2025届山西省同煤一中联盟校高二数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

2025届山西省同煤一中联盟校高二数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则下列不等式一定成立的是（）A B.C. D.2．抛物线的准线方程为，则实数的值为（）A. B.C. D.3．设R，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．已知直线与直线垂直，则（）A. B.C. D.5．某老师希望调查全校学生平均每天的自习时间.该教师调查了60位学生，发现他们每天的平均自习时间是3.5小时.这里的总体是（）A.杨高的全校学生；B.杨高的全校学生的平均每天自习时间；C.所调查的60名学生；D.所调查的60名学生的平均每天自习时间.6．已知椭圆方程为：，则其离心率为（）A. B.C. D.7．若圆与圆外切，则（）A. B.C. D.8．函数在上的极大值点为（）A. B.C. D.9．若命题“对任意，使得成立”是真命题，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.10．若直线与直线垂直，则a=（）A.-2 B.0C.0或-2 D.111．在下列命题中正确的是（）A.已知是空间三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为B.若所在的直线是异面直线，则不共面C.若三个向量两两共面，则共面D.已知A，B，C三点不共线，若，则A，B，C，D四点共面12．某学生2021年共参加10次数学竞赛模拟考试，成绩分别记为，，，…，，为研究该生成绩的起伏变化程度，选用一下哪个数字特征最为合适（）A.，，，…，的平均值； B.，，，…，的标准差；C.，，，…，的中位数； D.，，，…，的众数；二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的一个法向量为＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于__________________14．日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断増加.已知将吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为.则净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率的___________倍，这说明，水的纯净度越高，净化费用增加的速度越___________（填“快”或“慢”）.15．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为________16．已知双曲线：，，是其左右焦点.圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点，则的最小值是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）当时，证明：存在唯一的零点；（2）若，求实数的取值范围.18．（12分）已知数列满足，，，n为正整数.（1）证明：数列是等比数列，并求通项公式；（2）证明：数列中的任意三项，，都不成等差数列；（3）若关于正整数n的不等式的解集中有且仅有三个元素，求实数m的取值范围；19．（12分）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值20．（12分）已知直线过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的（1）求直线的方程；（2）若直线与直线平行，且点到直线的距离是，求直线的方程21．（12分）如图1是一张长方形铁片，，，，分别是，中点，，分别在边，上，且，将它卷成一个圆柱的侧面图2，使与重合，与重合.（1）求证：平面；（2）求几何体的体积.22．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA+（2c+a）cosB=0（1）求角B的大小；（2）若b=4，△ABC的面积为，求a+c的值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】运用不等式的性质及举反例的方法可求解.【详解】对于A，如，满足条件，但不成立，故A不正确；对于B，因为，所以，所以，故B正确；对于C，因为，所以，所以不成立，故C不正确；对于D，因为，所以，所以，故D不正确.故选：B2、B【解析】由题得，解方程即得解.【详解】解：抛物线的准线方程为，所以.故选：B3、A【解析】根据不等式性质判断即可.【详解】若“”，则成立；反之，若，当，时，不一定成立.如，但.故“”是“”的充分不必要条件.故答案为：A.【点睛】本题考查充分条件、必要调价的判断，考查不等式与不等关系，属于基础题.4、D【解析】根据互相垂直两直线的斜率关系进行求解即可.【详解】由，所以直线的斜率为，由，所以直线的斜率为，因为直线与直线垂直，所以，故选：D5、B【解析】由总体的概念可得答案.【详解】某老师希望调查全校学生平均每天的自习时间，该教师调查了60位学生，发现他们每天的平均自习时间是3.5小时，这里的总体是全校学生平均每天的自习时间.故选：B.6、B【解析】根据椭圆的标准方程，确定，计算离心率即可.【详解】由知，，，，即，故选：B7、C【解析】求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆相外切，列出方程，即可求解.【详解】由题意，圆与圆可得，，因为两圆相外切，可得，解得故选：C.8、C【解析】求出函数的导数，利用导数确定函数的单调性，即可求出函数的极大值点【详解】，∴当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴函数在的极大值点为故选：C9、A【解析】由题得对任意恒成立，求出的最大值即可.【详解】解：由题得对任意恒成立，(当且仅当时等号成立)所以故选：A10、C【解析】代入两直线垂直的公式，即可求解.【详解】因为两直线垂直，所以，解得：或.故选：C11、D【解析】对于A，利用空间向量基本定理判断，对于B，利用向量的定义判断，对于C，举例判断，对于D，共面向量定理判断【详解】对于A，若三个向量共面，在平面，则空间中不在平面的向量不能用表示，所以A错误，对于B，因为向量是自由向量，是可以自由平移，所以当所在的直线是异面直线时，有可能共面，所以B错误，对于C，当三个向量两两共面时，如空间直角坐标系中的3个基向量两两共面，但这3个向量不共面，所以C错误，对于D，因为A，B，C三点不共线，，且，所以A，B，C，D四点共面，所以D正确，故选：D12、B【解析】根据平均数、标准差、中位数及众数的概念即得.【详解】根据平均数、中位数、众数的概念可知，平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，标准差描述数据的波动大小估计数据的稳定程度.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】O是平面OAB上一个点，设点P到平面OAB的距离为d,则d=∵=(-1,3,2)．(2,-2,1)=-6,∴d==2即点P到平面OAB的距离为2考点：空间向量在立体几何中的运用14、①.②.快【解析】根据导数的概念可知净化所需费用的瞬时变化率即为函数的一阶导数，即先对函数求导，然后将和代入进行计算，再求，即可得到结果，进而能够判断水的纯净度越高，净化费用增加的速度的快慢【详解】由题意，可知净化所需费用的瞬时变化率为，所以，，所以，所以净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率的倍；因为，可知水的纯净度越高，净化费用增加的速度越快.故答案为：，快.15、相交【解析】由题意知，两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，故两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1，半径之和为5，而1<<5，所以两圆的位置关系为相交16、##【解析】利用双曲线定义，将的最小值问题转化为的最小值问题，然后结合图形可解.【详解】由题设知，，，，圆的半径由点为双曲线右支上的动点知∴∴.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）【解析】（1）当时，求导得到，判断出函数的单调性，求出最值，可证得命题成立；（2）当且时，不满足题意，故，又定义域为，讲不等式化简，参变分离后构造新函数，求导判断单调性并求出最值，可得实数的取值范围【详解】（1）函数的定义域为，当时，由，当时，，单调递减；当时，，单调递增；.且，故存在唯一的零点；（2）当时，不满足恒成立，故由定义域为，可得，令，则，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，函数取得最大值（1），故实数的取值范围是【点睛】方法点睛：本题考查函数零点的问题，考查导数的应用，考查不等式的恒成立问题，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下：

