山东省聊城市高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题

山东省聊城市2018届高三第一次模拟考试数学试题（文科）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】.故选A.2.设复数，则（）A.4B.2C.D.1【答案】C【解析】,故选C.3.设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】,故公差.故选B.4.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】不妨设两条直角边为,故斜边,即大正方形的边长为,小正方形边长为,故概率为.5.设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由得,故是递增数列,反之也成立,所以为充要条件.选C.6.已知直线与抛物线：相交于，两点，若线段的中点为，则直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】设,代入抛物线得,两式相减得,即,即直线的斜率为,由点斜式得,化简得,故选D.7.已知函数，不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由于,所以函数为奇函数,且为单调递增函数,故,所以,故选A.8.已知双曲线：的右焦点到渐近线的距离为4，且在双曲线上到的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线的左焦点的距离为（）A.2B.4C.6D.8【答案】D【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为,所以.双曲线上到的距离为2的点有且仅有1个,即双曲线右顶点到右焦点的距离为,故,由于,解得,右顶点到左焦点的距离为,故选D.9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1.5，则输入的值应为（）A.4.5B.6C.7.5D.9【答案】B【解析】,判断是,,判断是,,判断是,,判断否,输出,故选B.10.在中，边上的中线的长为2，，则（）A.1B.2C.2D.1【答案】C【解析】,故选C.11.如图是某几何体的三视图，其中俯视图为等边三角形，正视图为等腰直角三角形，若该几何体的各个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积与该几何体的体积的比为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】设底边长和高为,则三棱锥的体积为.底面外接圆半径,故几何体外接球的半径为,体积为.故比值为.故选C.12.已知函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】,在上单调递减.若,则在上递增,那么零点个数至多有一个,不符合题意,故.故需当时,且,使得第一段有一个零点,故.对于第二段,,故需在区间有两个零点,,故在上递增,在上递减,所以,解得.综上所述,【点睛】本小题主要考查函数的图象与性质,考查含有参数的分段函数零点问题的求解策略,考查了利用导数研究函数的单调区间,极值,最值等基本问题.其中用到了多种方法,首先对于第一段函数的分析利用了分离常数法,且直接看出函数的单调性.第二段函数利用的是导数来研究图像与性质.13.设，满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】4【解析】,画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最大值为.[点睛]本小题主要考查线性规划的基本问题,考查了指数的运算.画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤：①画出直线（有等号画实线，无等号画虚线）；②当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断；③确定要画不等式所表示的平面区域.14.已知数列的前项和公式为，若，则数列的前项和__________．【答案】【解析】依题意得,故,所以是首项为,公比为的等比数列,故.[点睛]已知数列的前项和，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用求出；(2)用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．15.已知，，，则的最小值为__________．【答案】【解析】由得,故.16.若函数在开区间内，既有最大值又有最小值，则正实数的取值范围为__________．【答案】【解析】,其中,,故,解得,故,解得.17.在中，角，，所对的边分别为，，，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）已知，的面积为，求的周长.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】【试题分析】(I)利用正弦定理和三角形内角和定理化简已知,可求得的值,进而求得的大小.(II)利用余弦定理和三角形的面积公式列方程组求解的的值,进而求得三角形周长.【试题解析】（Ⅰ）由及正弦定理得，，，∴，又∵，∴.又∵，∴.（Ⅱ）由，，根据余弦定理得，由的面积为，得.