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文档简介

2025届北京市第四十三中学数学高二上期末质量检测试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图是一个程序框图,执行该程序框图,则输出的n值是()A.2 B.3C.4 D.52.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4,现用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取容量为50的样本,则应从高三年级抽取的学生数为()A.10 B.15C.20 D.303.已知,记M到x轴的距离为a,到y轴的距离为b,到z轴的距离为c,则()A. B.C. D.4.若方程表示焦点在y轴上的双曲线,则实数m的取值范围为()A. B.C. D.且5.等差数列的公差,且,,则的通项公式是()A. B.C. D.6.记等比数列的前项和为,若,,则()A.12 B.18C.21 D.277.已知直线与直线,若,则()A.6 B.C.2 D.8.已知分别表示随机事件发生的概率,那么是下列哪个事件的概率()A事件同时发生B.事件至少有一个发生C.事件都不发生D事件至多有一个发生9.已知直线,,若,则实数等于()A.0 B.1C. D.1或10.设、是两条不同的直线,、、是三个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则11.在中,,则边的长等于()A. B.C. D.212.若a>b,c>d,则下列不等式中一定正确的是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若数列的前n项和,则其通项公式________14.如图,某建筑物的高度,一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为,地面某处的俯角为,且,则此无人机距离地面的高度为________15.下图是个几何体的展开图,图①是由个边长为的正三角形组成;图②是由四个边长为的正三角形和一个边长为的正方形组成;图③是由个边长为的正三角形组成;图④是由个边长为的正方形组成.若几何体能够穿过直径为的圆,则该几何体的展开图可以是______(填所有正确结论的序号).16.双曲线的离心率为__________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,底面分别为的中点,(1)求证:平面平面;(2)求二面角的大小18.(12分)已知与定点,的距离比为的点P的轨迹为曲线C,过点的直线l与曲线C交于M,N两点.(1)求曲线C的轨迹方程;(2)若,求.19.(12分)已知函数满足.(1)求的解析式,并判断其奇偶性;(2)若对任意,不等式恒成立,求实数a的取值范围.20.(12分)一个经销鲜花产品的微店,为保障售出的百合花品质,每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花,如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客,如果不足,则从本地鲜花供应商处进货.今年四月前10天,微店百合花的售价为每支2元,云南空运来的百合花每支进价1.6元,本地供应商处百合花每支进价1.8元,微店这10天的订单中百合花的需求量(单位:支)依次为:251,255,231,243,263,241,265,255,244,252.(Ⅰ)求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数,并完成频率分布直方图;(Ⅱ)预计四月的后20天,订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同,百合花进货价格与售价均不变,请根据(Ⅰ)中频率分布直方图判断(同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表,位于各区间的频率代替位于该区间的概率),微店每天从云南固定空运250支,还是255支百合花,四月后20天百合花销售总利润会更大?21.(12分)为落实国家扶贫攻坚政策,某地区应上级扶贫办的要求,对本地区所有贫困户每年年底进行收入统计,下表是该地区贫困户从2017年至2020年的收入统计数据:(其中y为贫困户的人均年纯收入)年份2017年2018年2019年2020年年份代码1234人均年纯收入y/百元25283235(1)在给定的坐标系中画出A贫困户的人均年纯收入关于年份代码的散点图;(2)根据上表数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程,并估计A贫困户在年能否脱贫.(注:假定脱贫标准为人均年纯收入不低于元)参考公式:,参考数据:,.22.(10分)如图所示在多面体中,平面,四边形是正方形,,,,.(1)求证:直线平面;(2)求平面与平面夹角的余弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】程序框图中的循环结构,一般需重复计算,根据判断框中的条件,确定何时终止循环,输出结果.【详解】初始值:,当时,,进入循环;当时,,进入循环;当时,,终止循环,输出的值为3.故选:B2、C【解析】根据抽取比例乘以即可求解.【详解】由题意可得应从高三年级抽取的学生数为,故选:C.3、C【解析】分别求出点M在x轴,y轴,z轴上的投影点的坐标,再借助空间两点间距离公式计算作答.【详解】设点M在x轴上的投影点,则,而x轴的方向向量,由得:,解得,则,设点M在y轴上的投影点,则,而y轴的方向向量,由得:,解得,则,设点M在z轴上的投影点,则,而z轴的方向向量,由得:,解得,则,所以.故选:C4、A【解析】根据双曲线定义,且焦点在y轴上,则可直接列出相关不等式.【详解】若方程表示焦点在y轴上的双曲线,则必有:,且解得:故选:5、C【解析】由于数列为等差数列,所以,再由可得可以看成一元二次方程的两个根,由可知,所以,从而可求出,可得到通项公式.【详解】解:因为数列为等差数列,所以,因为,所以可以看成一元二次方程的两个根,因为,所以,所以,解得,所以故选:C【点睛】此题考查的是等差数列的通项公式和性质,属于基础题.6、C【解析】根据等比数列的性质,可知等比数列的公比,所以成等比数列,根据等比的中项性质即可求出结果.【详解】因为为等比数列的前项和,且,,易知等比数列的公比,所以成等比数列所以,所以,解得.