【浙教】期中模拟卷02【1-2章】

2023-2024学年上学期期中模拟考试02八年级数学（考试时间：90分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：第1-2章（浙教版）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目1．（2023秋•恩施市校级月考）在下列长度的四组线段中，能组成三角形的是（）A．2、3、6 B．3、5、9 C．3、4、5 D．2、3、52．（2022秋•蒲城县期末）对假命题“若a＞b，则a2＞b2”举反例，正确的反例是（）A．a＝﹣1，b＝0 B．a＝2，b＝﹣1 C．a＝﹣1，b＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝23．（2022秋•长沙期末）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．∠BCA＝∠DCA4．（2023春•枣庄期末）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（）A．CDQUOTEBC B．2∠BAE＝∠BAC C．∠C+∠CAF＝90° D．AE＝AC5．（2023•碑林区校级模拟）如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝4．若△ACD的周长为10，则△ABD的周长为（）A．8 B．9 C．10 D．116．（2023秋•西乡塘区校级月考）如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A＝56°，则∠DCB的度数是（）A．30° B．45° C．56° D．60°7．（2022秋•德州期末）如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6 B．8 C．9 D．108．（2023春•东西湖区期中）如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AB＝6，则△ABC的周长是（）A．12.5 B．13 C．14 D．159．（2023•邯郸模拟）如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF，根据图中标示的角度，∠EAF的度数为（）A．120° B．118° C．116° D．114°10．（2022秋•龙港市期中）三国时期的赵爽利用图1证明了勾股定理，后来日本的数学家关孝和在“赵爽弦图”的启发下利用图2也证明了勾股定理．在图2中，E，B，F在同一条直线上，四边形ABCD，EFGA，HGDJ都是正方形，若正方形ABCD的面积等于100，△IJD面积等于QUOTE，且已知AH＝2，则△KCD的面积等于（）A．QUOTE B．39 C．QUOTE D．52二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11．（2023春•益阳期末）如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边、直角边（HL）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件：．12．（2023•娄底模拟）如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若∠B＝50°，则∠BDF的度数为．13．（2023•榆阳区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AB的中点，连接DE，若AB＝24，CD＝6，则△DBE的面积为．14．（2023春•晋中期中）如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于点E．若∠ABC＝64°，∠C＝29°，AB＝4，BC＝10，则AE＝．15．（2023•信阳二模）如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为cm/s时，△ACP与△BPQ有可能全等．16．（2022秋•铁岭县期末）已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为．三、解答题：本题共7小题，共66分.其中：17题6分，18-19每题8分，20-21每题10分，22-23每题12分.17．（2023秋•新北区校级月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．（1）△ABC的面积为．（2）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A'B′C′．（3）在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短，在图中作出P点的位置．18．（2023秋•兴宁区校级月考）如图，点D在BC上，AC与DE相交于点O，∠1＝∠2，AE＝AC，下面三个条件：①AB＝AD；②BC＝DE；③∠E＝∠C．请你从①②③中选一个条件，使△ABC≌△ADE．（1）你添加的条件是（填序号）；（2）添加了条件后，请证明△ABC≌△ADE．19．（2023秋•兴宁区校级月考）下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读，并完成相应的任务．项目课题探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题问题提出墙上有一点A，在无法直接测量的情况下，如何得到点A的高度？项目图纸解决过程①标记测试直杆的底端点D，测量OD的长度．②找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合；③使直杆顶端缓慢下滑，直到∠DCO＝∠ABO；④记下直杆与地面的夹角∠ABO；项目数据…任务：（1）由于项目记录员粗心，记录排乱了“解决过程”，正确的顺序应是；A．②→③→①→④ B．③→④→①→②C．①→②→④→③ D．