数字图像处理-4第四章图像变换

几何变换正交变换第四章图像变换

图像的几何变换（GeometricTransformation）是指图像处理中对图像平移、旋转、放大和缩小，这些简单变换以及变换中灰度内插处理等。几何变换可能改变图像中各物体之间的空间位置关系。几何变换不改变像素值，而可能改变像素所在的位置。1.几何变换概念

空间变换灰度插值

空间变换（1）齐次坐标几何变换一般形式

根据几何学知识，上述变换可以实现图像各像素点以坐标原点的比例缩放、反射、错切和旋转等各种变换，但是上述2×2变换矩阵T不能实现图像的平移以及绕任意点的比例缩放、反射、错切和旋转等变换。

为了能够用统一的矩阵线性变换形式，表示和实现这些常见的图像几何变换，就需要引入一种新的坐标，即齐次坐标。采用齐次坐标可以实现上述各种几何变换的统一表示。如图所示，则新位置A1(x1，y1)的坐标为：表示为如下形式即不能表示为如下形式：

由于矩阵T中没有引入平移常量，无论a、b、c、d取什么值，都不能实现式平移功能。

不能实现平移变换功能，怎么办?需要进行改进。

将T矩阵扩展为如下2×3变换矩阵，其形式为：

根据矩阵相乘的规律，在坐标列矩阵[xy]T中引入第三个元素，扩展为3×1的列矩阵[xy1]T,就可以实现点的平移变换。变换形式如下：上述变换虽然可以实现图像各像素点的平移变换，但为变换运算时更方便，一般将2×3阶变换矩阵T进一步扩充为3×3方阵，即采用如下变换矩阵：这样一来,平移变换可以用如下形式表示：

空间变换（2）图像的平移

注意：平移后的景物与原图像相同，但“画布”一定是扩大了。否则就会丢失信息。用Matlab实现图像的平移变换。解

Matlab程序如下：closeall;clearall;clc;I=imread(‘lena.bmp’);%读取图像a=50;b=50;%设置平移坐标J1=move(I,a,b);%移动原图像a=-50;b=50;%设置平移坐标J2=move(I,a,b);%移动原图像思考题：如何用FFT实现亚像素级图像平移？（3）图像的缩放

图像的缩放[X,map]=imread(‘trees.tif’);%读取图像J1=imresize(X,0.25,’bilinear’);%设置缩放比例，实现缩放图像并显示J2=imresize(X,3.5,’bicubic’);1.图像按比例缩小：最简单的是减小一半，这样只需取原图的偶（奇）数行和偶（奇）数列构成新的图像。

2.图像不按比例缩小：这种操作因为在x方向和y方向的缩小比例不同，一定会带来图像的几何畸变。图像的减半缩小效果返回图像的按比例缩小效果

返回图像的不按比例任意缩小返回图像的成倍放大效果返回图像的不按比例放大返回（3）图像的镜像

水平镜像垂直镜像

空间变换0,0xy0,0xy水平镜像的变换结果图像的垂直镜像（4）图像的旋转

空间变换I=imread(‘office_2.jpg’);%读取图像J1=imrotate(I,30);%设置旋转角度，实现逆时针旋转30°J2=imrotate(I,-30);%设置旋转角度，实现顺时针旋转30°0,0xy图旋转前的图像

图旋转15°并进行插值处理的图像

如图所示，图像经过了两次45º和135º旋转变换，旋转360º之后，图像(b)的字迹发生了较明显的变化，特别是字体的边缘更为明显。灰度插值

图像的比例缩放、旋转变换时等，变换过程需要两个独立的算法:

一个算法完成几何变换；一个算法用于灰度级插值.

灰度插值最邻近插值法双线性插值（一阶插值）高阶插值数字图像处理只能对坐标网格点（离散点）的值进行变换。而坐标变换后产生的新坐标值同网格点值往往不重合，因此需要通过内插的方法将非网格点的灰度值变换成网格点的灰度值，这种算法称为灰度内插。

最邻近插值法

计算与点P(x0，y0)临近的四个点;将与点P(x0，y0)最近的整数坐标点(x，y)的灰度值取为P(x0，y0)点灰度近似值。双线性插值根据点P(x0，y0)的四个相邻点的灰度值，通过两次插值计算出灰度值f(x0，y0)双线性插值公式最邻近插值法双线性插值的特点

计算量大，但缩放后图像质量高，不会出现图像不连续的情况。具有低通滤波器的性质，使高频分量减弱，所以使图像的轮廓在一定程度上受损。卷积插值I=imread('cameraman.tif');J=imresize(I,0.25);%缩小图像Z1=interp2(double(J),2,'nearest');%最邻近插值法Z2=interp2(double(J),2,'linear');%双线性内插法Z3=interp2(double(J),2,'cubic');%立方卷积插值法

一.图像正交变换

图像变换的定义是将图像从空域变换到其它域（如频域）的数学变换图像变换的作用我们人类视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号。但是，往往许多问题在频域中讨论时，有其非常方便分析的一面。

1.方便处理

2.便于抽取特性常用的变换傅立叶变换FourierTransform2.离散余弦变换DiscreteCosineTransform3.沃尔什－哈达玛变换Walsh-HadamardTransform二.傅立叶变换

傅立叶变换的作用（1）可以得出信号在各个频率点上的强度。（2）可以将卷积运算化为乘积运算。（3）傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复和重构的重要手段。（4）傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两个不同的角度来看待图像的问题，有时在空间域无法解决的问题在频域却是显而易见的。

