专题111有理数中规律和新定义综合应用的六大题型（沪科版）

专题1.11有理数中规律和新定义综合应用的六大题型【沪科版】考卷信息：本套训练卷共36题，共六大题型，每个题型6题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对有理数中规律和新定义综合应用的六大题型的理解！【题型1数列型规律探究】1．（2023春·山东济宁·六年级统考期末）如图，将大小相同的小圆规律摆放：第1个图形有5个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有11个小圆，…依此规律，第n个图形的小圆个数是（

）A．3n-2个 B．3n+2个 C．5【答案】B【分析】观察图形的变化先计算出前几个图形的小圆的个数，进而可得第n个图形的小圆个数．【详解】解：观察图形的变化可知：第1个图形有5个小圆，即5=2×1+3，第2个图形有8个小圆，即8=2×2+3+1第3个图形有11个小圆，即11=2×3+3+2⋯依此规律，第n个图形的小圆个数是：2n+故选：B．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是先计算出前几个图形的小圆的个数，找到规律．2．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（）A．253 B．255 C．257 D．259【答案】C【分析】从特殊出发，归纳得到一般规律即可完成．【详解】解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1；2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1；3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，9＝23+1；……n个小时后细胞存活的个数是2n+1，当n＝8时，存活个数是28+1＝257．故选：C．【点睛】本题考查了乘方的应用，根据前几个的情况得出一般规律是解决问题的关键．3．（2023春·河北保定·七年级统考期末）如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，由此规律最后一个三角形中，y的值是（

）A．380 B．382 C．384 D．386【答案】B【分析】根据已知图形得出下面的数字是左边数字与左边数加1的乘积与2的和，据此可得答案．【详解】解：由4＝1×2+2，8＝2×3+2，14＝3×4+2，22＝4×5+2，得到规律：下面的数字是左边数字与左边数加1的乘积与2的和，y＝19×20+2＝382，故选：B．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出右边数字是左边数字与1的和，下面数字是上面两个数字乘积与2的和．4．（2023春·全国·七年级期末）如图，在数轴上，点A表示数1,现将点A沿数轴作如下移动，第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，…，按照这种移动规律进行下去，第2021A．-3029 B．-3032 C．-3035【答案】B【分析】从A的序号为奇数的情形中，寻找解题规律求解即可.【详解】∵A表示的数为1，∴A1=1+（3）×1=2∴A2=2+（3）×（2）=4∴A3=4+（3）×3=5=2+（3∴A4=5+（3）×（4）=7∴A5=7+（3）×（5）=8=2+（3）×2∴A2021=-故选B.【点睛】本题考查了数轴上动点运动规律，抓住序号为奇数时数的表示规律是解题的关键.5．（2023春·江西上饶·七年级校考期中）把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），(2，3，4)，(5，6，7，8，9)，(10，11，12，13，14，15，16)，…，现用等式AM=(i，j)表示正整数M是第i组第j个数(从左往右数)，如A8=(3，4)，则A2020=()A．(44，81) B．(44，82) C．(45，83) D．(45，84)【答案】D【分析】根据排列规律，先判断2020在第几组，再判断是这一组的第几个数即可求解；【详解】设2020在第n组，组与组之间的数字个数规律可以表示为：2n1则1+3+5+7+⋅⋅⋅+(2n1)=12×2n×n=n当n=44时，n2=1936当n=45时，n2∴2020在第45组，且20201936=84，即2020为第45组的第84个数；故选：D．【点睛】本题考查数字类的规律探究、有理数的加法运算，善用联想探究数字规律是解决此类问题的常用方法；6．（2023春·湖南永州·九年级校考期中）观察下列算式发现规律：71=7，72=49，73=343，74=2401，75【答案】1【分析】根据7的指数从1到5，末位数字从7，9，3，1，7进行循环，再用2020除以4得出余数，再写出72020个位数字．【详解】解：∵71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，上述的几个式子，易知1次方为末位数字是7，2次方末位数字是为9，3次方末位数字是为3，4次方末位数字是为1，5次方末位数字是为7，∴个位数字的变化是以7，9，3，1为周期，即周期为4，∵2020÷4=505，∴72020的个位数字为1，故答案为：1．