112与三角形有关的角(讲练)-2022-2023学年八年级数学上册重要考点(人教版)（原卷版）

11.2与三角形有关的角三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．注意：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．题型1：三角形的内角和定理1.△ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C的度数为（）A．80° B．40° C．60° D．50°【变式11】已知一个等腰三角形的顶角为40°，则它的一个底角等于（）A．30° B．70° C．140° D．125°【变式12】如图，将△ABC的BC边对折，使点B与点C重合，DE为折痕，若∠A=65°，∠ACD=25°，则∠B=（）.A．45° B．60° C．35° D．40°三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.注意：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．（3）因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°题型2：三角形的外角性质和外角和2.如图，在△DEF中，点C在DF的延长线上，点B在EF上，且AB∥CD，∠EBA＝60°，则∠E+∠D的度数为（）A．60° B．30° C．90° D．80°【变式21】如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是（）A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1【变式22】如图，已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，求∠BDC的度数．题型3：三角形的内角和定理的应用方程3.在△ABC中，∠A−∠B=∠B−∠C=15°，求∠A、∠B、∠C的度数.【变式31】在△ABC中，∠A=∠B+10°，∠C=∠B－40°，求△ABC的各个内角的度数.【变式32】求出下列图形中的x的值：题型4：三角形的内角和定理的应用三角板4.小明在数学课上，将文具盒中的直角三角板与一直尺放置如图，若测得∠AEF＝50°，那么∠BDA＝（）A．20° B．40° C．50° D．60°【变式41】如图，一副三角板叠在一起，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M，若∠ADF＝95°，则∠BMD为（）A．80° B．85° C．90° D．100°【变式42】将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠a的大小为．题型5：三角形的内角和定理的应用高、角平分线5.如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=34°，∠C=76°，求∠DAF的度数.【变式51】如图，在△ABC中，∠B=32°，∠C=54°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，DF⊥AE于F，求∠ADF．【变式52】（8字模型）如图，已知AB，CD是两条相交线段，连结AD，CB，分别作∠DAB和∠BCD的平分线相交于点P，若∠D=50°，∠B=40°，则∠P的度数为()A．50° B．45° C．40° D．30°题型6：三角形的内角和定理的应用平行线6.已知：如图，AB∥CD，点E在AC上.求证：∠A=∠CED+∠D.【变式61】已知：如图在△ABC中，BD是角平分线，DE//BC，∠A=60°，∠C=80°，求∠BDE的度数.【变式62】如图△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠ADE=155°，求∠B的度数.题型7：三角形的内角和定理的应用多角和7.如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（）A．90° B．180° C．270° D．360°【变式71】如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.【变式72】如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=（）度.A．180 B．270 C．360 D．540题型8：三角形的内角和定理的应用数量关系8.（双外角模型）如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A=40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．（1）求∠E的度数．（2）请猜想∠A与∠E之间的数量关系，请说明理由．【变式81】定义：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.试解答下列问题：（1）在图1中，∠A、∠B、∠C、∠D之间的关系为.（2）如图2，在（1）的结论下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于点M、N.①仔细观察，在图2中有个以线段AD为边的“8字形”；②若∠D＝40°，∠B＝36°，试求∠P的度数（请说明理由）；③∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系，不需说明理由.题型9：三角形的内角和定理的应用新定义9.定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值k(k>1)称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC中，∠A=36°,则它的优美比k为（）A．32 B．2 C．52 【变式91】定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”如果一个“特征三角形”的一个内角为48°，那么这个“特征角”α的度数为．【变式92】三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的3倍，我们把这个三角形叫做“三倍角三角形”．在一个“三倍角三角形”中有一个内角为60°，则另外两个角分别为．直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.注意：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.题型10：直角三角形的性质10.若三角形三个内角度数之比为2：3：7，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【变式101】一副直角三角板，按如图方式叠放在一起，其中∠A=45°，∠D=30°，若DF//BC，则∠AGE等于度.【变式102】两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M，BC∥EF，求∠BMD的度数．【变式103】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAE＝∠B+30°，求∠AEB的度数.题型11：直角三角形的判定11.在下列条件：①∠A−∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=2：3：5；③∠A−90°=∠B；④2∠A=2∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式111】在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式112】如图，AB、ED分别垂直于BD，点B、D是垂足，且∠ACB＝∠CED．求证△ACE是直角三角形．一、单选题1．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若∠A=40°，∠C=35°，则∠BED=（）A．70° B．75° C．80° D．85°2．在△ABC中，∠A:∠B:∠C＝2:3:4，则∠B等于（）A．45° B．60° C．75° D．80°3．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则∠α等于（）

A．30° B．45° C．60° D．75°4．在ΔABC中，若∠B,∠C都是锐角，则ΔABC是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．以上都有可能5．将一副三角板按如图的方式摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为()A．80° B．60° C．105° D．75°6．如图，AB=AC，AF∥BC，∠FAC=75°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°7．三角形三个内角的度数分别是（x+y）°，（xy）°，x°，且x＞y＞0，则该三角形有一个内角为（）A．30° B．45° C．90° D．60°二、填空题8．在△ABC中，∠A=60∘，∠C=2∠B，则∠C=9．如图，△ABC中，∠A=50°，点D、E分别在AB、AC上，则∠1+∠2+∠3+∠4=10．如图，l∥m，∠1＝120°，∠A＝55°，则∠ACB的大小是．11．如图，在ΔABC中，点D、E分别在AB、BC上，且DE//AC，∠A=80o，∠BED=5512．如图，在△ABC中，∠A=α，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得A2；⋯；三、解答题13．如图，△ABC与△DBE中，AC∥DE，点B、C、E在同一直线上，AC，BD相交于点F，若∠BDE=85°，∠BAC=55°，∠ABD：∠DBE=3：4，求∠DBE的度数．14．如图，B村在A