所以，得，所以周长.18.为促进农业发展，加快农村建设，某地政府扶持兴建了一批“超级蔬菜大棚”.为了解大棚的面积与年利润之间的关系，随机抽取了其中的7个大棚，并对当年的利润进行统计整理后得到了如下数据对比表：大棚面积（亩）4.55.05.56.06.57.07.5年利润（万元）677.48.18.99.611.1由所给数据的散点图可以看出，各样本点都分布在一条直线附近，并且与有很强的线性相关关系.（Ⅰ）求关于的线性回归方程；（Ⅱ）小明家的“超级蔬菜大棚”面积为8.0亩，估计小明家的大棚当年的利润为多少；（Ⅲ）另外调查了近5年的不同蔬菜亩平均利润（单位：万元），其中无丝豆为：1.5，1.7，2.1，2.2，2.5；彩椒为：1.8，1.9，1.9，2.2，2.2，请分析种植哪种蔬菜比较好？参考数据：，.参考公式：，.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）大约为11.442万元.（Ⅲ）种植彩椒比较好.【解析】【试题分析】(I)利用回归直线方程计算公式计算出回归直线方程.(II)将代入求得当年利润的估计值.(III)通过计算平均数和方差比较种植哪种蔬菜好.【试题解析】（Ⅰ），，，，，那么回归方程为：.（Ⅱ）将代入方程得，即小明家的“超级大棚”当年的利润大约为11.442万元.（Ⅲ）近5年来，无丝豆亩平均利润的平均数为，方差.彩椒亩平均利润的平均数为，方差为.因为，，∴种植彩椒比较好.19.如图，四棱锥中，为等边三角形，且平面平面，，，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【试题分析】(I)取的中点为，连接，.利用等腰三角形的性质和矩形的性质可证得,由此证得平面,故,故.(II)可知是棱锥的高,利用体积公式求得,利用勾股定理和等腰三角形的性质求得的值,进而求得面积.【试题解析】证明：（Ⅰ）取的中点为，连接，，∵为等边三角形，∴.底面中，可得四边形为矩形，∴，∵，∴平面，∵平面，∴.又，所以.（Ⅱ）由面面，，∴平面，所以为棱锥的高，由，知，，∴.由（Ⅰ）知，，∴..由，可知平面，∴，因此.在中，，取的中点，连结，则，，∴.所以棱锥的侧面积为.20.已知圆经过椭圆：的两个焦点和两个顶点，点，，是椭圆上的两点，它们在轴两侧，且的平分线在轴上，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）证明：直线过定点.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）直线过定点.【解析】【试题分析】(I)根据圆的半径和已知,故,由此求得椭圆方程.(II)设出直线的方程,联立直线方程与椭圆方程,写出韦达定理,写出的斜率并相加,由此求得直线过定点.【试题解析】（Ⅰ）圆与轴交点即为椭圆的焦点，圆与轴交点即为椭圆的上下两顶点，所以，.从而，因此椭圆的方程为：.（Ⅱ）设直线的方程为.由，消去得.设，，则，.直线的斜率；直线的斜率..由的平分线在轴上，得.又因为，所以，所以.因此，直线过定点.[点睛]本小题主要考查椭圆方程的求解,考查圆与椭圆的位置关系,考查直线与圆锥曲线位置关系.涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断.（2）弦长、弦中点问题.（3）轨迹问题.（4）定值、最值及参数范围问题.（5）存在性问题.常用思想方法和技巧有：（1）设而不求.（2）坐标法.（3）根与系数关系.21.已知函数（，且）.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求函数在上的最大值.【答案】（Ⅰ）的单调增区间为，单调减区间为.（Ⅱ）当时，；当时，.【解析】【试题分析】(I)利用的二阶导数来研究求得函数的单调区间.(II)由（Ⅰ）得在上单调递减，在上单调递增，由此可知.利用导数和对分类讨论求得函数在不同取值时的最大值.【试题解析】（Ⅰ），设，则.∵，，∴在上单调递增，从而得在上单调递增，又∵，∴当时，，当时，，因此，的单调增区间为，单调减区间为.（Ⅱ）由（Ⅰ）得在上单调递减，在上单调递增，由此可知.∵，，∴.设，则.∵当时，，∴在上单调递增.又∵，∴当时，；当时，.①当时，，即，这时，；②当时，，即，这时，.综上，在上的最大值为：当时，；当时，.[点睛]本小题主要考查函数的单调性,考查利用导数求最大值.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．..................22.选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的普通方程为.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出圆的参数方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与轴和轴的交点分别为、，为圆上的任意一点，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）圆的参数方程为（为参数）.直线的直角坐标方程为.（Ⅱ）.【解析】【试题分析】(I)利用圆心和半径,写出圆的参数方程,将圆的极坐标方程展开后化简得直角坐标方程.(II)求得两点的坐标,设点，代入向量,利用三角函数的值域来求得取值范围.【试题解析】（Ⅰ）圆的参数方程为（为参数）.直线的直角坐标方程为.（Ⅱ）由直线的方程可得点，点.设点，则..由（Ⅰ）知，则.因为，所以.23.选修45：不