文科数学一轮复习高考帮全国版试题第5章第1讲平面向量的概念及线性运算平面向量基本定理及坐标运算（考题帮数学文）

第一讲平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算题组1平面向量的概念及线性运算1.[2015陕西,8,5分][文]对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b| B.|ab|≤||a||b||C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(ab)=a2b22.[2014新课标全国Ⅰ,6,5分][文]设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=()A.AD B.12AD C.BC 3.[2014浙江,9,5分][文]设θ为两个非零向量a,b的夹角.已知对任意实数t,|b+ta|的最小值为1.()A.若θ确定,则|a|唯一确定 B.若θ确定,则|b|唯一确定C.若|a|确定,则θ唯一确定D.若|b|确定,则θ唯一确定4.[2015新课标全国Ⅰ,2,5分][文]已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(4,3),则向量BC=()A.(7,4) B.(7,4) C.(1,4) D.(1,4)5.[2015福建,7,5分][文]设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于()A.32 B.53 C.536.[2014四川,7,5分]平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=()A.2 B.1 C.1 D.27.[2014北京,3,5分][文]已知向量a=(2,4),b=(1,1),则2ab=()A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)8.[2015新课标全国Ⅱ,13,5分]设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.

9.[2017全国卷Ⅲ,13,5分][文]已知向量a=(2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m=.

10.[2016全国卷Ⅱ,13,5分][文]已知向量a=(m,4),b=(3,2),且a∥b,则m=.

11.[2015北京,13,5分]在△ABC中,点M,N满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,则x=;y=.

题组2平面向量的基本定理及向量的坐标运算12.[2015江苏,6,5分][文]已知向量a=(2,1),b=(1,2).若ma+nb=(9,8)(m,n∈R),则mn的值为.

13.[2014北京,10,5分]已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=.

14.[2013江苏,10,5分][文]设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为A组基础题1.[2018海南省八校联考,4]设D为线段BC的中点,且AB+AC=6AE,则()A.AD=2AE B.AD=3AEC.AD=2EA D.AD=3EA2.[2018河北石家庄二中模拟,5]已知点D是△ABC所在平面内的一点,且BD=2DC,设AD=λAB+μAC,则λμ=()A.13 B.13 C.3 3.[2018湖南省永州市一模,3]已知a=(1,1),b=(1,0),c=(1,2),若a与mbc平行,则m=()A.1B.1 C.2 D.34.[2017陕西省六校高三第三次适应性训练,13]已知平面向量a=(2,4),b=(1,k),且a∥b,则2a+b=.

5.[2017南昌市三模,14]已知向量a=(m,n),b=(1,2),若|a|=25,a=λb(λ<0),则mn=.

B组提升题6.[2018湘东五校联考,10]已知圆心为O,半径为1的圆上有不同的三个点A,B,C,其中OA·OB=0,存在实数λ,μ满足OC+λOA+μOB=0,则实数λ,μ的关系为()A.λ2+μ2=1 B.1λ+1μ=1 C.λμ=1 D.7.[2017长春市第二次质量监测,6]在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点,且AD=13AB+12AC,则SA.16 B.13 C.128.[2017太原市三模,6]在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,点P是△ABC内一点(含边界),若AP=23AB+λAC,则|AP|的取值范围为(A.[2,210+333] B.[2,83]C.[0,2139.[2018广东七校联考,14]设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=.

10.[2018衡水金卷,13]已知在△ABC中,|BC|=|ABCB|,AB=(1,2),若边AB的中点D的坐标为(3,1),点C的坐标为(t,2),则t=.

