湖南省名校大联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

高二数学专版考生注意：1､答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2､回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由复数除法化简复数，即可得对应的点求解.【详解】由可得，故对应的点为，位于第四象限，故选：D2.已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为为椭圆上除左､右顶点外的一动点，则的面积最大为（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根据离心率求出，进而可求，当点A在椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大.【详解】由题可知椭圆的焦点在轴上，，因为椭圆的离心率为，所以，解得，所以，如图所示，当点A与椭圆的上顶点或下顶点重合时，的面积最大，此时的最大面积为，故选：B3.设，直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出的值，再利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解.【详解】因为直线，当时，，此时，即可以推出，当时，，解得或，又时，，此时，所以推不出，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.4.若函数为偶函数，则（）A. B.0 C.1 D.3【答案】B【解析】【分析】根据偶函数的定义求解即可.【详解】因为函数为偶函数，所以，所以，解得，经检验满足题意，故选：B.5.已知点为直线上任意一点，则的最小值是（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】的几何意义为直线上的点到原点的距离，由点到直线的距离公式可得．【详解】点为直线上任意一点，又的几何意义为直线上的点到的距离，故最小值为到直线的距离，即最小值为故选：C．6.如图，在异面直线上分别取点和，使，且，若，则线段的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】过作，过作于，连接，根据条件得到面，从而得到，进而得，在中，利用余弦定理得到，从而可求出.【详解】如图，过作，过作于，连接，因为，所以，又，，面，所以面，又面，所以，又易知，所以，又，所以，在中，，所以，在中，，，所以，又，所以，故选：C.7.已知点为椭圆上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（）A. B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件，设，利用点到直线的距离公式得到，再利用辅助角公式及的性质，即可求解.【详解】由题可设，则点到直线的距离为，其中，所以当时，最小，最小值为.故选：D.8.如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用基底表示出向量，然后求出的模，余弦定理求出的长，在中，利用余弦定理的变形即可求出【详解】如图连接,则由题可知，∴，，，∴，在中,,,中,故选：D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.党的二十大作出“发展海洋经济，保护海洋生态环境，加快建设海洋强国”的战略部署．如图是2018—2023年中国海洋生产总值的条形统计图，根据图中数据可知下列结论正确的是（）A.从2018年开始，中国海洋生产总值逐年增大B.从2019年开始，中国海洋生产总值的年增长率最大的是2021年C.这6年中国海洋生产总值的极差为15122D.这6年中国海洋生产总值的80%分位数是94628【答案】BD【解析】【分析】对A，根据条形图数据可判断；对B，根据数据计算年增长率可判断；对C，计算极差可判断；对D，根据80%分位数概念计算可判断.【详解】对于A，根据条形图数据可以看到2020年较2019年海洋生产总值是下降的，故A错误；对于B，2019年海洋生产总值年增长率是，2020年海洋生产总值年增长率是，2021年海洋生产总值年增长率是，2022年海洋生产总值年增长率是，2023年海洋生产总值年增长率是，故年增长率最大的是2021年，故B正确；对于C，这6年中国海洋生产总值的极差为，故C错误；对于D，将这6年的海洋生产总值按照从小到大排列80010，83415，89415，90385，94628，98537，又，所以这6年中国海洋生产总值的80%分位数是94628，故D正确.故选：BD.10.已知圆与圆相交于两点（点在第一象限），则（）A.直线的方程是B.四点不共圆C.圆的过点的切线方程为D.【答案】AC【解析】【分析】选项A，利用两圆方程相减，即可求解；选项B，联立直线的方程与圆的方程，直接求出，，进而可得中点到四点距离相等，即可求解；选项C，利用选项B中结果，先求出，进而得到切线方程的斜率为，即可求解；选项D，直接求出，，利用余弦定理即可求解.【详解】对于选项A，因为圆与圆，两圆方程相减得到，即直线的方程是，所以选项A正确，对于选项B，由和，解得或，即，，又，所以中点为，则，又，所以到四点距离相等，即四共圆，所以选项B错误，对于选项C，由选项B知，所以，得到圆的过点的切线方程为，整理得到，所以选项C正确，对于选项D，因为，，在中，由余弦定理得，所以选项D错误，故选：AC.11.在正方体中，点满足，其中，则下列说法正确的是（）A.若在同一球面上，则B.若平面，则C.若点到四点的距离相等，则D.