第02讲探索平行线的性质

第02讲探索平行线的性质课前巩固平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.注：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．考点剖析（平行的性质证同位角相等）例1：如图，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握“两直线平行，同位角相等”．根据“两直线平行，同位角相等”即可求解．【详解】解：如图，，，，故选：B．变式11：如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则．

【答案】/40度【分析】根据平行线的性质求得，再根据平角的概念即可求得．【详解】解：如图，

直尺的两边互相平行，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，平角的概念，掌握以上知识是解题的关键．变式12：填空：如图，在四边形中，分别于、相交于点、，，试说明．

解：∵，∴________(____________________)，又∵，∴________(____________________)，∴________(____________________)．【答案】1；2；两直线平行，内错角相等；2；3；两直线平行，同位角相等；1；2；等量代换．【分析】根据平行线的性质和等量代换即可解答．【详解】∵，∴(两直线平行，内错角相等)，又∵，∴(两直线平行，同位角相等)，∴(等量代换)．故答案为：1；2；两直线平行，内错角相等；2；3；两直线平行，同位角相等；1；2；等量代换．【点睛】题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．（平行的性质证内错角相等）例2：如图，由，可以得到（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线的性质即可得到结论，此题考查了平行线的性质，熟知“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．【详解】解：∵，∴，故选：D．变式21：如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线a上，若，则等于．【答案】/50度【分析】本题考查的是平行线的性质以及垂线的定义的运用．先利用余角的性质求得，再根据“两直线平行，内错角相等”可求得的度数．【详解】解：如图，∵直角三角板的直角顶点在直线a上，，∴，∵，∴，故答案为：．变式22：如图，已知，，，问与的关系，并说明理由．【答案】，理由见解析【分析】根据平行线的性质，即可进行解答．【详解】解：∵，与是直线和直线是被直线所截形成的内错角，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．（平行的性质证同旁内角互补）例3：如图，，直线经过点C，已知，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得到，再利用平角解题即可．【详解】解：∵，∴，又∵，∴，∴，故选B．【点睛】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．变式31：如图，直线，被直线所截，，，则的度数为．

【答案】/45度【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，即可解答．【详解】解：，，，故答案为：【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知三个性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．变式32：如图，已知AB∥CD，∠A=60°，∠ECD=120°，求∠ECA的度数．【答案】∠ECA的度数为120°．【分析】利用平行线的性质定理可得∠ACD=120°，易得结果．【详解】解：∵AB∥CD，∠A=60°，∴∠A+∠ACD=180°，∴∠ACD=120°，∵∠ECD=120°，∴∠ECA=360°∠ECD∠ACD=360°120°120°=120°，故∠ECA的度数为120°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握性质定理是解答此题的关键．（平行的性质与判定混合运用）例4：如图，已知，，求证：，请补充完成下面证明过程．

证明：（已知）（①_______）②_______（同角的补角相等）③_______（内错角相等，两直线平行）（④_______）（⑤_______）（已知）（⑥_______）⑦_______（⑧_______）（两直线平行，同位角相等）【答案】①邻补角的定义；②；③；④；⑤两直线平行，内错角相等；⑥等量代换；⑦；⑧同位角相等，两直线平行；【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，先证明，可得，可得，结合，可得，证明，可得．【详解】证明：∵，∵（邻补角的定义），∴（同角的补角相等）．∴（内错角相等，两直线平行）．∴（两直线平行，内错角相等）．又∵（已知），∴（等量代换）﹒∴（同位角相等，两直线平行）．∴（两直线平行，同位角相等）．故答案为：①邻补角的定义；②；③；④；⑤两直线平行，内错角相等；⑥等量代换；⑦；⑧同位角相等，两直线平行．变式41：已知，如图，，，，求的度数.【答案】40度【分析】本题考查了平行线的性质及判定，熟练掌握平行线的性质及判定是解题的关键．由可得，再由，通过角之间的转化，即可求出的度数．【详解】解：又又变式42：如图，在中，、分别是、上的点，、是上的点，连接、、，，．

(1)说明：；(2)若，，说明：是的平分线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先利用平行线的性质及得到与的关系，再利用平行线判定定理说明；（2）利用与的关系先求出，再利用求出，最后说明是的平分线．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）证明：∵，，∴，∵，∴，∴，∴是的平分线．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，掌握“两直线平行，同旁内角互补”、“两直线平行，同位角相等”、“内错角相等，两直线平行”及邻补角的定义是解决本题的关键．过关检测选择题（共6题，每题4分）1．如图，直线，，则A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查平行线的性质，两直线平行内错角相等，即可求得答案．【详解】解：∵，，∴．故选：B．2．如图，直线，若，则是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题主要考查了平行线的性质的运用，利用平行线的性质得出，再利用邻补角的定义得出即可，熟练利用平行线的性质是解题关键．【详解】如图，∵直线，∴，∵，∴，故选：．3．如图，下列条件中，能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理即可作出判断．【详解】解：A.，不能判定，故该选项不正确，不符合题意；B.∵，∴，故该选项正确，符合题意；

