湖南省长沙市2023-2024学年高一下学期期末调研数学试卷

湖南省长沙市20232024学年高一下学期期末调研数学试卷（含答案）一、单选题1．若复数是纯虚数，则实数a的值为（

）A．0 B．1 C．1 D．2．已知一组数据4，8，9，3，3，5，7，9，则（

）A．这组数据的上四分位数为8 B．这组数据没有众数C．这组数据的极差为5 D．这组数据的平均数为63．已知，为实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．在三角形中，，则（

）A．10 B．22 C． D．5．已知，则（） B. C. D.6．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图池盆几何体是一个刍童，其中上，下底面均为正方形，且边长分别为8和4，侧面是全等的等腰梯形，且梯形的高为，则该盆中最多能装的水的体积为（

）A． B． C． D．4487．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，且，则不等式在上的解集为（

）A． B．C． D．8．在中，，为外心，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，则（

）A．直线与是异面直线B．直线与所成的角是C．直线平面D．平面截正方体所得的截面面积为.10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．C．直线为图象的一条对称轴D．将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的图象11．已知函数其中，且，则（

）A． B．函数有2个零点C． D．三、填空题12．数据的方差为1，则数据的方差为．13．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥为阳马，侧棱底面为棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为.14．设定义在上的函数的值域为A，若集合A为有限集，且对任意，存在，使得，则满足条件的集合A的个数为．四、解答题15．某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中的值；(2)求理科综合分数的中位数；16．已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根.(1)设满足方程，求；(2)设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.17．已知函数．(1)若，求不等式的解集；(2)若，恒成立，求实数m的取值范围．18．如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，，是圆柱的两条母线．(1)求证：平面；(2)若，，圆柱的母线长为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．19．已知函数为偶函数．(1)求的值；(2)若，判断在的单调性，并用定义法给出证明；(3)若在区间上恒成立，求的取值范围．参考答案：1．A【分析】根据纯虚数的概念列方程求解.【详解】根据题意，复数是纯虚数，所以且，解得.故选：A2．D【分析】根据给定条件，结合上四分位数、众数、极差、平均数的意义依次判断即得.【详解】对于A，给定数据由小到大排列为3，3，4，5，7，8，9，9，而，所以这组数据的上四分位数为，A错误；对于B，这组数据的众数是3和9，B错误；对于C，这组数据的极差为6，C错误；对于D，这组数据的平均数为，D正确.故选：D3．A【分析】利用不等式的等价思想，作差分析，结合充分性与必要性进行推理即可.【详解】由，得，所以，充分性成立；由，得，不妨取满足不等式，所以推不出，从而得不到，必要性不成立.故选:A.4．B【分析】根据数量积的运算律计算即可.【详解】.故选：B.5．【答案】B【解析】【分析】利用正弦函数图象的对称性得，再根据诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果.【详解】因为，所以，即，，所以.故选：B6.B【分析】根据题意可知，这个刍童为棱台，求出棱台的高，再根据棱台的体积公式即可得出答案.【详解】根据题意可知，这个刍童为棱台，如图，为垂直底面的截面，则棱台的高为，所以该几何体的体积为，即该盆中最多能装的水的体积为.故选：B.7．B【分析】由函数的图象向右平移1个单位长度，作出函数在上的图象，结合图象，即可求解.【详解】因为函数是定义在R上周期为4的奇函数，且，所以当时，；当时，，所以；当时，，所以，函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位长度得到，作出函数在上的图象，如图所示．由图可知不等式在上的解集为．故选：B．8．A【分析】根据三角形外心性质及数量积的几何意义，可得在方向上的投影向量为，从而求得，再根据余弦定理及基本不等式可求得最值．【详解】由O为△ABC外心，可得在方向上的投影向量为，则，故，又，设，则，当且仅当时等号成立，由可知，，故的最大值为．