②→④→③→①（2）线段的长度，即为点A的高度；（3）请你说明他们作法的正确性．20．（2023秋•浙江月考）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，边AC的垂直平分线EN交BC于点E．（1）已知△ADE的周长7cm，求BC的长；（2）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数．21．（2023•汉阳区校级一模）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，BD⊥AC垂足为D，点E在AD上，BE平分∠ABD，点F在BD延长线上，BF＝CE，延长FE交BC于点H．（1）求证：∠CBE＝45°；（2）写出线段BH和EH的位置关系和数量关系，并证明．22．（2022秋•拱墅区校级期中）已知，DA，DB，DC是从点D出发的三条线段，且DA＝DB＝DC．（1）如图①，若点D在线段AB上，连接AC，BC，试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）如图②，连接AC，BC，AB，且AB与CD相交于点E，若AC＝BC，AB＝16，DC＝10，求CE和AC的长．23．（2022秋•龙港市期中）如图，在△ABC中，AC＝BCQUOTE，∠ACB＝120°，将一块足够大的直角三角尺PEF（∠E＝90°，∠EPF＝30°）按如图放置，顶点P在线段AB上滑动（不与点A，B重合），三角尺的直角边PE始终经过点C，斜边PF交AC于点D．（1）当PD∥BC时，判断△BCP的形状，并说明理由；（2）当△PCD是等腰三角形时，求出所有满足要求的BP的长；（3）记点C关于PD的对称点为C′，当C′D⊥AC时，AP的长是．

2023-2024学年上学期期中模拟考试02八年级数学（考试时间：90分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：第1-2章（浙教版）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目1．（2023秋•恩施市校级月考）在下列长度的四组线段中，能组成三角形的是（）A．2、3、6 B．3、5、9 C．3、4、5 D．2、3、5【答案】C【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：A、3+3＝6，不能组成三角形；B、3+5＝8＜9，不能组成三角形；C、3+4＝7＞5，能够组成三角形；D、2+3＝5，不能组成三角形．故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．2．（2022秋•蒲城县期末）对假命题“若a＞b，则a2＞b2”举反例，正确的反例是（）A．a＝﹣1，b＝0 B．a＝2，b＝﹣1 C．a＝﹣1，b＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝2【答案】C【分析】根据有理数的大小比较法则、有理数的乘法法则计算，根据假命题的概念判断即可．【详解】解：当a＝﹣1，b＝﹣2时，a＞b，a2＝1，b2＝4，则a2＜b2，∴若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故选：C．【点评】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．3．（2022秋•长沙期末）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．∠BCA＝∠DCA【答案】D【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA后则不能．【详解】解：A、添加CB＝CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；B、添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；C、添加∠B＝∠D＝90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故C选项不符合题意；D、添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故D选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4．（2023春•枣庄期末）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（）A．CD=12BC B．2∠BAE＝∠C．∠C+∠CAF＝90° D．AE＝AC【答案】D【分析】根据三角形的中线、角平分线、高线的定义进行判断即可．【详解】解：A、∵AD是△ABC的中线，∴CD=1故此选项不符合题意；B、∵AE是△ABC的角平分线，∴2∠BAE＝∠BAC，C、∵AF是△ABC的高线，∴∠AFC＝90°，∴∠C+∠CAF＝90°，故此选项不符合题意；D、无法证得AE＝AC，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了三角形的中线、角平分线和高，熟记定义是解题的关键．5．（2023•碑林区校级模拟）如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝4．若△ACD的周长为10，则△ABD的周长为（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵△ACD的周长为10，∴AC+AD+CD＝10，∵AC＝4，∴AD+CD＝6，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵AB＝5，∴△ABD的周长＝AB+AD+CD＝11，故选：D．【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．6．（2023秋•西乡塘区校级月考）如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A＝56°，则∠DCB的度数是（）A．