：，，3.分数与小数混合运算的技巧在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小数化成分数，这不仅影响到运算过程的繁琐与简便，也影响到运算结果的精确度，因此，要具体状况具体分析，而不能只机械地记住一种化法：小数化成分数，或分数化成小数。技巧1：一般状况下，在加、减法中，分数化成小数比较便利。技巧2：在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成小数。此时要将包括循环小数在内的全部小数都化为分数。技巧3：在乘、除法中，一般状况下，小数化成分数计算，则比较简便。技巧4：在运算中，使用假分数还是带分数，需视状况而定。技巧5：在计算中经常用到除法、比、分数、小数、百分数相互之间的转化，把握这些常用的数互化数方法对学习格外重要学问点五：定义新运算1.定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。留意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格依据新定义的计算挨次，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等来表示的一种运算。（3）新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。2.一般的解题步骤是:一是认真审题，深刻理解新定义的内容；二是排解干扰，按新定义关系去掉新运算符号；三是化新为旧，转化成已有学问做旧运算。一．选择题（共10小题）1．（2022•坪山区）下面（）图可以表示。A． B． C． D．【思路引导】依据乘法算式，要先把图形这个图形平均分成4份，表示其中的3份，再把平均分成2份，表示其中的一份，据此解答。【规范解答】解：四个选项中，B选项中的图可以表示。故选：B。【考点评析】本题解题关键是依据分数乘分数的意义，选择正确的答案。2．（2022•迎江区）真真想用计算器计算25×24，可是计算器的按键“4“坏了，但真真还是用这个计算器算出了正确结果，她用的方法不行能是（）A．25×3×8 B．25×25﹣1 C．25×30﹣25×6 D．25×23+25【思路引导】用计算器计算25×24，计算器的按键“4“坏了，可以把24分成3×8，也可以把24分别化成25﹣1，30﹣6，23+1，应用乘法安排律计算。【规范解答】解：25×24＝25×3×8，可以用A选项的方法，25×24＝25×25﹣25，不能用B选项的方法，25×24＝25×30﹣25×6，可以用C选项的方法，25×24＝25×23+25，可以用D选项的方法。故选：B。【考点评析】此题主要考查了运算定律与简便运算，要娴熟把握，留意乘法运算定律的应用。3．（2022•宝安区）下面算式中，与0.42×3.7的积不相等的是（）A．4.2×0.37 B．42×0.037 C．0.042×37 D．42×3.7【思路引导】假如一个因数乘几，另一个因数除以相同的数（0除外），那么积不变，据此解答。【规范解答】解：A.4.2×0.37相当于（0.42×10）×（3.7÷10），所以与0.42×3.7的积相等。B.42×0.037相当于（0.42×100）×（3.7÷100），所以与0.42×3.7的积相等。C.0.042×37相当于（0.42×10）×（3.7÷10），所以与0.42×3.7的积相等。D.42×3.7相当于（0.42×100）×3.7，所以与0.42×3.7的积不相等。故选：D。【考点评析】明确一个因数乘几，另一个因数除以相同的数（0除外），那么积不变是解题的关键。4．（2022•金平区）甲数比乙数多25%，则乙数比甲数少（）A．20% B．25% C．33.3% D．无法比较【思路引导】甲数比乙数多25%，可以将乙数看作100，则甲数是100+25，两数差÷甲数＝乙数比甲数少百分之几。【规范解答】解：（100+25﹣100）÷（100+25）×100%＝25÷125×100%＝20%故选：A。【考点评析】此类问题一般用表示单位“1”的量作除数。5．（2022•英德市）妈妈带了500元去超市购物，选的商品有一袋大米90元，一桶油85元，一台电风扇312元，下面的第（）种状况下，估算比精确计算更有价值。A．营业员将每种商品的价格输入收款机时 B．