11一元二次方程（原卷版）

（苏科版）九年级上册数学《第1章一元二次方程》1.1一元二次方程知识点一知识点一一元二次方程的概念◆1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．◆2、一元二次方程必须同时满足的条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．④二次项系数不能为0.知识点二知识点二一元二次方程的一般形式◆一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．知识点三知识点三一元二次方程的解（根）◆一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．◆一元二次方程的解（根）满足的条件：未知数的值；（2）使方程左右两边相等.题型一一元二次方程的识别题型一一元二次方程的识别【例题1】（2023春•海曙区校级期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x﹣2y＝1 B．x2+3=2x C．x2﹣2y+4＝0 D．x解题技巧提炼一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．【变式11】（2023春•肇源县月考）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．x2+1x=0 B．x＝C．（x﹣1）2＝（x+3）（x﹣2）+1 D．ax2+bx+c＝0【变式12】（2023•凉山州模拟）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．2（x2+2x）＝2x2﹣1 B．ax2+bx+c＝0 C．（x+1）2＝2x+1 D．1x2【变式13】（2022春•泰兴市校级月考）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．2x2−3x+1=0 B．（x+1）（xC．5x2﹣4＝0 D．ax2+bx+c＝0【变式14】（2023春•肇源县期中）下列方程中一元二次方程的个数为（）①2x2﹣x+1＝0；②x（x﹣1）＝2x2；③1x2+x=2；④ax2+bx+c＝0；A．0 B．1 C．2 D．3【变式15】（2022秋•聊城期末）下列方程中：①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2+bx+c＝0（a≠0）；③1x2+3x−5=0；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2+y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝A．1 B．2 C．3 D．4题型二由一元二次方程的定义求字母的取值范围题型二由一元二次方程的定义求字母的取值范围【例题2】（2023春•谯城区校级月考）若方程（m+2）x2+mx﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m应满足．解题技巧提炼由一元二次方程的定义求字母的取值范围，主要是根据二次的系数不为0得出字母的取值范围，有时要把方程先化为一般式.【变式21】（2022秋•连平县校级期末）若方程（a﹣2）x2+ax﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≥2且a≠2 B．a≥0且a≠2 C．a≥2 D．a≠2【变式22】（2022秋•罗山县期末）若（a﹣3）xb﹣2﹣5x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则a、b的取值为（）A．a≠0，b＝4 B．a≠0，b＝2 C．a≠﹣3，b＝4 D．a≠3，b＝4【变式23】（2022秋•武城县期末）关于x的方程（m﹣2）xm2−2+x是（）A．m≠2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m＝±2【变式24】（2023•龙川县校级开学）若（m2﹣4）x2+3x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则（）A．m≠2 B．m≠﹣2 C．m≠﹣2，或m≠2 D．m≠﹣2，且m≠2【变式25】（2023春•淮北月考）若(a−1)x2+a+1x=2是关于x的一元二次方程，则a题型三由一元二次方程的定义求字母的值题型三由一元二次方程的定义求字母的值【例题3】（2023春•青田县月考）若方程xm+1﹣（m+1）x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣1解题技巧提炼根据一元二次方程的定义，利用未知数的最高次数是2和二次项系数不为0得出字母的值.【变式31】（2022秋•南充期末）关于x的一元二次方程为（m﹣2）x2﹣x+3＝0，则m的值是（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．m≠2【变式32】（2023•崂山区二模）关于x的方程x|a|﹣1﹣3x+2＝0是一元二次方程，则a的值为．【变式33】（2023春•西湖区校级期中）若xm2−2+x−3=0是关于是（）A．2 B．﹣2 C．0 D．2或﹣2【变式34】（2023春•天长市校级期中）已知(a−2)xa2−2−x+3=0A．±2B．2 C．﹣2 D．以上选项都不对【变式35】（2021秋•沙依巴克区校级期末）若m2x2+（m2﹣3m）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m＝．【变式36】（2023春•崇左月考）已知关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0．（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？题型四一元二次方程的一般形式题型四一元二次方程的一般形式【例题4】（2022秋•恩施市期中）二元一次方程1﹣8x+16x2＝2+4x的二次项系数是，一次项系数是．常数项是．解题技巧提炼一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．【变式41】（2023•东莞市校级模拟）将方程4x2+8x＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．4，8，25 B．4，2，﹣25 C．4，8，﹣25 D．1，2，25【变式42】（2022秋•北塔区期末）将一元二次方程（x+2）2＝5x﹣2化为一般形式后，对应的a，b，c的值分别是（）A．a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2 B．a＝1，b﹣1，c＝6 C．a＝1，b＝﹣5，c＝6 D．a＝1，b＝﹣5，c＝2【变式43】（2023•桂林一模）一元二次方程x2﹣（3x﹣2）＝8的一般形式是．【变式44】将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项．