30° B．45° C．56° D．60°【答案】C【分析】根据垂直的定义和直角三角形的性质解答即可．【详解】街：∵CD⊥AB，AC⊥BC，∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，∵∠A＝56°，∴∠ACD＝90°﹣56°＝34°，∴∠DCB＝90°﹣34°＝56°，故选：C．【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的两个锐角互余解答．7．（2022秋•德州期末）如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC•AD=12×∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+12BC＝6故选：C．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．8．（2023春•东西湖区期中）如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AB＝6，则△ABC的周长是（）A．12.5 B．13 C．14 D．15【答案】C【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．【详解】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，∵S1+S2＝7，∴12×π×（AC2）2+12×π×（BC2）2+12×∴AC×BC＝14，∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝62+2×14＝64，∴AC+BC＝8（负值舍去），∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+6＝14，故选：C．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．9．（2023•邯郸模拟）如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF，根据图中标示的角度，∠EAF的度数为（）A．120° B．118° C．116° D．114°【答案】D【分析】根据三角形内角和为180°得到∠BAC＝180°﹣67°﹣56°＝57°，通过对称性特征得到∠EAF＝2∠BAC即可得出结果．【详解】解：如图所示，连接AD，由题意可得，∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，∠BAC＝180°﹣67°﹣56°＝57°，则∠EAF＝∠EAB+∠DAB+∠DAC+∠FAC＝2∠DAB+2∠DAC＝2（∠DAB+∠DAC）＝2∠BAC＝2×57°＝114°故选：D．【点评】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和，掌握轴对称图形的性质是解题关键．10．（2022秋•龙港市期中）三国时期的赵爽利用图1证明了勾股定理，后来日本的数学家关孝和在“赵爽弦图”的启发下利用图2也证明了勾股定理．在图2中，E，B，F在同一条直线上，四边形ABCD，EFGA，HGDJ都是正方形，若正方形ABCD的面积等于100，△IJD面积等于272，且已知AH＝2，则△KCDA．752 B．39 C．772【答案】A【分析】设GH＝GD＝x，则AG＝x+2，由勾股定理得出（2+x）2+x2＝102，解得x＝6，则DJ＝6，由勾股定理求出BE＝6，证明△AHI≌△BFK（ASA），由全等三角形的性质得出AI＝BK=5【详解】解：∵四边形ABCD和四边形GDJH是正方形，正方形ABCD的面积等于100，∴AB＝BC＝AD＝CD＝10，GH＝GD，设GH＝GD＝x，则AG＝x+2，∵AG2+DG2＝AD2，∴（2+x）2+x2＝102，解得x＝6，x＝﹣8舍去，∴DJ＝6，∵△IJD面积等于272∴12∴IJ=9∴IH＝HJ﹣IJ＝6−9∴AI=A∵AB＝10，AE＝AG＝8，∴BE=A∴BF＝2，∴AH＝BF，∵∠EAG＝∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠GAD＝∠BAE，∠BAE＝∠FBK，∵∠BFK＝∠AHI＝90°，∴△AHI≌△BFK（ASA），∴AI＝BK=5∴CK＝BC﹣BK＝10−5∴△KCD的面积=12CD•CK故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11．（2023春•益阳期末）如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边、直角边（HL）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件：BC＝FE．【答案】BC＝FE．【分析】由AC＝DE，BC＝FE，即可推出Rt△ABC≌Rt△DFE（HL），于是得到答案．【详解】证明：在Rt△ABC和Rt△DFE中，AC=DEBC=FE∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）．故答案为：BC＝FE．【点评】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法．12．（2023•娄底模拟）如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若∠B＝50°，则∠BDF的度数为80°．【答案】80°．【分析】由DE∥BC，利用“两直线平行，同位角相等”，可求出∠ADE的度数，由折叠的性质可得出∠FDE的度数，再结合平角等于180°，即可求出∠BDF的度数．【详解】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝50°．由折叠的性质可知：∠FDE＝∠ADE＝50°，∴∠BDF＝180°﹣∠ADE﹣∠FDE＝180°﹣50°﹣50°＝80°．