妈妈考虑带的钱够不够时 C．妈妈被告之要付多少钱时 D．营业员要找钱给妈妈时【思路引导】妈妈考虑带的钱够不够时，就可以用估算的方法，据此解答即可。【规范解答】解：妈妈考虑带的钱够不够时，估算比精确计算更有价值。故选：B。【考点评析】营业员将每种商品的价格输入收款机时、妈妈被告之要付多少钱时、营业员要找钱给妈妈时，都是精确值。6．（2022•南山区）甲数比乙数多，下列说法中错误的是（）A．乙数是甲数的 B．乙数比甲数少 C．乙数比甲数少 D．甲数与乙数的比是7：4【思路引导】把乙数看作单位“1”，则甲数是（1+），依据求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数解答；乙数比甲数少几分之几，用少的数除以甲数即可解答；求甲数与乙数的比，用甲数比乙数，再化成最简洁的整数比即可。【规范解答】解：A.1÷（1+）＝1＝乙数是甲数的，所以A说法正确；B.÷（1+）＝＝乙数比甲数少，所以B说法错误；C.由B知，乙数比甲数少的说法正确；D.（1+）：1＝：1＝7：4所以D说法正确。故选：B。【考点评析】明确求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数解答；乙数比甲数少几分之几，用少的数除以甲数即可解答；求甲数与乙数的比，用甲数比乙数是解题的关键。7．（2021•江门）学校共有728名同学进行体操表演。每26人一列，可以排多少列？下面竖式计算的过程中，箭头所指得数表示的是（）A．2列的人数 B．8列的人数 C．20列的人数 D．28列的人数【思路引导】依据除数是两位数的除法计算方法可知，箭头所指的52是由商十位上的2与除数26相乘得到的，即2个十乘26，得到26个20，也就是520；表示20列的人数。【规范解答】解：竖式中剪头所指的52表示20列的人数。故选：C。【考点评析】除数是两位数的除法计算时，从被除数的最高位除起，每次先用除数试除被除数的前两位数，假如它比除数小，再试除前三位数；除到被除数的哪一位，就把商写在那一位上面；每求出一位商，余下的数必需比除数小。8．（2019•宝安区）一个数的5倍再加上5正好是100，这个数是（）A．95 B．21 C．19 D．10【思路引导】可以把这个数设成是x，然后依据题意列方程求解．【规范解答】解：设这个数是x．依据题意可列方程：5x+5＝1005x＝100﹣55x＝95x＝95÷5x＝19故答案选：C【考点评析】本题考查了简洁的四则混合运算中的列式计算，由于较简洁，可用方程也可以不用．9．（2018•始兴县）吸烟不仅有害健康且花钱。假如一位吸烟者每天吸一包18元的香烟，那么他每年花在吸烟上的钱大约要（）元。A．2000 B．5000 C．7000 D．10000【思路引导】依据整数乘法的意义，一包烟18元，一年按365天计算，据此列式解答。【规范解答】解：18×365＝6570（元）6570≈7000答：他每年花在吸烟上的钱大约要7000元。故选：C。【考点评析】此题考查的目的是理解把握两位数乘三位数的乘法法则、整数乘法的估算方法及应用。10．（2021•增城区）2□9×□8是一个三位数乘两位数的算式，那么下面四个数中有可能是它的得数的是（）A．10982 B．6539 C．3082 D．33612【思路引导】2口9×口8，依据估算方法，2口9≈300或200，口8可以约等于20、30、40、50、60、70、80、90，将两个乘数看成整百和整十数，通过估算，确定积的范围，再进一步验证即可。【规范解答】解：A．2口9×口8≈300×40＝12000，289×38＝10982，有可能是；B．2口9×口8≈200×30＝6000，249×28＝6972、239×28＝6692、229×28＝6412；2口9×口8≈300×20＝6000，259×18＝4662、299×18＝5382，不行能是；C．2口9×口8≈200×20＝4000，209×18＝3762，积不行能再小，不行能是；D．2口9×口8≈300×100＝30000，积不行能超过30000，不行能是。故选：A。【考点评析】整数乘法法则：（1）从个位乘起，依次用其次个因数每位上的数去乘第一个因数；（2）用其次个因数哪一位上的数去乘，得数的末位就和其次个因数的那一位对齐；（3）再把几次乘得的数加起来。二．填空题（共10小题）11．