11.[2017郑州市第三次质量预测,16]在△ABC中,∠A=π3,O为平面内一点,且|OA|=|OB|=|OC|,M为劣弧BC上一动点,且OM=pOB+qOC,则p+q的取值范围为答案1.B对于A选项,设向量a,b的夹角为θ,因为|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|,所以A选项正确;对于B选项,因为当向量a,b反向时,|ab|≥||a||b||,所以B选项错误;对于C选项,由向量的平方等于向量模的平方可知,C选项正确;对于D选项,根据向量的运算法则,可推导出(a+b)·(ab)=a2b2,故D选项正确,综上可知选B.2.AEB+FC=12(AB+CB)+12(AC+BC)=12(AB+AC)=3.B由于|b+ta|2=b2+2a·bt+a2t2,令f(t)=a2t2+2a·bt+b2,而t是任意实数,所以可得f(t)的最小值为4a2b2-(2a·b)24a2=4a2b2-4a2b4.A设C(x,y),因为A(0,1),AC=(4,3),所以x=-4,y-1=-3,解得x=-4,y=-2,所以C(4,2),又B(3,2),所以5.A因为c=(1+k,2+k),b·c=0,所以1+k+2+k=0,解得k=32,故选A6.D解法一由已知得c=(m+4,2m+2),因为cos<c,a>=c·a|c|·|a|,cos<c,b>=c·b|c|·|b|,所以c·a|c|·|a|=c·b|c|·|b|,又由已知得|b|=2|解法二易知c是以ma,b为邻边的平行四边形的对角线向量,因为c与a的夹角等于c与b的夹角,所以该平行四边形为菱形,又由已知得|b|=2|a|,故m=2.7.A因为a=(2,4),b=(1,1),所以2ab=(2×2(1),2×41)=(5,7),故选A.8.12由于λa+b与a+2b平行,所以存在μ∈R,使得λa+b=μ(a+2b),即(λμ)a+(12μ)b=0,因为向量a,b不平行,所以λμ=0,12μ=0,解得λ=μ=19.2因为a⊥b,所以a·b=2×3+3m=0,解得m=2.10.6由题意得2m12=0,所以m=6.11.1216由题中条件得MN=MC+CN=13AC+12CB=13AC+12(ABAC)=12AB112.3由向量a=(2,1),b=(1,2),得ma+nb=(2m+n,m2n)=(9,8),则2m+n=9,m-2n13.5因为|a|=1,所以可令a=(cosθ,sinθ),因为λa+b=0,b≠0,所以λ≠0,所以λcosθ+2=0,λsinθ+1=0,即cosθ=-2λ,sinθ14.12DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(BA+AC)=16AB+23AC,所以λ1=16A组基础题1.D由D为线段BC的中点,且AB+AC=6AE,得2AD=6AE,所以AD=3AE,即AD=3EA,故选D.2.D如图D512所示,C是线段BD的中点,图D512则AD=AB+BD=AB+2BC=AB+2(ACAB)=AB+2AC.又AD=λAB+μAC,由平面向量基本定理可知,λ=1,μ=2,所以λμ=3.故选D.3.A∵a=(1,1),b=(1,0),c=(1,2),∴mbc=(m1,2),又∵a与mbc平行,∴1×2=(m1),解得m=1,故选A.4.(3,6)因为a=(2,4),b=(1,k),且a∥b,所以2k+4=0,k=2,所以2a+b=(4,8)+(1,2)=(3,6).5.6∵a=(m,n),b=(1,2),∴由|a|=25,a=λb(λ<0),得m2+n2=20①,m<0,n>0,-2m-n=0②,联立B组提升题6.A解法一取特殊点,取C为优弧AB的中点,此时由平面向量基本定理易得λ=μ=22,只有A符合.故选A解法二依题意得|OA|=|OB|=|OC|=1,OC=λOA+μOB,两边平方得1=λ2+μ2.故选A.7.B由已知,得点D在△ABC中与AB平行的中位线上,且在靠近BC边的三等分点处,从而有S△ABD=12S△ABC,S△ACD=13S△ABC,S△BCD=(11213)S△ABC=16S△ABC,所以S8.D解法一因为AB=3,AC=2,∠BAC=60°,所以AB·AC=3,又AP=23AB+λAC,所以|AP|2=49AB2+4λ3AB·AC+λ2AC2=4λ2+4λ+4,因为点P是△ABC内一点(含边界),所以点P在线段DE上,其中D,E分别为AB,BC的三等分点,如图D513所示,所以0≤λ≤13,所以4≤|AP|2图D513解法二以点A为坐标原点,以AC所在直线为x轴,建立如图D514所示的平面直角坐标系,因为AB=3,AC=2,∠BAC=60°,所以AB=(32,332),AC=(2,0),又AP=23AB+λAC,所以AP=(2λ+1,3),所以|AP|2=4λ2+4λ+4,因为点P是△ABC内一点(含边界),所以点P在线段DE上,其中D,E分别为AB,BC的三等分点,所以0≤λ≤13,所以4≤|AP|2≤529,所以2≤图D514解法三如图D515,点D为线段AB靠近点B的三等分点,DE∥AC交BC于点E,因为点P是△ABC内一点(含边界),且AP=23AB+λAC,所以点P在线段DE上,当点P与点D重合时,|AP|最小,最小值为2,当点P与点E重合时,|AP|最大,因为AB=3,AC=2,∠BAC=60°,所以AD=2,DE=23,∠ADE=120°,由余弦定理得AE=2133,所以|AP|的最大值为2133,所以2≤图D5159.10由a⊥c,得a·c=2x4=0,解得x=2.由b∥c,得2y=4,即y=2,所以a=(2,1),b=(1,2),a+b=(3,1),|a+b|=32+(-10.1依题意,得|BC|=|AC|,故△ABC是以AB为底边的等腰三角形,故CD⊥AB,所以CD·AB=(3t,1)·(1,2)=3t2=0,解得t=1.11.[1,2]解法一因为|OA|=|OB|=|OC|,所以O为△ABC外接圆的圆心,且∠BOC=2π3.以O为坐标原点,建立如图D516所示的平面直角坐标系,不妨设圆的半径为1,则B(1,0),C(12,32),设Msinθ)(0≤θ≤2π3),则OB=(1,0),OC=(12,32),由OM=pOB+qOC,得cosθ=p-q2,sinθ=32q,解得p=cosθ+13sinθ,q=23sinθ,所