【点睛】此题主要考查了尾数特征，观察出结果个位数字的特点是解本题的关键．【题型2裂差型规律探究】1．（2023春·浙江杭州·七年级期末）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的矩形，接着把其中一个面积为12的矩形等分成两个面积为14的矩形，再把其中一个面积为14的矩形等分成两个面积为1【答案】511【分析】根据题意及图形可得12=112，12+14=114，12+14【详解】解：由图及题意可得：12=112，12+14=114，12+14依此规律可得：1+12+故答案为：511256【点睛】本题主要考查有理数的加减，关键是根据题意及图形得到规律，然后进行求解即可．2．（2023春·福建泉州·七年级福建省惠安第一中学校联考期中）观察下列等式：第1个等式：a1=11×3=第3个等式：a3=15×7=…请回答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5=_________=（2）用含n的代数式表示第n个等式：an=_________=_________(n（3）求a1（4）求15×10【答案】（1）19×11=12×19-111；（2【分析】（1）根据前面4个等式找到规律即可得出第5个等式；（2）由题意可知：分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，可以拆成分子是1，分母是以这两个奇数为分母差的一半，由此得出答案即可；（3）依照上述规律，相加后，采用拆项相消法即可得出结果；（4）模仿上述规律，相加后，采用拆项相消法即可得出结果．【详解】解：(1)1(2)1(3)a=1=1=2018(4)1=1=1=1=403【点睛】本题考查的是有理数运算中的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法，并运用运算规律解决问题”是解题的关键．3．（2023春·北京·七年级景山学校校考期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：①|7＋2|＝；②|－12＋15|＝（2）用简单的方法计算：|13－12|＋|14－13|＋|15－14|＋……＋【答案】（1）①7+2；②12-15【分析】（1）①②根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值是其相反数可得答案；（2）根据绝对值的性质化简，再相互抵消可得答案．【详解】解：（1）①∵7+2>0∴|7＋2|＝7+2；②∵-12∴|－12＋15|＝（2）原式＝12-=12＝20194042【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键．4．（2023春·河北保定·七年级校联考期中）观察下列各式：---……(1)按照上述规律，第4个等式是：________________________________(2)第n个等式是：________________________(3)运用你发现的规律计算：-(4)-1×【答案】(1)-(2)-(3)-(4)-【分析】（1）按照上面计算方法计算即可得出答案；（2）根据题目规律可发现，-1（3）按（2）的公式运算即可得出答案；（4）由规律式子变形，中间部分互相抵消，只剩首项和尾项，即可算出答案．【详解】（1）-1（2）-1（3）-1（4）原式=-1+1【点睛】本题考查找规律，抽象概括出规律并能计算是解题的关键．5．（2023春·河南新乡·七年级校考期中）（1）121212猜想：12（2）根据上面的规律，解答下列问题：①计算：1②将2020减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14……，依次类推，最后减去余下的【答案】（1）13；14；15；1n+1；（2【分析】（1）约分计算即可求解；（2）①先算括号里面的减法，再约分计算即可求解；②根据题意列出算式2020×(1-1【详解】解：（1）1212112故答案为：13；14；15（2）①(=-=-1②依题意有：2020×(1-=2020×=1．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，第（2）问根据题意列出算式是解本题的关键．6．（2023春·浙江金华·七年级统考期中）我们知道：1-12=21×2-11×2=11×2；12-13根据上面的规律，解答下列问题：(1)11×2+(2)计算：11×5(3)计算：11×4×7【答案】(1)6(2)25(3)101【分析】（1）根据规律，裂项相减即可求解；（2）每项提出14（3）每项提出16【详解】（1）解：1=1-=1-=（2）解：原式===1（3）解：原式==1【点睛】本题考查了有理数的加减运算，有理数的乘法运算，根据题意，找到规律是解题的关键．【题型3新定义型规律探究】1．（2023春·四川成都·七年级校考期中）已知：C32=3×21×2=3，C53【答案】165【分析】对于Cab(b<a)来讲，等于一个分式，其中分母是从1到b的b【详解】解：∵C 32=3×21×2∴C故答案为：165．