12.8.3 线段垂直平分线的性质及判定 同步练习

第十二章三角形四尺规作图及轴对称12.8基本作图第3课时线段垂直平分线的性质及判定基础过关全练知识点4线段垂直平分线的性质11.(2021江苏淮安中考)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE=4，EC=2，则BC的长是()A.2 B.4 C.6 D.812.(2022内蒙古鄂尔多斯中考)如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB=3.7，AC=2.3，则△ADC的周长是.

13.(2022青海中考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=10°，则∠C的度数是.

14.(2023北京一○一中学期中)如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，交AD于E，连接AF，试判断∠B、∠CAF的大小关系，并说明理由.知识点5线段垂直平分线的判定15.如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在的垂直平分线上.

16.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC.知识点6作三角形17.根据下列已知条件，能作出唯一的△ABC的是()A.∠A=60°，∠B=45°，AB=4 B.AB=4，BC=3，∠A=30°C.AB=3，BC=4，CA=8 D.∠C=90°，AB=618.如图，已知：线段a、c和角β，利用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=β.(不写作法，保留作图痕迹)能力提升全练19.(2022湖北宜昌中考)如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N.作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD.若AB=7，AC=12，BC=6，则△A.25 B.22 C.19 D.1820.(2023北京十一中期中)如图，点M是∠AOB的平分线上的一点，点P、点Q分别在射线OA、射线OB上，满足OP=2OQ，若△OMP的面积是2，则△OQM的面积是()A.1 B.2 C.3 D.421.(2022辽宁抚顺中考)如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=54°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于12AD长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE交AB于点F，则∠ACF的度数是22.(2023北京朝阳陈经纶中学期中)如图，△ABC中，DE、FG分别是AB、AC的垂直平分线，BC=4cm，∠BAC=100°，则△ADF的周长是cm，∠DAF=°.

23.(2023北京大兴期末)如图，在△ABC中，AB<AC，∠BAC的平分线与外角∠BCD的平分线相交于点M，作AB的延长线得到射线AE，作射线BM，有下面四个结论：①∠MCD>∠MAB；②BM=CM；③射线BM是∠EBC的平分线；④∠BMC=90°-12∠所有正确结论的序号是.

24.(2023北京东城期末)在△ABC中，AB=AC，∠A=100°.点M在BC的延长线上，∠ABC的平分线交AC于点D，∠MCA的平分线与射线BD交于点E.(1)依题意补全图形；(2)求∠BEC的度数.25.(2023黑龙江牡丹江期中)如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E两点.(1)若BC=10，求△ADE的周长；(2)设直线DM与直线EN交于点O.①试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；②若∠BAC=100°，求∠BOC的度数.26.(2023北京八十中期中)在△ABC中，D是BC边上的点(不与点B、C重合)，连接AD.(1)如图1，当点D是BC边的中点时，S△ABD∶S△ACD=；

(2)如图2，当AD平分∠BAC时，若AB=m，AC=n，求S△ABD∶S△ACD的值(用含m、n的式子表示)；(3)如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得DE=AD，连接BE，若AC=3，AB=5，S△BDE=10，求S△ABC的值. 素养探究全练27.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，分别连接OA、OB、OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm，求OA的长.