故答案为：80°．【点评】本题考查了平行线的性质以及翻转变换（折叠问题），牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．13．（2023•榆阳区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AB的中点，连接DE，若AB＝24，CD＝6，则△DBE的面积为36．【答案】36．【分析】过D作DF⊥AB于F，由角平分线的性质求出DF，根据三角形的面积公式即可求出△DBE的面积．【详解】解：过D作DF⊥AB于F，∵∠C＝90°，∴DC⊥AC，∵AD平分∠ABC，CD＝6，∴DF＝CD＝6，∵点E为AB的中点，AB＝24，∴BE＝12，∴△DBE的面积=12BE•DF故答案为：36．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解决问题的关键．14．（2023春•晋中期中）如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于点E．若∠ABC＝64°，∠C＝29°，AB＝4，BC＝10，则AE＝3．【答案】3．【分析】延长AE交BC于点F，证明△ABE≌△FBE（ASA），得出AE＝EF，AB＝BF＝4，∠BAF＝∠BFA＝58°，根据∠C＝29°，得出∠CAF＝∠C，则AF＝CF，进而即可求解．【详解】解：如图，延长AE交BC于点F．∵BD平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE．在△ABE和△FBE中，∠AEB=∠FEB=90°BE=BE∴△ABE≌△FBE（ASA），∴AE＝EF，AB＝BF＝4，∴∠BAF=∠BFA=1∵∠C＝29°，∴∠CAF＝∠AFB﹣∠C＝29°，∴∠CAF＝∠C，∴AF＝CF．∵BC＝10，∴CF＝BC﹣BF＝6，∴AF＝6，∴AE＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．15．（2023•信阳二模）如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为1或1.5cm/s时，△ACP与△BPQ有可能全等．【答案】见试题解答内容【分析】设点Q的运动速度是xcm/s，有两种情况：①AP＝BP，AC＝BQ，②AP＝BQ，AC＝BP，列出方程，求出方程的解即可．【详解】解：设点Q的运动速度是xcm/s，∵∠CAB＝∠DBA，∴△ACP与△BPQ全等，有两种情况：①AP＝BP，AC＝BQ，则1×t＝4﹣1×t，解得：t＝2，则3＝2x，解得：x＝1.5；②AP＝BQ，AC＝BP，则1×t＝tx，4﹣1×t＝3，解得：t＝1，x＝1，故答案为：1或1.5．【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．16．（2022秋•铁岭县期末）已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为70°或40°或20°．【答案】见试题解答内容【分析】分三种情形分别求解即可；【详解】解：如图，有三种情形：①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，故答案为70°或40°或20°【点评】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题：本题共7小题，共66分.其中：17题6分，18-19每题8分，20-21每题10分，22-23每题12分.17．（2023秋•新北区校级月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．（1）△ABC的面积为5.5．（2）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A'B′C′．（3）在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短，在图中作出P点的位置．【答案】（1）5.5；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可；（2）分别作出各点关于直线MN的对称点，再顺次连接即可；（3）连接BC′交直线MN于点P，则点P即为所求点．【详解】解：（1）S△ABC＝3×4−12×故答案为：5.5；（2）如图，△A′B′C′即为所求；（3）如图，点P即为所求．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．18．（2023秋•兴宁区校级月考）如图，点D在BC上，AC与DE相交于点O，∠1＝∠2，AE＝AC，下面三个条件：①AB＝AD；②BC＝DE；③∠E＝∠C．请你从①②③中选一个条件，使△ABC≌△ADE．（1）你添加的条件是②（填序号）；（2）添加了条件后，请证明△ABC≌△ADE．【答案】（1）②；（2）证明见解析．【分析】（1）由全等三角形的判定可得出答案；（2）根据∠1＝∠2结合三角形内角和定理可得∠E＝∠C，再有条件AE＝AC，添加BC＝DE可利用SAS定理判定△ABC≌△ADE．【详解】（1）解：选②BC＝DE，故答案为：②；（2）证明：∵∠1＝∠2，∠AOE＝∠COD，∴∠E＝∠C，在△ABC和△ADE中，AC=AE?C=?E∴△ABC≌△ADE（SAS）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）．19．（2023秋•兴宁区校级月考）下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读，并完成相应的任务．项目课题探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题问题提出墙上有一点A，在无法直接测量的情况下，如何得到点A的高度？项目图纸解决过程①标记测试直杆的底端点D，测量OD的长度．②找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合；③使直杆顶端缓慢下滑，直到∠DCO＝∠ABO；④记下直杆与地面的夹角∠ABO；项目数据…任务：（1）由于项目记录员粗心，记录排乱了“解决过程”，正确的顺序应是D；A．