22基本不等式（第2课时）（教学设计）高一数学（人教A版2019）

2.2基本不等式（第2课时）教学设计教学目标课堂教学目标解析课程标准提出的“内容与要求”是掌握基本不等式；结合具体实例，能用基本不等式解决简单问题的最大值或最小值问题。“掌握”基本不等式要求知道它的来历、能够证明、还要能熟练应用。实现“掌握”基本不等式的教学目标是本章的学习目标，本节课主要教学目标如下：1.通过对已知不等式的代数变换，得到基本不等式，提高学生代数变换的能力．2.通过证明基本不等式，渗透分析法和综合法中“执果索因”和“由因导果”的基本方法，培育学生逻辑推理的核心素养．3.通过基本不等式的几何解释的探究，培育直观想象的核心素养．4.通过例1，初步感知最值的意义，明确基本不等式的使用条件和注意事项，即“一正、二定、三相等”，结合辨析思考题加深对基本不等式以及最值含义的理解，为今后给出函数的最大值和最小值的概念做铺垫；通过例2提炼出基本不等式能够解决的两类最值问题模型，培育学生的模型意识．逻辑推理、直观想象等数学核心素养的培育是整个高中学段的总体目标，通过基本不等式的学习过程渗透核心素养的培育。而对于不等式的逐步归纳和复合构造也渗透了代数学的基本研究方法。达成上述目标的标志：知道基本不等式的内容，明确基本不等式就是“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；会利用不等式的性质证明基本不等式，能说明基本不等式的几何意义；能结合具体实例，明确基本不等式的使用条件和注意事项，即“一正、二定、三相等”；能用基本不等式模型识别和理解实际问题，能用基本不等式求最大值或最小值，在解决具体问题的过程中，感受从特殊到一般、转化与化归、数形结合的数学思想方法．重点难点教学重点：基本不等式的定义、证明方法和几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题。教学难点：基本不等式的几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题。学情分析&教材分析1.本章的第一节，学生学习了等式性质与不等式性质，为逐步归纳、复合构造得到基本不等式提供理论支撑；学生在初中已经学习了乘法公式，通过对乘法公式的理解和应用，学生已经初步具备模型意识；对乘法公式的几何解释也让学生初步具备数形结合的能力。2.尽管由代数变换得到基本不等式的过程并不复杂，但是为什么这样代换的原因很难理解，这是由于学生代数变换的经验比较少，代数的基本思想领悟不够深，需要老师适当设问，引导学生思考得到；对于基本不等式的证明，学生之前已有“做差法”的经验以及不等式的性质为基础，可以完成基本不等式的证明，也有学生会尝试“分析法”，但由于没有系统学习“分析法”，需要教师给予完善；对于“几何平均数”的几何意义，需要教师引导学生思考消除“”这一点是本节课的难点；由于“最值”的含义学生尚未学习，因此需要通过赋值，让学生感知相等和不等，感知变化中的规律性，在通过对结构的分析完成求解。学习目标1.熟练掌握基本不等式及变形的应用．2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题．3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题．导入新知基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有工具．同学们，数学是和生活联系非常紧密的学科，我们学习数学，也是为了解决生活中的问题，比如：“水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑之一，在2022年成功改造成冬奥会历史上体量最大的冰壶场馆“冰立方”．如图为水立方平面设计图，已知水立方地下部分为钢筋混凝土结构，该结构是大小相同的左、右两个矩形框架，两框架面积之和为18000m2，现地上部分要建在矩形ABCD上，已知两框架与矩形ABCD之间空白的宽度为10m，两框架之间的中缝空白宽度为5m，请问作为设计师的你，应怎样设计矩形ABCD，才能使水立方占地面积最小？要解决这个问题，还得需要我们刚学习过的基本不等式哦，让我们开始今天的探究之旅吧！学习新知一、基本不等式在生活中的应用问题利用基本不等式求最大(小)值时，应注意哪些问题？提示一正：x，y都得是正数；二定：积定和最小，和定积最大；三相等：检验等号成立的条件是否满足实际需要．例3（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为m，m，篱笆的长度为.（1）由已知得.由，可得，所以，当且仅当时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.（2）由已知得，矩形菜园的面积为.由，可得，当且仅当时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81.【变式1】某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房.经测算,若将楼房建为层,则每平方米的平均建筑费用为560(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?

注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝eq\f(购地总费用,建筑总面积).【解析】设将楼房建为层,则每平方米的平均购地费用为.

设每平方米的平均综合费用为元,

则.

当取最小值时,有最小值.

,当且仅当,即时,等号成立.

所以当时,有最小值2000.