（2022•白云区）一件上衣原价200元，现打八折出售。现在售价是160元。【思路引导】打八折出售，就是依据原价的80%出售，依据现价＝原价×折扣，列式计算。【规范解答】解：200×80%＝160（元）答：现在售价是160元。故答案为：160。【考点评析】本题解题关键是理解：打八折出售，就是依据原价的80%出售，再依据现价＝原价×折扣，列式计算。12．（2022•阳春市）18吨比12吨多比49千米少的是42千米【思路引导】把所求的质量看作单位“1”，则18吨是所求质量的（），依据分数除法的意义，计算出所求的质量。把19千米看作单位“1”，则所求的长度是49千米的（），依据分数乘法的意义，计算出所求的长度。【规范解答】解：＝＝12（吨）＝＝42（千米）18吨比12吨多比49千米少的是42千米故答案为：12；42。【考点评析】本题考查分数应用题的解题方法，解题关键是先找出题目中的单位“1”是哪个量，再依据分数乘法与分数除法的意义，列式计算。13．（2022•增城区）这是小红做的一道作业题：5.98÷0.23＝2.51。你认为她算对了吗？假如不列竖式进行笔算，你有方法推断出小红的计算结果是否正确吗？说说你的想法：用2.51×0.23验算，2.51和0.23都是两位数小数，则它们的积是4位小数，而5.98只有两位小数，所以是错的。【思路引导】可以用商×除数＝被除数的方法进行验算。【规范解答】解：用2.51×0.23验算，2.51和0.23都是两位数小数，则它们的积是4位小数，而5.98只有两位小数，所以是错的。（答案不唯一）故答案为：用2.51×0.23验算，2.51和0.23都是两位数小数，则它们的积是4位小数，而5.98只有两位小数，所以是错的。（答案不唯一）【考点评析】本题主要考查了通过不计算推断小数除法算式是否正确，可以通过用乘法验算的方法进行判定。14．（2022•湘桥区）比8平方米多是14平方米，24吨比64吨少62.5%。【思路引导】把8平方米看作单位“1”，要求的数量相当于8平方米的（1+），依据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答；依据题意可知：一个数减去这个数的62.5%是24，依据这个数量关系式可求出答案。【规范解答】解：8×＝8×＝14（平方米）24÷（1﹣62.5%）＝24÷0.375＝64（吨）答：比8平方米多是14平方米，24吨比64吨少62.5%。故答案为：14，64。【考点评析】此题解答关键是找准单位“1”，单位“1”是已知的用乘法解答，单位“1”是未知的用除法解答。15．（2021•增城区）王大伯家收获了200袋大豆，每袋重40～50千克，用一辆载重10吨的卡车，一次能全部运完。（在横线填写“能”或“不能”）【思路引导】假设每袋都是最重的50千克，用每袋质量×袋数，求出总质量，统一单位，与卡车载重量比较即可。【规范解答】解：200×50＝10000（千克）10000千克＝10吨答：一次能全部运完。故答案为：能。【考点评析】关键是知道吨和千克之间的进率，1吨＝1000千克。16．（2021•花都区）把改写成乘法算式是a，当这个算式的结果是120时，则a是150【思路引导】依据分数乘法的意义可知a个，列式为×a＝a；由题意a＝120，可知a＝120÷，据此解答。【规范解答】解：把改写成乘法算式是a。a＝120a＝120÷a＝150故答案为：a、150。【考点评析】解决本题依据分数的意义和分数乘法的意义进行求解。17．（2022•超群区）（如图）某商城“6•18”大促销活动，全部物品打折出售。王阿姨买以下物品共172元。【思路引导】把上衣的原价看作单位“1”，打九折，即按原价的90%出售，依据百分数乘法的意义，用原价乘90%就是促销价；把裤子的原价看作单位“1”，可八折，即按原价的80%出售，同理，用原价乘80%就是促销价。再把二者促销价相加。【规范解答】解：九折＝90%，八折＝80%120×90%+80×80%＝108+64＝172（元）答：王阿姨买以上物品共172元。故答案为：172。【考点评析】关键是把折扣转化成百分数，再依据百分数乘法的意义解答。求一个数的百分之几是多少，用这个数乘百分率。18．（2022•新丰县）9千米相当于12千米的，吨是吨的。【思路引导】求12千米的是多少千米，用乘法计算；已知一个量的是吨。求这个量，用除法计算。【规范解答】解：12×＝9（米）÷＝×＝（吨）答：9千米相当于12千米的，吨是吨的。