2025届贵州省遵义市航天高级中学数学高二上期末质量跟踪监视试题含解析

2025届贵州省遵义市航天高级中学数学高二上期末质量跟踪监视试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若双曲线的离心率为3，则的最小值为（）A. B.1C. D.22．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则=（）A. B.C. D.3．已知函数，则（）A.0 B.1C.2 D.4．已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的x∈R，均有，则（）A.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)<f(0) B.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)<f(0)C.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)>f(0) D.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)>f(0)5．下列说法或运算正确的是（）A.B.用反证法证明“一个三角形至少有两个锐角”时需设“一个三角形没有锐角”C.“，”的否定形式为“，”D.直线不可能与圆相切6．已知实数，满足则的最大值为（）A.-1 B.0C.1 D.27．已知数列满足且，则（）A.是等差数列 B.是等比数列C.是等比数列 D.是等比数列8．已知函数，若，则等于（）A. B.1C.ln2 D.e9．复数的共轭复数是A. B.C. D.10．若圆的半径为，则实数（）A. B.-1C.1 D.11．已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标满足，则的最小值为（）A B.C. D.412．如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：其中，所有正确结论的序号是____________①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围城的“心形”区域的面积小于314．已知正方体,点在底面内运动,且始终保持平面,设直线与底面所成的角为,则的最大值为______.15．设，则_________16．已知直线与直线平行，则实数m的值为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，已知，，，，分别为边，的中点，于点.（1）求直线方程；（2）求直线的方程.18．（12分）已知直线，直线经过点且与直线平行，设直线分別与x轴，y轴交于A，B两点.（1）求点A和B的坐标；（2）若圆C经过点A和B，且圆心C在直线上，求圆C的方程.19．（12分）已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）若点，求过点的圆的切线方程.20．（12分）已知O为坐标原点，、为椭圆C的左、右焦点，，P为椭圆C的上顶点，以P为圆心且过、的圆与直线相切（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点作直线l，交椭圆C于M，N两点（l与x轴不重合），在x轴上是否存在一点T，使得直线TM与TN的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由21．（12分）设函数，其中是自然对数的底数，.（1）若，求的最小值；（2）若，证明：恒成立.22．（10分）已知点，，设动点P满足直线PA与PB的斜率之积为，记动点P的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）若动直线l经过点，且与曲线E交于C，D（不同于A，B）两点，问：直线AC与BD的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由双曲线的离心率为3和，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，双曲线的离心率为3，即，即，又由，可得，所以，当且仅当，即时，“”成立.故选：D【点睛】使用基本不等式解答问题的策略：1、利用基本不等式求最值时，要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件；2、若多次使用基本不等式时，容易忽视等号的条件的一致性，导致错解；3、巧用“拆”“拼”“凑”：在使用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“正、定、等”的条件.2、A【解析】根据空间向量的加减法运算法则，直接写出向量的表达式，即可得答案.【详解】=,故选：A.3、C【解析】对函数f(x)求导即可求得结果.【详解】函数,则，，故选C【点睛】本题考查正弦函数的导数的应用，属于简单题.4、D【解析】通过构造函数法，结合导数确定正确答案.【详解】构造函数，所以在上递增，所以，即.故选：D5、D【解析】对于A：可以解决；对于B:“一个三角形至少由两个锐角”的反面是“只有一个锐角或没有锐角”；对于C：全称否定必须是全部否定；对于D：需要观察出所给直线是过定点的.【详解】A：，故错误；B：“一个三角形至少由两个锐角”的反面是“只有一个锐角或没有锐角”，所以用反证法时应假设只有一个锐角和没有锐角两种情况，故错误；C：的否定形式是，故错误；D：直线是过定点（-1，0），而圆，圆心为（2，0），半径为4，定点（-1，0）到圆心的距离为2-（-1）=3＜4，故定点在圆内，故正确；故选：D.6、D【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数，即可得到结果【详解】由约束条件画出可行域如图，化目标函数为，由图可知当直线过点时，直线在轴上的截距最小，取得最大值2.