（1）3x（x+1）＝4（x﹣2）；（2）（x+3）2＝（x+2）（4x﹣1）；（3）2（y+5）（y﹣1）＝y2﹣8；（4）2t＝（t+1）2．【变式45】一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1＝0，试求a+bc题型五由一元二次方程的解求字母的值题型五由一元二次方程的解求字母的值【例题5】（2023•蚌埠二模）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+x+2a＝0的一个解，则a的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2解题技巧提炼将一元二次方程的根代入原方程得到关于字母参数的方程并求解即可．【变式51】（2023•淮阴区模拟）已知关于x的方程x2﹣x+m＝0的一个根是2，则m的值为．【变式52】（2023•巧家县二模）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣4x+m2﹣9＝0的一个根为0，则m的值为（）A．﹣3 B．±3 C．3 D．0【变式53】（2023春•鹿城区期中）关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣18＝0的一个根是1，则a的值是（）A．4 B．2或﹣2 C．4或﹣4 D．3【变式54】（2023•绵阳三模）若关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一个根为﹣1，则k的值为（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．9【变式55】（2023•博罗县校级开学）已知x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0的一个根，求m的值．题型六由一元二次方程的解求代数式的值题型六由一元二次方程的解求代数式的值【例题6】（2023•香洲区校级三模）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b的值为（）A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023解题技巧提炼将一元二次方程的根代入原方程得到关于字母参数的方程，然后利用整体代入法求代数式的值即可.【变式61】（2023•福田区校级模拟）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则﹣2a2﹣4a的值是．【变式62】（2023•定西二模）若m是方程2x2﹣3x+1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2023的值为．【变式63】（2022秋•大荔县期末）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，求m3+2m2﹣2025m+2022的值．【变式64】（2023•鹤山市模拟）先化简，再求值：(a2−4a2−4a+4−1【变式65】（2022春•丰城市校级期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根．求：（1）2a2﹣4040a﹣3的值；（2）代数式a2﹣2019a+2020题型七已知一元二次方程的根求另一方程的根题型七已知一元二次方程的根求另一方程的根【例题7】若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定解题技巧提炼已知一元二次方程的根求另一方程的根，主要是利用根的定义代入原方程中，得到关于字母参数的方程，再来求另一方程的根.【变式71】（2023春•崇左月考）在关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则方程的根是（）A．1，0 B．1，﹣2 C．1，﹣1 D．无法确定【变式72】（2023春•鹿城区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有一个根是x＝m，则方程x2+bx+a＝0有一个根是（）A．x＝m B．x＝﹣m C．x=1m D．x【变式73】若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2021，则方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【变式74】（2023•安源区校级模拟）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝5，则方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为．【变式75】（2022秋•南安市期中）两个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0和cx2+bx+a＝0，其中a，b，c是常数，且a+c＝0，如果x＝2020是方程ax2+bx+c＝0的一个根，那么下列各数中，一定是方程cx2+bx+a＝0的根的是（）A．±2020 B．−12020 C．﹣2020 题型八根据实际问题列简单的一元二次方程题型八根据实际问题列简单的一元二次方程【例题8】（2023•永州）某2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（）A．2.7（1+x）2＝2.36 B．2.36（1+x）2＝2.7 C．2.7（1﹣x）2＝2.36 D．2.36（1﹣x）2＝2.7解题技巧提炼由实际问题抽象出一元二次方程：在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．【变式81】（2022•襄州区模拟）在一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，如果参加聚会的同学有x名．根据题意列出的方程是．【变式82】（2022•长沙一模）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（）A．（x+2）2+（x﹣4）2＝x2 B．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2 C．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2 D．（x﹣2）2+x2＝（x+4）2【变式83】（2023•喀什地区三模）为大力实施城市绿化行动，某小区规划设置一片面积为1000平方米的矩形绿地，并且长比宽多30米，设绿地长为x米，根据题意可列方程为（）A．x（x+30）＝1000 B．x（x﹣30）＝1000 C．2x（x+30）＝1000 D．2x（x﹣30）＝1000【变式84】（2023•花都区二模）为丰富乡村文体生活，某区准备组织首届“美丽乡村”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都