北京海淀科大附中2025届高二上数学期末达标检测模拟试题含解析

北京海淀科大附中2025届高二上数学期末达标检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m，深度为0.6m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（）A.1.35m B.2.05mC.2.7m D.5.4m2．如果命题为真命题，为假命题，那么（）A.命题，都是真命题 B.命题，都是假命题C.命题，至少有一个是真命题 D.命题，只有一个是真命题3．若抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的坐标为（）A. B.C. D.4．已知，则下列三个数，，（）A.都不大于-4 B.至少有一个不大于-4C.都不小于-4 D.至少有一个不小于-45．函数在和处的导数的大小关系是（）A. B.C. D.不能确定6．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（）A. B.C. D.7．已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是，则点到另一个焦点的距离为（）A.2 B.3C.4 D.58．若点在椭圆上，则该椭圆的离心率为（）A. B.C. D.9．设等比数列的前项和为，且，则（）A. B.C. D.10．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．例如“百层球堆垛”：第一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，第五层有15个球，…，各层球数之差：，，，，…即2，3，4，5，…是等差数列．现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，则该数列的第8项为（）A.51 B.68C.106 D.15711．已知正方形的四个顶点都在椭圆上，若的焦点F在正方形的外面，则的离心率的取值范围是（）A. B.C. D.12．已知等差数列的前项和为，，，当取最大时的值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设函数（1）求的最小正周期和的最大值；（2）已知锐角的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，且，求的面积.14．某学生到某工厂进行劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为一个大圆柱中挖去一个小圆柱后剩余部分（两个圆柱底面圆的圆心重合），大圆柱的轴截面是边长为的正方形，小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，打印所用原料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.（取）15．函数的图象在处的切线方程为，则___________.16．已知数列的前项和为，且满足，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某初中学校响应“双减政策”，积极探索减负增质举措，优化作业布置，减少家庭作业时间．现为调查学生的家庭作业时间，随机抽取了名学生，记录他们每天完成家庭作业的时间（单位：分钟），将其分为，，，，，六组，其频率分布直方图如下图：（1）求的值，并估计这名学生完成家庭作业时间的中位数（中位数结果保留一位小数）；（2）现用分层抽样的方法从第三组和第五组中随机抽取名学生进行“双减政策”情况访谈，再从访谈的学生中选取名学生进行成绩跟踪，求被选作成绩跟踪的名学生中，第三组和第五组各有名的概率18．（12分）抚州市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按80：1的比例随机抽取200人进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，分为组画出频率分布直方图如图所示，现一，二两组数据丢失，但知道第二组的频率是第一组的3倍（1）若次数在以上含次为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为多少？（2）求第一组、第二小组的频率是多少？并补齐频率分布直方图；（3）估计该全市高一学生跳绳次数的中位数和平均数？19．（12分）已知等差数列的前和为，数列是公比为2的等比数列，且，（1）求数列和数列的通项公式；（2）现由数列与按照下列方式构造成新的数列①将数列中的项去掉数列中的项，按原来的顺序构成新数列；②数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列;在以上两个条件中任选一个做为已知条件，求数列的前30项和.20．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，其外接圆半径为，已知（1）求角；（2）若边的长是该边上高的倍，求21．（12分）已知为坐标原点，圆的圆心在轴上，点、均在圆上.（1）求圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于两个不同的点、，点在圆上，求面积的最大值.22．（10分）设数列的前项和为，，且，，（1）若（i）求；（ii）求证数列成等差数列（2）若数列为递增数列，且，试求满足条件的所有正整数的值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据题意先建立恰当的坐标系，可设出抛物线方程，利用已知条件得出点在抛物线上，代入方程求得p值，进而求得焦点到顶点的距离.【详解】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系xOy，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点O重合，焦点F在x轴上设抛物线的标准方程为，由已知条件可得，点在抛物线上，所以，解得，因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为1.35m，故选：A.2、D【解析】由命题为真命题,可判断二者至少有一个为真命题，由为假命题，可判断二者至少有一个为假命题，由此可得答案.【详解】命题为真命题，说明二者至少有一个为真命题，为假命题,说明二者至少有一个为假命题，综合上述，可知命题，只有一个是真命题，故选：D3、C【解析】设，由抛物线的方程可得准线方程为，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，求出，解出纵坐标，进而求出【详解】由题意可得，解得，代入抛物线的方程，解得，所以的坐标，故选：C.4、B【解析】利用反证法设，，都大于，结合基本不等式即可得出结论.