若平面，则【答案】BCD【解析】【分析】由题知点在线段上(不包含点)；对于A，若在同一球面上,则此球为正方体的外接球,所以与重合，由此求出的值；对于B，利用线面平行的性质定理得为的中点，据此求值；对于C，点到四点的距离相等,则为正方体外接球的球心,即的中点,据此求值；对于D，若平面,则,由对称性知，所以，进而可得是上靠近的三等分点，据此求值.【详解】因为点满足，所以点在线段上(不包含点).对于A，若在同一球面上，则此球为正方体的外接球，所以与重合，所以，故A错误;对于B，如图1，设的中点为，连接，则平面与平面的交线为直线，要使平面，则需，则为的中点，此时，故B正确;对于C，点到四点的距离相等，则为正方体外接球的球心，即的中点，此时，故正确;对于D，如图2，设正方形的中心为，连接，与交于点，连接易证，所以，所以是上靠近的三等分点，假设正方体的边长，则,如图所示，在平面中，建立如图所示的平面直角坐标系，则,所以,因为，所以，若平面，面，则，由对称性易知，则，从而是上靠近的三等分点，此时，故D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线在轴上的截距为1，则__________.【答案】【解析】【分析】根据条件，利用横截距的定义，即可求解.【详解】因为直线，令，得到，由题有，解得，故答案为：.13.已知，则__________.【答案】##【解析】【分析】用弦切互化的方法即可求解.详解】,故答案为：.14.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为__________.【答案】9【解析】【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义可设，利用待定系数法得的坐标为，即可根据三点共线，结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】令，则．由题意可得圆是关于点，的阿波罗尼斯圆，且，设点坐标为，则，整理得，由题意得该圆的方程为，即所以，解得，所以点的坐标为，所以，当时，此时最小，最小值为，因此当时，的值最小为，故答案为：9【点睛】关键点点睛：根据的形式，设，则，利用阿波罗尼斯圆的定义待定出点，即可利用点到直线的距离求解.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知直线的方程为，直线经过点和.（1）若，求的值；（2）若当变化时，总过定点，求.【答案】（1）或.（2）【解析】【分析】（1）求出直线和的斜率，利用斜率相乘为1求解即可；（2）将直线的方程为进行变形，然后解方程组即可得到直线经过的定点，再利用两点间的距离公式求解即可.【小问1详解】直线经过点和,所以，所以直线的斜率为，因为直线的斜率为，,所以,解得或.小问2详解】直线的方程为可以改写为,由，解得，所以总过定点,根据两点间的距离公式,16.已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若的面积为，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边转角得到，再利用辅助角及特殊角三角函数值，即可求解；（2）根据条件及（1）中结果，得到，利用正弦定理得到，再利用面积公式，即可求解.【小问1详解】由，得到，又，，得到，即，所以，得到，又，所以，所以，解得.【小问2详解】因为，由（1）知，所以，由正弦定理，得到，又，所以，又面积为，所以，整理得到，解得.17.已知圆，点关于直线的对称点为.（1）求的方程；（2）若与圆相交于两点，圆心到的距离为，圆的圆心在线段上，且圆与圆相切，切点在劣弧上，求圆的半径的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用直线与垂直，可得，再利用中点在上，即可求解；（2）根据条件求出，联立直线与圆的方程得到，解得，设出，其中，利用圆与圆的位置关系得到，即可求解.【小问1详解】因为点关于直线的对称点为，所以，得到，又易知中点为，则，解得，所以直线的方程为.【小问2详解】因为圆的圆心为，由题有，解得或，当时，圆，不合题意，所以，圆，即，设，由，消得到，所以，设圆的圆心为，半径为，又圆与圆相切，切点在劣弧上，则，得到，又易知，所以当时，圆的半径最大，最大值为.18.如图，在三棱锥中，分别是棱，上的动点（不含端点），且.（1）证明：平面平面.（2）设，则当为何值时，的长度最小？（3）当的长度最小时，求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）时，的长度最小（3）【解析】【分析】（1）根据，利用线面垂直的判定定理，证得平面进而由面面垂直的判定即可求解；（3）根据线面垂直的性质，结合余弦定理和勾股定理，得到的表达式，即可由二次函数的性质求解最值.（3）建立空间直角坐标系进而求得平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】由于又平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.【小问2详解】作交于，连接，由于平面，故平面，平面，故，，故，，故又易知是等腰直角三角形，由余弦定理可得，故，故当时，此时的最小值为.【小问3详解】由于，故，以为坐标原点，以所在的直线分别为和轴，以过点垂直与平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，当时，分别为的中点，则，，所以，设平面的法向量为，则，即，取，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量为，设平面与平面的所成角为，则，故平面与平面的所成角的余弦值为.19.已知椭圆经过点，且离心率为为坐标原点.（1）求的方程.（2）过点且不与轴重合的动直线与相交于两点，的中点为.（i）证明：直线与的斜率之积为定值；（ii）当的面积最大时，求直线的方程.【答案】（1）（2）①证明见解析；②或..【解析】【分析】（1）根据已知点在椭圆上及离心率列方程组求解可得椭圆方程；（2）设方程，直线与椭