傅立叶变换的定义

傅立叶变换若f(x)为一维连续实函数，则它的傅里叶变换可定义为：傅立叶逆变换定义如下：傅里叶变换的条件

傅里叶变换在数学上的定义是严密的，它需要满足如下狄利克莱条件：(1)具有有限个间断点；

(2)具有有限个极值点；

(3)绝对可积;

根据一维离散傅立叶变换的定义和二维连续傅立叶变换理论，对于一个具有M×N个样本值的二位离散序列f(x，y)，（x=0,1,2,3,…,M-1；y=0,1,2,3,…,N-1）其傅立叶变换为：

(1)二维离散傅立叶正变换(2)二维离散傅立叶逆变换若已知频率二维序列F(u，v)（u=0,1,2,3,…,M-1；v=0,1,2,3,…,N-1），则二维离散序列F(u，v)的傅立叶逆变换定义为：

二维傅立叶变换的可分离特性表明，一个二维傅立叶变换可通过二次一维傅立叶变换来完成，即：第一次先对y进行一维傅立叶变换

在此基础上对x进行一维傅立叶变换变量分离步骤如图所示

F(u)可以表示为如下形式：|F(u)|称为F(u)的模，也称为函数f(x)的傅立叶谱，称为F(u)的相角。称为函数f(x)的能量谱或功率谱。I=imread(‘lena.bmp’);%读取图像imshow(I);%显示图像F1=fft2(I);%计算二维傅里叶变换figure,imshow(log(abs(F1)+1),[]);%显示对数变换后的频谱图F2=fftshift(F1);%将直流分量移到频谱图的中心figure,imshow(log(abs(F2)+1),[]);%显示对数变换后中心化的频谱图I=imread(‘lena.bmp’);%读取图像J=dct2(I);%计算图像的2-DCT变换figure,subplot(121),imshow(I);%显示原图像subplot(122),mesh(J);colormap(jet),colorbar;线性系统与傅立叶变换傅立叶变换在图像滤波中的应用首先，我们来看Fourier变换后的图像，中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。因此，我们可以在Fourier变换图中，选择所需要的高频或是低频滤波。傅立叶变换在图像压缩中的应用

变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅值。在小波变换没有提出时，用来进行压缩编码。考虑到高频反映细节、低频反映景物概貌的特性。往往认为可将高频系数置为0，骗过人眼。傅立叶变换在卷积中的应用直接进行时域中的卷积运算是很复杂的。傅立叶变换将时域的卷积变换为频域的乘积。1.问题的提出：傅立叶变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。在此期望下，产生了DCT变换。4.2.2.离散余弦变换2.正变换：3.逆变换：其中：I=imread('cameraman.tif');%读取图像J=dct2(I);%计算图像的2-DCT变换七.哈达玛正变换

1.一维哈达玛正变换

设f(x)表示N点的一维离散序列，则一维哈达玛变换如下：u=0,1,2,3,…,N-1其中，g(x，u)是一维哈达玛变换的核，定义如下：式中，

u=0，1，2，…，N-1；x=0，1，2，…，N-1,N是哈达玛变换的阶数，bi(z)是z的二进制数的第i位数值，取值为0或1。

2.一维哈达玛逆变换

h(x，u)是一维哈达玛逆变换的核逆变换核与正变换核相等，即哈达玛变换的阶数具有规律性，即按照

规律递升，高阶哈达玛矩阵可以通过低阶哈达玛矩阵的克罗尼科积运算求得，也就是说，哈达玛矩阵具有如下关系：

(1)(2)(3)(4)

采用上述规律求哈达玛变换矩阵要比直接用哈达玛变换核求矩阵快得多，此结论提供了一种快速哈达玛变换，也可以称为FHT。

例如，根据哈达玛矩阵的运算规律，可以得出8阶哈达玛矩阵如下：I=imread('peppers.png');%读取RGB图像I=rgb2gray(I);%转换为灰度图像I=im2double(I);h1=size(I,1);%图形的行h2=size(I,2);%图形的列H1=hadamard(h1);%Hadamard矩阵H2=hadamard(h2);%HadamardJ=H1*I*H2/sqrt(h1*h2);%Hadamard变换8*8图像的空间域基8*8图像的Haar小波基8*8图像的哈达玛基8*8图像的离散余弦基DCT图像的DCT8*8图像的空间域基8*8图像的离散余弦基可参数化不能参数化§K-L变换以矢量信号X的协方差矩阵Ф的归一化正交特征矢量q所构成的正交矩阵Q，来对该矢量信号X做正交变换Y=QX，则称此变换为K-L变换（K-LT或KLT），K-LT是Karhuner-Loeve变换的简称，有的文献资料也写作KLT。要实现KLT，首先要从信号求出其协方差矩阵Ф，再由Ф求出正交矩阵Q。Ф的求法与自相关矩阵求法类似§协方差矩阵自相关矩阵协方差

反映的是两个序列的相关程度相关系数如果XY均为归一化的序列（均值为0，方差为1），则§协方差矩阵自相关矩阵协方差相关系数相关矩阵？§K-L变换协方差令X是输入样本（如果是图像，转化成向量形式），Y是线性变换结果我们希望生成的特征之间是不相关的（没有信息冗余）即是对角矩阵？§K-L变换我们假设了E(X)=0，则E(Y)=0这里是对称矩阵，因此它的特征向量是正交的。如果选择矩阵的特征值对应的特征向量q

组成变换矩阵Q，则变换特征对应的相关矩阵是对角矩阵对角线上的元素是RX的特征值在非零均值情况下，用协方差矩阵代替相关矩阵，对应§K-L变换的特性去相关特性：变换后的