故选:C7、A【解析】根据两直线垂直的充要条件得到方程,解得即可;【详解】解:因为直线与直线,且,所以,解得;故选:A8、C【解析】表示事件至少有一个发生概率,据此得到答案.【详解】分别表示随机事件发生的概率,表示事件至少有一个发生的概率,故表示事件都不发生的概率.故选:C.9、C【解析】由题意可得,则由得,从而可求出的值【详解】由题意可得,因为,,,所以,解得,故选:C10、B【解析】根据线线、线面、面面的位置关系,对选项进行逐一判断即可.【详解】选项A.一条直线垂直于一平面内的,两条相交直线,则改直线与平面垂直则由,不能得出,故选项A不正确.选项B.,则正确,故选项B正确.选项C若,则与可能相交,可能异面,也可能平行,故选项C不正确.选项D.若,则与可能相交,可能平行,故选项D不正确.故选:B11、A【解析】由余弦定理求解【详解】由余弦定理,得,即,解得(负值舍去)故选:A12、B【解析】根据不等式的性质及反例判断各个选项.【详解】因为c>d,所以,所以,所以B正确;时,不满足选项A;时,,且,所以不满足选项CD;故选:B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】由和计算【详解】由题意,时,,所以故答案为:14、200【解析】在Rt△ABC中求得AC的值,△ACQ中由正弦定理求得AQ的值,在Rt△APQ中求得PQ的值【详解】根据题意,可得Rt△ABC中,∠BAC=60°,BC=300,∴AC200;△ACQ中,∠AQC=45°+15°=60°,∠QAC=180°﹣45°﹣60°=75°,∴∠QCA=180°﹣∠AQC﹣∠QAC=45°,由正弦定理,得,解得AQ200,在Rt△APQ中,PQ=AQsin45°=200200m故答案为200【点睛】本题考查了解三角形的应用问题,考查正弦定理,三角形内角和问题,考查转化化归能力,是基础题15、①【解析】根据几何体展开图可知①正四面体、②正四棱锥、③正八面体、④正方体,进而求其外接球半径,并与比较大小,即可确定答案.【详解】①由题设,几何体为棱长为的正四面体,该正四面体可放入一个正方体中,且正方体的棱长为,该正四面体的外接球半径为,满足要求;②由题设,几何体为棱长为的正四棱锥,如下图所示:设,连接,则为、的中点,因为四边形是边长为的正方形,则,所以,,所以,,所以,,,所以点为正四棱锥的外接球球心,且该球的半径为,不满足要求;③由题设,几何体为棱长为的正八面体,该正八面体可由两个共底面,且棱长均为的正四棱锥拼接而成,由②可知,该正八面体的外接球半径为,不满足要求;④由题设,几何体为棱长为的正方体,其外接球半径为,不满足要求;故答案为:①.16、【解析】∵双曲线的方程为∴,∴∴故答案为三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)【解析】(1)依题意可得平行四边形是矩形,即可得到,再由及面面垂直的性质定理得到平面,从而得到,即可得到平面,从而得证;(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量法求出二面角的余弦值,即可得解;【小问1详解】证明:因为为的中点,,所以,又,所以四边形为平行四边形,因为,所以平行四边形是矩形,所以,因为,所以,又因为平面平面,平面平面面,所以平面,因为面,所以,又因为,平面,所以平面,因为平面,所以平面平面;【小问2详解】解:由(1)可得:两两垂直,如图,分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,则则,设平面的一个法向量,由则,令,则,所以,设平面的一个法向量,所以,根据图像可知二面角为锐二面角,所以二面角的大小为;18、(1)(2)或【解析】(1)设曲线上的任意一点,由题意可得,化简即可得出(2)分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论,当斜率不存在时,即可求出、的坐标,从而求出,当直线的斜率存在,设直线方程为,,,联立直线与圆的方程,消元列出韦达定理,则,即可求出,从而求出直线方程,由圆心在直线上,即可求出弦长;【小问1详解】解:(1)设曲线上的任意一点,由题意可得:,即,整理得【小问2详解】解:依题意当直线的斜率不存在时,直线方程为,则,则或,即、,所以、,所以满足条件,此时,当直线的斜率存在,设直线方程为,,,则,消去整理得,由,解得或,所以、,因为,,所以,解得,所以直线方程为,又直线过圆心,所以,综上可得或;19、(1),是奇函数(2)【解析】(1)由求出,进而求得的解析式,利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性即可;(2)根据幂函数的单调性可得函数的单调性,求出函数的最小值,将不等式恒成立转化为对任意使得恒成立即可.【小问1详解】因为,所以,所以.所以.的定义城为,且,所以是奇函数.【小问2详解】因为,在上均为增函数,所以在上增函数,所以.对任意,不等式恒成立,则,所以,即实数a的取值范固为.20、(Ⅰ)见解析(Ⅱ)四月后20天总利润更大【解析】(Ⅰ)根据众数的定义直接可求出众为255.利用平均数的公式可以求出平均数.根据给定的分组,通过计算完成频率分布直方图(Ⅱ)设订单中百合花需求量为(支),由(Ⅰ)中频率分布直方图,可以求出可能取值、每个可能取值相应频率,每个可能取值相应的天数.分别求出空运250支,255支百合花时,销售总利润的大小,进行比较,得出结论【详解】解:(Ⅰ)四月前10天订单中百合需求量众数为255,平均数频率分布直方图补充如下:(Ⅱ)设订单中百合花需求量为(支),由(Ⅰ)中频率分布直方图,可能取值为235,245,255,265,相应频率分别为0.1,0.3,0.4,0.2,∴20天中相应的天数为2天,6天,8天,4天.①若空运250支,当日利润为,,当日利润为,,当日利润为,,当日利润为,20天总利润为元.②若空运255支,当日利润为,,当日利润为,,当日利润为,,当日利润为,20天总利润为元.∵,∴每天空运250支百合花四月后20天总利润更大.【点睛】本题考查了众数、平均数、频率分布直方图;重点考查了学生通过阅读,提取有用信息,用数学知识解决实际生活问题的能力21、(1)散点图见解析;(2),能够脱贫.【解析】(1)直接画出点即可;(2)利用公式求出与,即可求出,把代入即可估计出A贫困户在2021年能否脱贫.【小问1详解】画出y关于x的散点图,如图所示:【小问2详解】根据表中数据,计算,,又

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