因此该楼房建为15层时,每平方米的平均综合费用最少.反思感悟利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)理解题意．设变量，并理解变量的实际意义；(2)构造定值．利用基本不等式求最值；(3)检验．检验等号成立的条件是否满足题意；(4)结论．应用新知二、基本不等式在几何中的应用例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定．如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了．因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低．【解析】设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为，，水池的总造价为元．根据题意，有．由容积为4800m3，可得，因此．所以，当时，上式等号成立，此时．所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元．【变式1】为了增强生物实验课的趣味性,丰富生物实验教学内容,某校计划沿着围墙(足够长)划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场,规定的每条边长均不超过20米.如图所示,矩形为羊驼养殖区,且点A,B,E,F四点共线,阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设(单位:米),养殖区域的面积为(单位:平方米).(1)将S表示为x的函数，并写出x的取值范围；(2)当AB为多长时，S取得最大值？并求出最大值．【解析】(1)因为,所以,

所以,

因为,解得,

所以.

(2)

当且仅当时,等号成立,经验证,符合题意,

即当米时,取得最大值,最大值为平方米.反思感悟在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．能力提升题型一：基本不等式在生活中的应用【练习1】某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产x件，则平均仓储时间为eq\f(x,4)天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．30件 B．60件C．80件 D．100件【答案】B【解析】根据题意,生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是,设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为,

则,

由基本不等式,得,

当且仅当,即时,等号成立,

即每批生产产品60件时,平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.反思感悟在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．【跟踪练习】为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为▱AMBN一组相对的顶点，当AMBN的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为()A.6 B.12 C.18 D.24答案D解析设AM＝x，AN＝y，则由已知可得x＋y＝10，在△MAN中，MN＝6，由余弦定理可得，cosA＝eq\f(x2＋y2－62,2xy)＝eq\f(（x＋y）2－36,2xy)－1＝eq\f(32,xy)－1≥eq\f(32,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))\s\up12(2))－1＝eq\f(32,25)－1＝eq\f(7,25)，当且仅当x＝y＝5时等号成立，此时(cosA)min＝eq\f(7,25)，所以(sinA)max＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,25)))\s\up12(2))＝eq\f(24,25)，所以四边形AMBN的最大面积为2×eq\f(1,2)×5×5×eq\f(24,25)＝24(平方米)，此时四边形AMBN是边长为5米的菱形.感悟提升利用基本不等式解决实际应用问题的思路(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.题型二：基本不等式在几何中的应用【练习2】如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4米，AD＝3米，当BM＝______时，矩形花坛AMPN的面积最小．【答案】4米【解析】设,则由得,解得,

矩形的面积为,当且仅当,即时等号成立.

当米时,矩形花坛的面积最小求实际问题中最值的解题4步骤(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式．(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式．(4)回到实际问题中，正确写出答案．课堂总结1．知识清单：(1)基本不等式在生活中的应用．(2)基本不等式在几何中的应用．2．方法归纳：配凑法．3．常见误区：生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围．【设计意图】回顾了重要不等式和基本不等式的探究过程、运用基本不等式求最值的条件，分析了本节课运用的思想方法。在作业布置环节，让学生课后继续探寻基本不等式其他的证明方法和几何解释。整节课贯彻了“学生为主体，教师为主导”的教学思想。作业设计课本48页习题2.2第5,6题第48页习题2.2复习巩固1.（1）已知，求的最小值；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，，当且仅当时，即当时等号成立，的最小值为；（2）由知.当或时，；当时，，由基本不等式可得.当且仅当，即当时等号成立.综上，的最大值为.【点睛】本题考查基本不等式求最值，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型，基本不等式求最值的方法需记住“一正，二定，三相等的原则”.2.（1）把写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？【答案】（1）a=b=6时，它们的和最小，为12；（2）a=b=9时，它们的积最大，为81【解析】设两个正数为a，b（1），则，当且仅当等号成立，即a=b=6时，它们的和最小，为12.（2），则当且仅当等号成立即a=b=9时，它们的积最大，为81.【点睛】本题考查基本不等式求最值．即两个正数，积为定值时和有最小值，和为定值时积有最大值，都是当且仅当这两个数相等时取得最值．3.某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为元，房屋侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？【答案】当房屋的正面边长为，侧面边长为时，房屋总造价最低，为元.【解析】设房屋的正面边长为，侧面边长为，总造价为元，则，即，.当时，即当时，有最小值，最低总造价为元.答：当房屋的正面边长为，侧面边长为时，房屋总造价最低，为元.【点睛】本题考查基本不等式的应用，在利用基本不等式时，要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.第48页综合运用4.已知、、都是正数，求证：.【解析】，，，由基本不等式可得，，，由不等式的性质可得，当且仅当时等号成立.【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，涉及不等式性质的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题.5.已知，求证：的最大值是.【答案】见解析【解析】，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最大值是.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”条件的成立，考查计算能力，属于基础题.6.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为万元和万元，这家公司应该把仓建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？【答案】【解析】设，，当时，，，，，，，两项费用之和为.当且仅当时，即当时等号成立.即应将这家仓库建在距离车站处，才能使两项费用之和最小，且最小费