②→③→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．②→④→③→①（2）线段OD的长度，即为点A的高度；（3）请你说明他们作法的正确性．【答案】（1）D；（2）OD；（3）证明见解析过程．【分析】（1）根据“使直杆斜靠在墙上，顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角∠ABO，而后使直杆顶端缓慢下滑，直到∠DCO＝∠ABO，标记直杆的底端点D，测量OD的长度”的顺序，从新排列“解决过程”，即得；（2）根据AAS判定△ABO和△CDO全等，得到OA＝OD；（3）根据判定△ABO≌△CDO的合理性说明他们作法的正确性．【详解】解：（1）正确的顺序应是：②找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合；④记下直杆与地面的夹角∠ABO；③使直杆顶端缓慢下滑，直到∠DCO＝∠ABO；①标记测试直杆的底端点D，测量OD的长度．故答案为：D；（2）∵AB＝CD，∠ABO＝∠DCO，∠AOB＝∠DOC，∴△ABO≌△CDO（AAS），∴OA＝OD；故答案为：OD；（3）由（2）知，在△ABO和△CDO中，?AOB=?DOC?ABO=?DCO∴△ABO≌△CDO（AAS），∴OA＝OD．即测量OD的长度，就等于OA的长度，即点A的高度．【点评】本题主要考查了实践操作题——利用全等三角形原理测长度，解决问题的关键是熟练掌握AAS判定三角形全等的方法．20．（2023秋•浙江月考）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，边AC的垂直平分线EN交BC于点E．（1）已知△ADE的周长7cm，求BC的长；（2）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数．【答案】（1）BC的长为7cm；（2）∠DAE的度数为40°．【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，EA＝EC，然后利用等量代换可得△ADE的周长＝BC，即可解答；（2）利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠DAB＝30°，∠C＝∠EAC＝40°，然后再利用三角形内角和定理进行计算即可解答．【详解】解：（1）∵DM是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∵EN是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∵△ADE的周长7cm，∴AD+DE+AE＝7cm，∴BD+DE+EC＝7cm，∴BC＝7cm，∴BC的长为7cm；（2）∵DA＝DB，∴∠B＝∠DAB＝30°，∵EA＝EC，∴∠C＝∠EAC＝40°，∴∠DAE＝180°﹣∠B﹣∠BAD﹣∠C﹣∠EAC＝40°，∴∠DAE的度数为40°．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．21．（2023•汉阳区校级一模）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，BD⊥AC垂足为D，点E在AD上，BE平分∠ABD，点F在BD延长线上，BF＝CE，延长FE交BC于点H．（1）求证：∠CBE＝45°；（2）写出线段BH和EH的位置关系和数量关系，并证明．【答案】（1）证明过程见解答；（2）BH⊥EH，BH＝EH，证明过程见解答．【分析】（1）由AB＝AC，得∠ABC＝∠C，可证明∠ABC＝∠C=12∠DAB，而∠ABE＝∠DBE=12∠DBA，则∠CBE=1（2）延长BA到点G，使AG＝AE，连接EG，因为AB＝AC，所以BG＝CE＝BF，即可证明△EBG≌△EBF，得∠G＝∠F，可证明∠G=12∠DAB，则∠G＝∠F＝∠C，于是∠BHE＝∠C+∠HEC＝∠F+∠DEF＝90°，得BH⊥EH，由∠HEB＝∠HBE＝45°，得BH＝【详解】（1）证明：∵BD⊥AC于D，∴∠BDC＝∠FDC＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DAB＝∠ABC+∠C＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠C=12∠∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠DBE=12∠∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE=12（∠DAB+∠（2）解：BH⊥EH，BH＝EH，证明：延长BA到点G，使AG＝AE，连接EG，∵AB＝AC，∴AB+AG＝AC+AE，∴BG＝CE，∵BF＝CE，∴BG＝BF，在△EBG和△EBF中，BG=BF?GBE=?FBE∴△EBG≌△EBF（SAS），∴∠G＝∠F，∵∠G＝∠AEG，∴∠DAB＝∠G+∠AEG＝2∠G，∴∠G=12∠∴∠G＝∠C，∴∠F＝∠C，∵∠HEC＝∠DEF，∴∠BHE＝∠C+∠HEC＝∠F+∠DEF＝90°，∴BH⊥EH，∵∠HEB＝∠HBE＝45°，∴BH＝EH．【点评】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．22．（2022秋•拱墅区校级期中）已知，DA，DB，DC是从点D出发的三条线段，且DA＝DB＝DC．（1）如图①，若点D在线段AB上，连接AC，BC，试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）如图②，连接AC，BC，AB，且AB与CD相交于点E，若AC＝BC，AB＝16，DC＝10，求CE和AC的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，根据三角形的内角和得到∠ACB＝90°，于是得到△ABC是直角三角形；