【点睛】此题考查了数字的变化规律，利用已知得出分子与分母之间的规律是解题关键．2．（2023春·全国·七年级期末）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f(1)=0，f(2)=1，f(3)=2，f（2）f(12)=2，f(13利用以上规律计算：f(12008【答案】1【分析】直接利用运算公式化简，即可得出答案．【详解】解：f=20082007=1，故答案为：1．【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，数字变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．3．（2023春·江西宜春·七年级统考期中）对于正数x，规定fx=x1+x，例如：f2=2f12019+f1【答案】2018【分析】按照定义式f(x)=【详解】f=1=(=2018+=2018故答案为：2018【点睛】本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键．4．（2023春·山西临汾·七年级校联考期中）探究规律，完成相关题目．老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”然后老师写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：(+5)※(+2)=+(|5|+|2|)=+7；(-3)※(-5)=+(|3|+|5|)=+8；(-3)※(+4)=-(|3|+|4|)=-7；(+5)※(-6)=-(|5|+|6|)=-110※(+8)=8；(-6)※0=6．小明看了这些算式后说：“我知道老师定义的※（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？(1)归纳※（加乘）运算的运算法则．两数进行※（加乘）运算时，运算法则是：；特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算运算法则是：．(2)计算：①(-5)※0※(-3)②(-4)※3※【答案】(1)两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加；0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）都等于这个数的绝对值(2)①-8；②【分析】（1）归纳总结得到加乘法则，写出即可；（2）各式利用得出的法则计算即可求出值．【详解】（1）两数进行※（加乘）运算时，运算法则是：两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加；特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算运算法则是：0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）都等于这个数的绝对值；（2）①根据题中的新定义得：(-5)※=(-5)※3=-(5+3)=-8；②根据题中的新定义得：(-4)※3=-7※15=-(7+15)=-22．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．5．（2023春·重庆潼南·七年级统考期末）阅读材料，探究规律，完成下列问题．甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：(+2)*(+3)=+5；(-1)*(-9)=+10；(-3)*(+6)=-9；(+4)*(-4)=-8；0*(+1)=1；0*(-7)=7．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”(1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子：(-2)*(-7)=；(+4)*(-3)=；0*(-5)=．请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则：两数进行*（加乘）运算时，．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，．(2)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）【答案】(1)+9-75同号得正，异号得负，并把绝对值相加(2)加乘运算满足交换律，不满足结合律，举例见解析.【分析】（1）根据题干提供的运算特例的运算特点分别进行计算，再归纳可得：加乘运算的运算法则；（2）对于加乘运算的交换律，可举例(-3)*(-5),(-5)*(-3),进行运算后再判断，对于加乘运算的结合律，可举例[0*(-3)]*(-5),0*[(-3)*(-5)],进行运算后再判断即可【详解】（1）解：根据加乘运算的运算法则可得：(-2)*(-7)=+9；(+4)*(-3)=-7；0*(-5)=5．归纳可得：两数进行*（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，等于这个数的绝对值．