参变分离法，将不等式恒成立问题转化函数求最值问题；

主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；

分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；

数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解18、（1）证明见解析；（2）证明见解析（3）【解析】（1）将所给等式变形为，根据等比数列的定义即可证明结论；（2）假设存在，，成等差数列，根据等差数列的性质可推出矛盾，故说明假设错误。从而证明原结论；（3）求出n=1,2,3,4时的情况，再结合时，，即可求得结果.【小问1详解】由已知可知，显然有，否则数列不可能是等比数列；因为，，故可得，由得：，即有，所以数列等比数列，且；【小问2详解】假设存在，，成等差数列，则，即，整理得，即，而是奇数，故上式左侧是奇数，右侧是一个偶数，不可能相等，故数列中的任意三项，，都不成等差数列；【小问3详解】关于正整数n的不等式，即，当n=1时，；当n=2时，；当n=3时，；当n=4时，，并且当时，，因关于正整数n的不等式的解集中有且仅有三个元素，故.19、（1）（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（1）连以为轴建立空间直角坐标系，则从而直线与所成角的余弦值为（2）设平面一个法向量为令设平面一个法向量为令因此【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.20、（1）；（2）或【解析】（1）先求得直线的倾斜角，由此求得直线的倾斜角和斜率，进而求得直线的方程；（2）设出直线的方程，根据点到直线的距离列方程，由此求解出直线的方程【详解】解（1）直线的倾斜角为，∴直线的倾斜角为，斜率为，又直线过点，∴直线的方程为，即；（2）设直线的方程为，则点到直线的距离，解得或∴直线的方程为或21、（1）证明见解析.（2）.【解析】（1）根据线面垂直的性质和判定可得证；（2）作圆柱的母线，由平面几何知识可得四边形为平行四边形，利用等体积法可求得，由几何体的体积，可求得答案.【小问1详解】证明：∵是直径，∴，∵平面，平面，∴，∵平面，平面，，∴平面；【小问2详解】如图，作圆柱的母线，则，且，∴四边形是平行四边形，∴，且①又依题知，，，为底面圆的四等分点，∴，且②由①②知四边形为平行四边形，得，且，∴，∵到面的距离为，∴，所以几何体的体积.22、（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理化简，通过两角和与差的三角函数求出，即可得到结果（2）利用三角形的面积求出，通过由余弦定理求解即可【详解】解：（1）因为bcosA=（2c+a）cos（π﹣B），所以s