【详解】设，，都大于，则，由于，故，利用基本不等式可得，当且仅当时等号成立，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，故下列三个数，，至少有一个不大于，故选：B.5、A【解析】求出函数导数即可比较.【详解】，，所以，即.故选：A.6、B【解析】利用求解.【详解】解：因为等差数列，的前n项和分别是，所以.故选：B7、C【解析】根据椭圆的定义，结合题意，即可求得结果.【详解】设椭圆的两个焦点分别为，故可得，又到椭圆一个焦点的距离是，故点到另一个焦点的距离为.故选：.8、C【解析】根据给定条件求出即可计算椭圆的离心率.【详解】因点在椭圆，则，解得，而椭圆长半轴长，所以椭圆离心率.故选：C9、C【解析】根据给定条件求出等比数列公比q的关系，再利用前n项和公式计算得解.【详解】设等比数列的的公比为q，由得：，解得，所以.故选：C10、C【解析】对高阶等差数列按其定义逐一进行构造数列，直到出现一般等差数列为止，再根据其递推关系进行求解.【详解】现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，各项与前一项之差：，，，，，…即2，3，6，11，18，…，，，，，…即1，3，5，7，…是等差数列，所以，故选：C11、C【解析】如图由题可得，进而可得，即求.【详解】如图根据对称性，点D在直线y=x上，可设，则，∴，可得，，即，又解得.故选：C.12、B【解析】由已知条件及等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，再根据等差数列前n项和的函数性质判断取最大时的值.【详解】令公差为，则，解得，所以，当时，取最大值.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（1）的最小正周期为，的最大值为1（2）【解析】（1）直接根据的表达式和正弦函数的性质可得到的最小正周期和最大值；（2）先根据求得角的大小为，然后在中利用余弦定理求得，最后根据三角形的面积公式即可【小问1详解】已知则的最小正周期为：则的最大值为：【小问2详解】由可得：（）或（）又为锐角，则可得：.在中，由余弦定理可得：，即又，解得：则的面积为：14、4500【解析】根据题意可知大圆柱底面圆的半径，两圆柱的高，设小圆柱的底面圆的半径为，再根据小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，求出小圆柱的底面圆的半径，然后求出该模型的体积，从而可得出答案.【详解】解：根据题意可知大圆柱的底面圆的半径，两圆柱的高，设小圆柱的底面圆的半径为，则有，即，解得，所以该模型的体积为，所以制作该模型所需原料的质量为.故答案为：4500.15、【解析】根据导数的几何意义可得，根据切点在切线上可得.【详解】因为切线的斜率为，所以，又切点在切线上，所以，所以，所以.故答案为：.16、【解析】根据所给的通项公式，代入求得，并由代入求得，即可求得的值.【详解】数列的前n项和，则，而，，∴，则，故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；这名学生完成家庭作业时间的中位数约为分钟（2）【解析】（1）由频率分布直方图频率之和为，建立方程求解即可；设中位数为，利用频率分布直方图中位数定义列出方程即可求解；（2）频率分布直方图频率得到第三组和第五组的人数，从而列出所有样本点，再根据题意利用古典概率模型求解即可.【小问1详解】根据频率分布直方图可得：，解得．设中位数为，由题意得，解得所以这名学生完成家庭作业时间的中位数约为分钟【小问2详解】由频率分布直方图知，第三组和第五组的人数之比为，所以分层抽样抽出的人中，第三组和第五组的人数分别为人和人，第三组的名学生记为，，，，第五组的名学生记为，，所以从名学生中抽取名的样本空间，共15个样本点，记事件“名中学生，第三组和第五组各名”则，共有个样本点，所以这名学生中，两组各有名的概率18、（1）8640；（2）第一组频率为，第二组频率为．频率分布直方图见解析；（3）中位数为，均值为121.9【解析】（1）求出优秀的频率，计算出抽取的人员中优秀学生数后可得全体优秀学生数；（2）由频率和为1求得第一组、第二组频率，然后可补齐频率分布直方图；（3）在频率分布直方图中计算出频率对应的值即为中位数，用各组数据中点值乘以频率后相加得均值【详解】（1）由频率分布直方图，分数在120分以上的频率为，因此优秀学生有（人）；（2）设第一组频率为，则第二组频率为，所以，，第一组频率为，第二组频率为频率分布直方图如下：（3）前3组数据的频率和为，中位数在第四组，设中位数为，则，均值为19、（1），（2）答案见解析【解析】（1）由题意可直接得到等比数列的通项公式；求出等差数列的公差，即可得到其通项公式；（2）若选①，则可确定由数列前33项的和减去，即可得答案；若选②，则可确定由数列前27项的和加上，即可得答案.【小问1详解】因为数列为等比数列，且，所以.又因，所以，又，则，故等差数列的通项公式为.【小问2详解】因为，，所以，而若选①因为在数列前30项内，不在在数列前30项内.，则数列前30项和为：=1632.若选②因为在数列前30项内，不在在数列前30项内.，则数列前30项和为：=1203.20、（1）；（2）【解析】（1）利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理计算可得；（2）记边上的高为，不妨设，即可求出，再利用余弦定理求出，在中，记，根据锐角三角函数求出，，最后根据，利用两角和的余弦公式计算可得；【详解】解：（1）由已知条件，所以，所以所以，，由余弦定理可得，而，于是（2）记边上的高为，不妨设，则，，，所以，由余弦定理得，在中，记，则，，所以21、（1）；（2）.【解析】（1）求出圆心坐标，可求得圆的半径，进而可得出圆的标准方程；（2）求得点到直线的距离，将直线的方程与椭圆的方程联立，求得的表达式，利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得结果.【小问1详解】解：由题知，线段的中点为，直线的斜率，所以线段的中垂线为，即为，所以圆的圆心为轴与的交点，所以圆的半径，所以圆的标准方程为.【小问2详解】解：由题知：圆心到直线的距离，因为，所以圆心到直线的距离，所以到直线的距离，设点、，联立可得，，，则，所以，，所以，所以，所以当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最大值.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值22、（1）；详见解析；（2）5.【解析】（1）由题可得，