（2）解：加法的交换律仍然适用，例如：(-3)*(-5)=8,(-5)*(-3)=8,所以(-3)*(-5)=(-5)*(-3),故加法的交换律仍然适用．加法的结合律不适用，例如：[0*(-3)]*(-5)=3*(-5)=-8,0*[(-3)*(-5)]=0*(+8)=8,所以[0*(-3)]*(-5)≠0*[(-3)*(-5)],故加法的结合律不适用．【点睛】本题考查的是新定义运算，同时考查的是有理数的加法运算，绝对值的含义，理解新定义，归纳总结运算法则是解本题的关键.6．（2023春·北京房山·七年级统考期末）将n个互不相同的整数置于一排，构成一个数组．在这n个数字前任意添加“+”或“”号，可以得到一个算式．若运算结果可以为0，我们就将这个数组称为“运算平衡”数组．（1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算；1

2

3

4

=（2）若数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，则m的值可以是多少？（3）若某“运算平衡”数组中共含有n个整数，则这n个整数需要具备什么样的规律？【答案】（1）是，+123+4=0；（2）m=±1，±3，±9，±11；（3）这n个整数互不相同，在这n个数字前任意添加“+”或“”号后运算结果为0．【分析】（1）根据“运算平衡”数组的定义即可求解；（2）根据“运算平衡”数组的定义得到关于m的方程，解方程即可；（3）根据“运算平衡”数组的定义可以得到n个数的规律．【详解】解：（1）数组1，2，3，4是“运算平衡”数组，+123+4=0；（2）要使数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，有以下情况：1+4+6+m=0；1+4+6+m=0；14+6+m=0；1+46+m=0；1+4+6m=0；14+6+m=0；1+46+m=0；1+4+6m=0；146+m=0；14+6m=0；1+46m=0；146+m=0；14+6m=0，1+46m=0，146m=0；146m=0；共16中情况，经计算得m=±1，±3，±9，±11；（3）这n个整数互不相同，在这n个数字前任意添加“+”或“”号后运算结果为0．【点睛】本题考查了新定义问题，理解“运算平衡”数组的定义是解题关键．【题型4含n2型规律探究】1．（2023春·全国·七年级期末）观察下列等式：（1）1（2）1（3）1（4）1……根据此规律，第10个等式的右边应该是a2，则a的值是（

A．45 B．54 C．55 D．65【答案】C【分析】根据所给的算式，探索其底数之间的关系，根据规律解答即可.【详解】其底数之间的关系为：（1）1=1（2）1+2=3（3）1+2+3=6（4）1+2+3+4=10……（10）1+2+3+…+10=55故选：C【点睛】本题考查的是探索数字之间的规律，关键是要善于观察，抓住其底数之间的关系.2．（2023·浙江嘉兴·七年级校联考期中）数列：0，2，4，8，12，18，…是我国的大衍数列，也是世界数学史上第一道数列题．该数列中的奇数项可表示为n2-1如：第一个数为12-12=0，第二个数为现在数轴的原点上有一点P，依次以大衍数列中的数为距离向左右来回跳跃．第1秒时，点P在原点，记为P1；第2秒时，点P向左跳2个单位，记为P2，此时点P2所表示的数为2；第3秒时，点P向右跳4个单位，记为P3，此时点P3所表示的数为2；…按此规律跳跃，点P20表示的数为．【答案】110【分析】通过总结规律和数轴上表示即可求解.【详解】第1秒时，点P在原点，记为P1；第2秒时，点P向左跳2个单位，记为P2，此时点P2所表示的数为2；第3秒时，点P向右跳4个单位，记为P3，此时点P3所表示的数为2；第4秒时，点P向左跳8个单位，记为P4，此时点P3所表示的数为6；第5秒时，点P向右跳12个单位，记为P5，此时点P4所表示的数为6；第6秒时，点P向左跳18个单位，记为P6，此时点P5所表示的数为12；第7秒时，点P向右跳24个单位，记为P7，此时点P6所表示的数为12；通过规律得出以0为轴左右两边的绝对值相等，符号相反，只要求出一边即可得出结论，通过秒数为奇数1对应0，3对应2，5对应6，7对应12，以此推类得出奇数所对应的数值为n2-12，将P21代入得110答案为110.【点睛】本题主要考查了规律和数轴，正确找出规律是关键.3．（2023春·广东珠海·八年级校联考期末）观察下列式子：0×2+1＝12……①1×3+1＝22……②2×4+1＝32……③3×5+1＝42……④……（1）第⑤个式子，第⑩个式子；（2）请用含n（n为正整数）的式子表示上述的规律，并证明：（3）求值：（1+11×3）（1+12×4）（1+13×5）（1+14×6）…【答案】（1）4×6+1＝52，9×11+1＝102；（2）（n﹣1）（n+1）+1＝n2；（3）20171009【分析】(1)观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方；（2）根据（1）中发现的规律解答即可；（3）先通分，然后根据（2）中结论解答即可.【详解】解：（1）第⑤个式子为4×6+1＝52，第⑩个式子9×11+1＝102，故答案为4×6+1＝52，9×11+1＝102；（2）第n个式子为（n﹣1）（n+1）+1＝n2，证明：左边＝n2﹣1+1＝n2，右边＝n2，∴左边＝右边，即（n﹣1）（n+1）+1＝n2．