C.∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；D.，∴，故该选项不正确，不符合题意；故选：B．4．如图，，EF分别截于点E，F，连结，则下列结论错误的是(

)AIA． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质．利用平行线的性质对各项进行分析即可．【详解】，，，，故A结论正确，不符合题意；，，，故C结论正确，不符合题意；，，，，，故D结论正确，不符合题意；无法求得，故B结论错误，符合题意．故选：B．5．如图，将长方形沿折叠，使点落在点处，点落在边上的点处，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平角的定义可得，再由折叠可知，最后根据平行的性质即可求解．【详解】解：，，由折叠可知，在长方形中，，，故选：D．【点睛】本题考查长方形的折叠，平角的定义，平行的性质，理解折叠性质找到相等的角是关键．6．如图，，平分，平分，，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确结论的个数是（

）．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义．根据平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义进行判断即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，平分，故①正确；∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，故②正确；∵，∴，∴，∵，∴，故③正确；∴，故④正确；综上，①②③④都正确；故选：A．填空题（共8题，每题4分）7．已知，，三点及直线，过点作，过点作，那么，，三点一定在同一条直线上，依据是.【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行【解析】略8．如图，，分别与，相交于点和点，平分，且，则．【答案】/80度【分析】本题考查了平行线的性质，根据，可得；由角平分线可得，据此即可求解．【详解】解：∵，，∴∵平分，∴∵，∴故答案为：9．如图，，若，则．【答案】/度【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等先求出，进而得到．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故答案为：．10．如图，小明从A出发沿北偏东方向行走至B处，又沿北偏西方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是右转°．

【答案】【分析】本题考查了方位角的概念，以及根据平行线的性质求角的度数．求出，根据，即可求解．【详解】解：如图所示：由题意得：，，∵，∴，，∵在C处需把方向调整到与出发时一致，∴，，∴故答案为：．11．如图，，，，，于点，则的度数是．【答案】/27度【分析】本题考查了平行线的性质，过“拐点”作平行线构造截线是解题关键．作，，可推出；根据，可求；根据，可求，据此即可求解．【详解】解：作，，如图所示：∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：12．与的两边分别平行，且的度数比的度数的多，则的度数为．【答案】或【分析】本题考查了平行线的性质，由和的两边分别平行，利用平行线的性质可以得出或结合的度数比度数的多，即可求出的度数.【详解】解：和的两边分别平行，的度数比的度数的多，即将分别代入得：或故答案为：13．一副直角三角尺如图1叠放，现将含的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动，要求两块三角尺的一组边互相平行．如图2，当时，有一组边，再继续转动三角尺的过程中，请你写出符合要求的（）的度数是度．【答案】或或【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．【详解】解：当时，；当时，∵，∴；

当时，∵，∴．

综上所述，的度数为或或；故答案为：或或．14．已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则．【答案】/88度【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；过点、、分别作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解；【详解】过点、、分别作，∵，，平分，平分，，，，，，，故答案为：．解答题（共5题，前三题每题8分，后两题每题10分）15．如图，试说明．【答案】见解析【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质直接证明即可．熟知关于平行线的判定与性质是解本题的关键．【详解】证明：∵，∴，∴，∵，∴，∴．16．如图，平分，，，则也是的平分线，完成下列推理过程．

证明：是的平分线（已知），（）．（已知），（）．（）．又（已知），（）．（）．（）．【答案】角平分线的性质；两直线平行，内错角相等；，等量代换；，，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等等量代换【分析】先利用角平分线定义得到，再根据平行线的性质由得，则，接着由可判断，则利用平行线的性质得，所以，从而得到结论．【详解】证明：是的平分线（已知），（角平分线的性质）．（已知），（两直线平行，内错角相等）．（等量代换）．又（已知），（内错角相等，两直线平行）．（两直线平行，同位角相等）．（等量代换）．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．17．如图，于，点是上任意一点，于，且(1)求证：；(2)求的度数．【答案】(1)见详解(2)【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．（1）由，则，则，从而证得，即；（2）由，即可得到．【详解】（1）∵，（2）∵，18．问题情景：如图1，．(1)观察猜想：若，．则的度数为__________．(2)探究问题：在图1中探究，、与之间有怎样的等量关系？并说明理由．(3)拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时、与之间有怎样的等量关系？并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)，理由见解析【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知两直线平行，内错角相等，两直线平行同旁内角互补是解题的关键．（1）过点P作，则，根据两直线平行，内错角相等得到，则；（2）同（1）求解即可；（3）过点P作，则，根据平行线的性质得到，再证明，即可得到．【详解】（1）解：如图所示，过点P作，∵，，∴，∴，∴，故答案为：；（2）解：，理由如下：如图所示，过点P作，∵，，∴，∴，∴；（3）解：，理由如下：如图所示，过点P作，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．19．已知，如图，与交于点O(1)如图1，若，求证：(2)如图2，若