第十二章三角形四尺规作图及轴对称12.8基本作图第3课时线段垂直平分线的性质及判定答案全解全析基础过关全练11.C∵DE是线段AB的垂直平分线，AE=4，∴EB=EA=4，∴BC=EB+EC=4+2=6，故选C.12.答案6解析∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD=CD，∵AB=3.7，AC=2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC=AB+AC=6.13.答案40°解析∵ED是AC的垂直平分线，∴AE=EC，∴∠EAC=∠C，∵∠ABC=90°，∠BAE=10°，∴∠EAC+∠C=180°-∠BAE-∠ABC=80°，∴∠C=40°.14.解析∠CAF=∠B.理由如下：∵EF垂直平分AD，∴FA=FD，∴∠FAD=∠FDA，∵∠FDA=∠B+∠BAD，∠FAD=∠CAF+∠DAC，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴∠CAF=∠B.15.答案AC解析∵BC=BD+AD，BC=BD+CD，∴AD=DC，∴点D在AC的垂直平分线上.16.证明证法一：∵AB=AC，OB=OC，∴直线AO是线段BC的垂直平分线，∴AO⊥BC.证法二：在△ABO和△ACO中，AB=AC,∴△ABO≌△ACO(SSS)，∴∠BAO=∠CAO，∵AB=AC，∴AO⊥BC.17.A∠A=60°，∠B=45°，AB=4符合“ASA”，能画出唯一的三角形.故选A.18.解析如图，△ABC为所求.能力提升全练19.C由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB=DC，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC=19.故选C.20.A过点M作ME⊥OP，MF⊥OB，垂足分别为E、F.∵M是∠AOB的平分线上的一点，ME⊥OP，MF⊥OB，∴ME=MF.∵S△OMP=12·OP·EM=2，∴OP·∵OP=2OQ，∴OQ·EM=2.∴S△OMQ=12·OQ·MF=12OQ故选A.21.答案18°解析由作图可得，CF⊥AB，∴∠BFC=90°，∵∠ABC=54°，∴∠BCF=90°-∠ABC=36°，又∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=54°，∴∠ACF=54°-36°=18°.22.答案4；20解析∵在△ABC中，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，∴AD=BD，AF=CF，∴∠BAD=∠B，∠CAF=∠C，△ADF的周长=AD+DF+AF=BD+DF+CF=BC=4(cm).∵∠BAC=100°，∴∠B+∠C=80°，∴∠BAD+∠CAF=80°，∴∠DAF=∠BAC-(∠BAD+∠CAF)=20°.23.答案①③④解析∵∠MCD是△ACM的外角，∴∠MCD>∠MAC，∵AM平分∠BAC，∴∠MAB=∠MAC，∴∠MCD>∠MAB，因此结论①正确；如图，过点M分别作MN⊥BC，MP⊥AE，MQ⊥AD，垂足分别为N、P、Q，∵AM平分∠BAC，CM平分∠BCD，∴MP=MQ，MN=MQ，∴MN=MP，∴BM平分∠CBE，因此结论③正确；∵AB<AC，∴∠ACB<∠ABC，∴∠MBC<∠MCB，∴MB>MC，因此结论②不正确；由上述证明可知，点M是△ABC的内角∠BAC，外角∠BCD，外角∠CBE的平分线的交点，∴∠BMC=180°-∠MBC-∠MCB=180°-12(∠BCD+∠=180°-12(∠BAC+∠BCA+∠CBA+∠=180°-12(180°+∠=90°-12∠BAC因此结论④正确.综上所述，正确的结论有①③④.24.解析(1)如图，CE即为所求作.(2)∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ACB=∠ABC=40°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD=20°，∵∠ACM=180°-40°=140°，CE是∠MCA的平分线，∴∠MCE=∠DCE=70°，∴∠BEC=∠MCE-∠CBD=70°-20°=50°.25.解析(1)∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E两点，∴AD=BD，AE=CE，∴△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=10.(2)①点O在BC的垂直平分线上，理由：如图，连接AO，BO，CO，∵DM，EN分别是AB，AC的垂直平分线，∴AO=BO，OA=OC，∴OB=OC，∴点O在BC的垂直平分线上.②∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴∠AMO=∠ANO=90°，∵∠BAC=100°，∴∠MON=360°-90°-90°-100°=80°，∴∠BOC=2∠MON=160°.26.解析(1)过A作AE⊥BC于E(图略)，∵点D是BC边的中点，∴BD=DC，∴S△ABD∶S△ACD=12BD·AE∶(2)如图，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD为∠BAC的平分线，∴DE=DF，∵AB=m，AC=n，∴S△ABD∶S△ACD=12AB·DE∶(3)∵AD=DE，∴由(1)易知S△ABD=S△EBD=10，∵AC=3，AB=5，AD平分∠BAC，∴由(2)易知S△ABD∶S△ACD=AB∶AC=5∶3，∴S△ACD=6，∴S△ABC=10+6=16.素养探究