（3）原式＝1×3+11×3×2×4+12×4×3×5+1=22＝2×2017＝20171009【点睛】本题考查了规律型数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．4．（2023春·四川乐山·七年级统考期中）(1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来：1﹣1(1+11﹣1(1+1﹣1(1+1﹣1(1+(2)观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳得出：1﹣1n2(3)利用上述规律计算下式的值：(1122)×(1132)×(114【答案】(1)见解析；(2)(1+1n)(1-1【分析】（1）根据有理数的乘法和乘方运算分别计算结果可得；（2）根据以上表格中的计算结果可得；（3）根据以上规律，将原式裂项、约分即可得．【详解】(1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来：1﹣1(1+1﹣1(1+1﹣1(1+1﹣1(1+(2)观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳得出：1-1n2故答案为(1+1(3)原式=(1+12)(112)×(1+13)(113)×(1+14)(114)×…×(1+199=12×32×23×43×34×5=12×=101200【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘法和乘方运算法则及数字的变化规律．5．（2023春·河南郑州·七年级郑州外国语中学校考期中）阅读探究：12=1×2×36；12+(1)根据上述规律，求12(2)你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）；(3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：112【答案】(1)55(2)1(3)780【分析】（1）仿照阅读材料中的方法计算即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）原式利用得出的规律计算即可求出值．【详解】（1）12+22+（2）12（3）112+122+132【点睛】此题考查了有理数的混合运算及算式规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（2023春·北京·七年级北京四中校考期中）阅读材料．我们知道，1+2+3+…+n=nn+12，那么12+22+32在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和为n+n+n+…+n，即n2．这样，该三角形数阵中共有nn+12个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n2）=，因此，12+22+32+…+n2=．【解决问题】根据以上发现，计算：12+22+【答案】2n+1，nn+12n【分析】根据图1和图2，归纳总结得到一般性规律，利用此规律确定出所求即可．【详解】解：【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均2n+1；由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n2）=nn+12n+12；因此，12+22+3【解决问题】根据以上发现，计算：：12+2故答案为2n+1；nn+12【点睛】此题考查了有理数的混合运算，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【题型5定义两个数的运算】1．（2023春·天津·七年级校考期末）现定义运算“*”，对于任意有理数a，b满足a*b＝2a-b,a≥ba-2b,a<b．如5*3＝2×5﹣3＝7，A．4 B．11 C．4或11 D．1或11【答案】A【分析】对x的取值分为两种情况，当x≥3和x＜3分类求解，得出符合题意得答案即可.【详解】当x≥3，则x*3＝2x﹣3＝5，x＝4；当x＜3，则x*3＝x﹣2×3＝5，x＝11，但11＞3，这与x＜3矛盾，所以此种情况舍去．∴若x*3＝5，则有理数x的值为4，故选：A．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解题目中运算规则是解题的关键．2．（2023春·重庆万州·七年级统考期末）定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b=2a-3b等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：2⊗(-3)=2×2-3×(-3)=4+9=13A．-2 B．-18 C．-28【答案】D【分析】根据新运算的运算法则，先计算3⊗-2，再计算【详解】解：由题意，得：3⊗-∴-1故选D．【点睛】本题考查定义新运算．理解并掌握新运算的运算法则，是解题的关键．3．（2023春·浙江台州·七年级校考期中）定义：对于任意的有理数a，ba