故选：D7、D【解析】由，化简得，结合等比数列、等差数列的定义可求解.【详解】由，可得，所以，又由，，所以是首项为，公比为2的等比数列，所以，，，，所以不是等差数列；不等于常数，所以不是等比数列.故选：D.8、D【解析】求导，由得出.【详解】，故选：D9、B【解析】因,故其共轭复数.应选B.考点：复数的概念及运算.10、B【解析】将圆的方程化为标准方程，即可求出半径的表达式，从而可求出的值.【详解】由题意，圆的方程可化为，所以半径为，解得.故选：B.【点睛】本题考查圆的方程，考查学生的计算求解能力，属于基础题.11、B【解析】由数量积的坐标运算求得，令，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解：根据题意可得，、，所以，令，由约束条件作出可行域如下图所示，由得，即，由，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最小值为，即，所以故选：B12、B【解析】利用空间向量的加减法、数乘运算推导即可.【详解】.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①②【解析】根据题意，先判断曲线关于轴对称，由基本不等式的性质对方程变形，得到，可判定①正确；当时，，得到曲线右侧部分的点到原点的距离都不超过，再根据曲线的对称性，可判定②正确；由轴的上方，图形的面积大于四点围成的矩形的面积，在轴的下方，图形的面积大于三点围成的三角形的面积，可判断③不正确.【详解】根据题意，曲线，用替换曲线方程中的，方程不变，所以曲线关于轴对称，对于①中，当时，，即为，可得，所以曲线经过点，再根据对称性可知，曲线还经过点，故曲线恰好经过6个整点，所以①正确；对于②中，由①可知，当时，，即曲线右侧部分的点到原点的距离都不超过，再根据曲线的对称性可知，曲线上任意一点到原点的距离都不超过，所以②正确；对于③中，因为在轴的上方，图形的面积大于四点围成的矩形的面积，在轴的下方，图形的面积大于三点围成的三角形的面积，所以曲线所围城的“心形”区域的面积大于3，所以③不正确.故选：①②14、【解析】画出立体图形,因为面面,在底面内运动,且始终保持平面,可得点在线段上运动,因为面面,直线与底面所成的角和直线与底面所成的角相等,即可求得答案.【详解】连接和,面面在底面内运动,且始终保持平面可得点在线段上运动,面面,直线与底面所成的角和直线与底面所成的角相等面直线与底面所成的角为:有图像可知:长是定值,当最短时,,即最大,即角最大设正方体的边长为,故故答案为:【点睛】本题考查了求线面角的最大值,解题是掌握线面角的定义和处理动点问题时,应画出图形,寻找几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于难题.15、【解析】求出函数的导数，再令，即可得出答案.【详解】解：由，得，所以.故答案为：.16、【解析】由两直线平行的判定可得求解即可，注意验证是否出现直线重合的情况.【详解】由题设，，解得，经检验满足题设.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定条件求出点D，E坐标，再求出直线DE方程作答.(2)求出直线AH的斜率，再借助直线的点斜式方程求解作答.【小问1详解】在中，，，，则边中点，边的中点，直线DE斜率，于是得，即，所以直线的方程是：.【小问2详解】依题意，，则直线BC的斜率为，又，因此，直线的斜率为，所以直线的方程为：，即.18、（1），；（2）.【解析】（1）由直线平行及所过的点，应用点斜式写出直线方程，进而求A、B坐标.（2）由（1）求出垂直平分线方程，并联立直线求圆心坐标，即可求圆的半径，进而写出圆C的方程.【小问1详解】由题设，的斜率为，又直线与直线平行且过，所以直线为，即，令，则；令，则.所以，.【小问2详解】由（1）可得：垂直平分线为，即，联立，可得，即，故圆的半径为，所以圆C的方程为.19、（1）（2）或【解析】（1）结合点到直线的距离公式、弦长公式求得，由此求得圆的方程.（2）根据过的圆的切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得切线方程.【小问1详解】由题意，设圆的标准方程为：，圆关于直线对称，圆与轴相切：…①点到的距离为：，圆被直线截得的弦长为，，结合①有：，，又，，，圆的标准方程为：.【小问2详解】当直线的斜率不存在时，满足题意当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为.又圆C的圆心为，半径，由，解得.所以直线方程为，即即直线的方程为或.20、（1）；（2）存在；.【解析】(1)根据给定条件求出a，c，b即可作答.(2)联立直线l与椭圆C的方程，利用斜率坐标公式并结合韦达定理计算即可推理作答.【小问1详解】依题意，，，，由椭圆定义知：椭圆长轴长，即，而半焦距，即有短半轴长，所以椭圆C的标准方程为：【小问2详解】依题意，设直线l方程为，由消去x并整理得，设，，则，，假定存在点，直线TM与TN的斜率分别为，，，要使为定值，必有，即，当时，，，当时，，，所以存在点，使得直线TM与TN的斜率之积为定值【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值21、（1）（2）证明见解析【解析】（1）当时，，求出，可得答案；（2）设，，，，，设，求出利用单调性可得答案.【小问1详解】当时，，则，所以单调递增，又，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以.【小问2详解】设，若，则，若，则，设，则，所以单调递增，又，当时，，上单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，综上，恒成立.【点睛】本题考查了求函数值域或最值的问题，一般都需要通过导数研究函数的单调性、极值、最值来处理，特别的要根据所