故答案为：9，。【考点评析】不同考查了分数乘除法，解答时要确定准单位“1”。19．（2021•广州）在横线里填上“＞”、“＜”或“＝”。（1）9.7×2.3＞9.7÷2.3；（2）390＜10.1×39；（3）当x＝3时，16x＞8。【思路引导】第（1）题可以依据“一个数乘大于1的数，积比这个数大；一个数乘小于1的数，积比这个数小；一个数除以大于1的数，商比这个数小；一个数除以小于1的数，商比这个数大。”来推断；第（2）题中依据乘法安排律，10.1×39＝（10+0.1）×39，然后进行推断；第（3）题把x直接代入算式计算，然后比较大小。【规范解答】解：（1）由于一个数乘大于1的数，积比这个数大，一个数除以大于1的数，商比这个数小，所以9.7×2.3＞9.7÷2.3；（2）10.1×39＝（10+0.1）×39＝10×39+0.1×39＝390+3.9所以390＜10.1×39；（3）当x＝3时，16x＝16×3＝48，48＞8，所以当x＝3时，16x＞8。故答案为：＞；＜；＞。【考点评析】此题考查小数大小比较，还考查了积的变化规律，乘法安排律的应用，还有代入求值的计算。20．（2018•揭阳）16比20少20%；24吨比18吨多；50比40多25%；比40米少20%的是32米．【思路引导】（1）把20看作单位“1”，先求出16把20少几，再依据百分数的意义解答；（2）把18吨看作单位“1”，要求的数量相当于18吨的（1），依据一个数乘分数的意义，用乘法解答；（3）把要求的数看作单位“1”，50相当于要求数的（1+25%），依据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法解答；（4）把40米看作单位“1”，要求的数量相当于40千克的（1﹣20%），依据一个数乘百分数的意义，用乘法解答；【规范解答】解：（1）（20﹣16）÷20＝4÷20＝0.2＝20%；答：16把20少20%．（2）18×（1+）＝＝24（吨）；答：24吨比18吨多．（3）50÷（1+25%）＝50÷1.25＝40；答：50把40多25%．（4）40×（1﹣20%）＝40×0.8＝32（米）；答：把40少20%是32米．故答案为：20；24；40；32．【考点评析】此题解答关键是确定单位“1”，单位“1”是已知的用乘法解答；单位“1”是未知的用除法解答．三．推断题（共5小题）21．（2022•南沙区）一个数增加20%后，再削减20%，所得的数与原来的数相等。×（推断对错）【思路引导】假设原数是100，这个数增加20%后是100×（1+20%），再削减20%，所得的数是100×（1+20%）×（1﹣20%），求出最终结果，再用100进行比较即可解答。【规范解答】解：假设原数是100，则：100×（1+20%）×（1﹣20%）＝120×0.8＝9696＜100所以原题说法错误。故答案为：×。【考点评析】明确两个20%的单位“1”不同是解题的关键。22．（2022•建华区）甲数比乙数多25%，那么乙数比甲数少。√（推断对错）【思路引导】依据“甲数比乙数多25%，”是把乙数看作单位“1”，即甲数是乙数的（1+25%），然后用25%除以甲数即得乙数比甲数少几分之几，即可求解。【规范解答】解：25%÷（1+25%）＝25%÷125%＝答：乙数比甲数少。故答案为：√。【考点评析】解答此题的关键是，找准单位“1”，统一单位“1”，找出数量关系，找准对应量，列式解答即可。23．（2020•浈江区）由于甲比乙多40%，所以乙比甲少40%。×（推断对错）【思路引导】先把乙数看成单位“1”，那么甲数可以表示为（1+40%），用两数差40%，除以甲数，求出乙数比甲数少百分之几，再与40%比较即可推断。【规范解答】解：40%÷（1+40%）＝40%÷140%≈28.6%乙数比甲数少28.6%，不是40%，所以原题说法错误。故答案为：×。【考点评析】先找出单位“1”，用单位“1”的量表示出其它量，再依据求一个数是另一个数百分之几的方法求解。24．（2022•新丰县）3千克的和1千克的一样多．√（推断对错）【思路引导】依据一个数乘分数的意义，求3千克的是把3千克看作单位“1”，求1千克的是把1千克看作单位“1”，分别求出1千克的与3千克的，然后进行比较即可．【规范解答】解：3×＝（千克）；1×＝（千克）；＝；所以3千克的和1千克的一样多，题干说法正确．