故选：A．9．ABD【分析】根据异面直线成角，线面垂直的判定定理，梯形面积公式逐项判断即可.【详解】对于A，由于平面，平面，故直线与是异面直线，故A正确；对于B，如图，连接，因为分别为棱的中点，所以，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，又因为是等边三角形，所以直线与所成的角为，故直线与所成的角是，故B正确；对于C，如图，假设直线平面，又因为平面，所以，而，这三边不能构成直角三角形，所以与不垂直，故假设错误，故C错误；对于D，如图，连接，因为，所以，所以平面截正方体所得的截面为梯形，且，所以梯形的高为，所以截面面积为，故D正确.故选：ABD.10．ACD【分析】根据函数的图象，求得，可得判定A正确，B不正确，再结合三角函数的性质，以及三角函数的图象变换，可判定C、D正确.【详解】由函数的图象，可得，可得，则，又由，所以，又由，即，因为，所以，可得，所以，所以A正确；B不正确；对于C中，由为函数的最大值，所以直线为图象的一条对称轴，所以C正确；对于D中，将图象上的所有点向左平移个单位长度，可得，所以D正确.故选：ACD.11．ACD【分析】先作出函数图象，结合图象逐一判定即可.【详解】解：，故A正确；作出函数的图象如图所示，观察可知，，而，故，有3个交点，即函数有3个零点，故B错误；由对称性，，而，故，故C正确；b，c是方程的根，故，令，则，故，而，均为正数且在上单调递增，故，故D正确，故选：ACD.12．4【分析】直接利用方差公式求解即可.【详解】设的平均数为，则的平均数为，所以的方差为：.故答案为：4.13．/【分析】首先证明平面，再根据线面角的定义，即可作出线面角的平面角，再计算这个平面角的大小.【详解】因为平面ABCD，平面ABCD，故可得，又，，平面，故平面，连接，故即为所求直线与平面所成角.由，故在直角三角形中，，故，则，则直线CE与平面PAD所成角的余弦值为，故答案为：.14．5【分析】根据题意，得到A中最大元素不超过1，最小元素不小于，再跟进集合元素的个数，分类讨论，结合集合中元素的性质，即可求解.【详解】解：若A中最大元素为大于1的元素为a，则，不满足题意，故A中最大元素不超过1，同理可得A中最小元素不小于，若集合A中只有一个元素a，则，可得或，所以或，若集合A中有两个元素，则或，当时，可得（舍去）或，此时，可得，所以；当时，，所以，可得，截得，所以，所以或（舍去），所以；若集合A中有三个元素，则或或，当时，或（舍），此时，，，所以，或，解得，，（舍去），当时，，，可得，，所以，，即，其集合A中有四个或四个以上元素，则由上推导可得，，，矛盾，即此时A无解．综上，所满足条件的集合A可以为，共5个．故答案为：5．15．(1)(2)224【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解得即可；（2）首先判断中位数在内，再设出未知数，列出方程，解得即可.【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得：.（2）由于，，因此理科综合分数的中位数在内，设中位数为，由，解得，∴月平均用电量的中位数为224.16．(1)或(2)【分析】（1）设出的代数形式根据复数相等可得答案；（2）求出与的坐标，根据向量夹角为钝角列出的不等式可得答案.【详解】（1）不妨设，则，因为满足方程，所以，可得，所以，解得，所以，或；（2）设，则，因为复数所对的向量分别是与，所以，，可得，，若向量与的夹角为钝角，则，且，即，且，解得，，实数的取值范围是.17．(1)(2)【分析】（1）变形得到，结合得到，求出解集；（2）换元后得到对任意恒成立，由基本不等式求出最小值，得到答案.【详解】（1）当时，可得，即，整理为，因为，所以，解得，所以不等式的解集为；（2）因为，令，可得，由，可得，，恒成立，即对任意恒成立，又因为，当且仅当，即时取等，所以，即实数m的取值范围为．18．(1)证明见解析；(2)【分析】（1）先证明线面垂直，通过线面垂直得到线线垂直，再证线面垂直，最后得到面面垂直即可；（2）先作出底面的垂线，再由垂足作两个面的交线的垂线，最后连接交线的垂足与斜足构成二面角的平面角求解即可.【详解】（1）因为是底面的一条直径，是下底面圆周上异于的动点，所以，又因为是圆柱的一条母线，所以底面，而底面，所以，因为平面，平面，且，所以平面，又因为，所以平面平面；（2）如图所示，过作圆柱的母线，连接，因为底面//上底面，所以即求平面与平面所成锐二面角的大小，因为在底面的射影为，且为下底面的直径，所以为上底面的直径，因为是圆柱的母线，所以平面，又因为为上底面的直径，所以，而平面，所以为平面与平面所成的二面角的平面角，又因为在底面射影为，所以，，所以，又因为母线长为，所以，又因为平面，平面，所以，所以,所以，即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.19．(1)(2)单调递增，证明见解析(3)【分析】（1）根据，得到方程，求出；（2）先得到，定义法判断函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论；（3）参变分离得到，构造，换元后