故答案为：√．【考点评析】此题属于分数乘法的基本应用题，解答关键是确定单位“1”，依据一个数乘分数的意义，直接用乘法解答．25．（2020•仁化县）甲数比乙数多，乙数就比甲数少。×（推断对错）【思路引导】甲数比乙数多，就是把乙看作单位“1”，甲是乙的1+，求乙就比甲少几分之几，用÷（1+）解答，据此分析推断．【规范解答】解：甲数比乙数多，乙数就比甲数少÷（1+）＝÷＝所以甲数比乙数多，乙数就比甲数少的说法是错误的．故答案为：×．【考点评析】解答本题关键是找出甲是乙的几分之几，比甲少就用少的部分除以甲数．四．计算题（共3小题）26．（2022•新会区）直接填上得数。（1）340﹣160＝（2）3.72+5.28＝（3）3÷15＝（4）×＝（5）27×30%＝（6）1.03﹣0.37﹣0.43＝（7）÷×3＝（8）0.1÷0.25÷0.4＝（9）×（14+）（10）×﹣＝【思路引导】依据整数减法，整数除法，小数加减法，小数乘除法，分数加减法，分数乘除法的计算方法进行计算，可以把百分数化成小数或者分数后计算。【规范解答】解：（1）340﹣160＝180（2）3.72+5.28＝9（3）3÷15＝（4）×＝（5）27×30%＝8.1（6）1.03﹣0.37﹣0.43＝0.23（7）÷×3＝4（8）0.1÷0.25÷0.4＝1（9）×（14+）＝6（10）×﹣＝【考点评析】此题考查了同学的计算力量，计算时需认真认真。27．（2022•禅城区）计算下面各题（留意使用简便方法）。4×0.27×25×+÷34.86×[50÷（2.1﹣2.09）]【思路引导】4×0.27×25，运用乘法交换律、乘法结合律简算；×+÷3，把除数转换为乘它的倒数，再运用乘法安排律简算；4.86×[50÷（2.1﹣2.09）]，先算小括号里面的减法，再算中括号厘米的除法，最终算乘法。【规范解答】解：4×0.27×25＝0.27×（4×25）＝0.27×100＝27×+÷3＝＝（）×＝×＝4.86×[50÷（2.1﹣2.09）]＝4.86×[50÷0.01]＝4.86×5000＝24300【考点评析】此题考查的目的是理解把握分数、小数四则混合运算的挨次以及它们的计算法则，并且能够机敏选择简便方法进行计算。28．（2022•惠阳区）用自己宠爱的方法计算．÷×4﹣÷﹣×0.875+×．【思路引导】（1）将除法变为乘法，再约分计算即可求解；（2）先算除法，再依据减法的性质计算减法；（3）依据乘法安排律计算．【规范解答】解：（1）÷×＝××＝（2）4﹣÷﹣＝4﹣﹣＝4﹣（+）＝4﹣2＝2（3）×0.875+×＝×（0.875+）＝×1＝【考点评析】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算．留意运算挨次和运算法则，机敏运用所学的运算定律简便计算．五．应用题（共7小题）29．（2021•源城区）红星学校开展了社团活动课，航模小组和美术小组一共有45人，美术小组的人数是航模小组的，航模小组和美术小组分别有多少人？【思路引导】航模小组和美术小组一共有45人，美术小组的人数是航模小组的，依据分数加法的意义，全部人数是航模小组人数的（1+），依据分数除法的意义，用总人数除以其占航模小组人数的分率，即得航模小组多少人，然后用减法求出美术小组人数。【规范解答】解：45÷（1+）＝45×＝25（人）45﹣25＝20（人）答：航模小组有25人，美术小组有20人。【考点评析】首先依据已知条件求出总人数是航模小组人数的几分之几，进而求出航模小组人数是完成本题的关键。30．（2020•源城区）一个车间方案做256个零件，做了8小时后，还剩下120个未做。这个车间平均每小时做多少个零件？【思路引导】零件的总个数减去剩下的零件个数，然后除以做工的时间即8小时，就是这个车间平均每小时做多少个零件。【规范解答】解：（256﹣120）÷8＝136÷8＝17（个）答：这个车间平均每小时做17个零件。【考点评析】本题运用“工作总量÷工作时间＝工作效率”进行计算即可。31．（2017•广州）某书店出售一种挂历，每出售一本可获得利润20元．出售后，每本减价8元，全部售完，共获利润5200元．这个书店出售这种挂历多少本？【思路引导】设书店共出售这种挂历x本，则售出x本获利为20×x元，售出的剩下的（1﹣）x本获利润为（20﹣8）×（1﹣）x元，再依据共获利润52