专题6.3 等比数列及其前n项和（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题6.3等比数列及其前n项和【十一大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1等比数列的基本量运算】 4【题型2等比数列的性质及应用】 5【题型3等比数列的判定与证明】 5【题型4等比数列的通项公式】 5【题型5等比数列中的单调性与最值问题】 6【题型6等比数列前n项和的性质】 6【题型7等比数列的简单应用】 7【题型8等比数列的奇偶项讨论问题】 8【题型9等差数列与等比数列的综合应用】 9【题型10等比数列中的不等式恒成立、有解问题】 10【题型11与等比数列有关的新定义、新情景问题】 111、等比数列及其前n项和考点要求真题统计考情分析(1)通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义(2)掌握等比数列前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系(3)能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题(4)体会等比数列与指数函数的关系2022年新高考全国Ⅱ卷：第17题，10分2023年新高考Ⅱ卷：第8题，5分2023年全国乙卷（理数）：第15题，5分2023年全国甲卷（理数）：第5题，5分2024年新高考Ⅱ卷：第19题，17分2024年北京卷：第5题，5分等比数列是高考的热点内容，属于高考的常考内容之一.从近几年的高考情况来看，等比数列的基本量计算和基本性质、等比数列的中项性质、判定是高考考查的热点，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；等比数列的证明、求和及综合应用是高考考查的重点，一般出现在解答题中，难度中等.去年高考压轴题中出现数列的新定义、新情景题，综合性强，难度大，需要灵活求解.【知识点1等比数列及其前n项和】1．等比数列的概念文字

语言一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)符号

语言在数列{}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{}为等比数列，常数q称为等比数列的公比递推

关系或2．等比中项如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.

若G是a与b的等比中项，则，所以=ab，即G=.3．等比数列的通项公式若等比数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是=(,q≠0).4．等比数列的单调性已知等比数列{}的首项为，公比为q，则

(1)当或时，等比数列{}为递增数列；

(2)当或时，等比数列{}为递减数列；

(3)当q=1时，等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)；

(4)当q<0时，等比数列{}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号).5．等比数列的性质设{}为等比数列，公比为q，则

(1)若m+n=p+q，m,n,p,q，则.

(2)若m,n,p(m,n,p)成等差数列，则成等比数列.

(3)数列{}(为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；

数列{}是公比为的等比数列；

数列{}是公比为的等比数列；

若数列{}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列.

(4)在数列{}中，每隔k(k)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为.

(5)在数列{}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为(或)的等比数列.

(6)若数列{}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列.6．等比数列的前n项和公式若等比数列{}的首项为，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为

=.7．等比数列前n项和的性质已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质：

(1).

(2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为.

(3)若{}共有2n(n)项，则=q；

若{}共有(2n+1)(n)项，则=q.【知识点2等比数列的基本运算的解题策略】1．等比数列基本量的运算的求解思路：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解.【知识点3等比数列的判定方法】1．证明数列是等比数列的主要方法：(1)定义法：（常数）为等比数列；(2)中项法：为等比数列；(3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列；证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2．在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证.【知识点4等比数列及其前n项和的性质及应用】1．等比数列的性质：等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形；三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.2．等比数列的单调性与最值问题涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.【知识点5等比数列前n项和的函数特征】1．Sn与q的关系(1)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，由此可见，数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤立的点；(2)当公比q=1时，等比数列的前n项和公式是，则数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤立的点.2．Sn与an的关系当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数.【方法技巧与总结】1．等比数列{}的通项公式可以写成，这里c≠0，q≠0.2．等比数列{}的前n项和Sn可以写成(A≠0，q≠1,0).3．设数列{}是等比数列，Sn是其前n项和.(1).(2)若，则成等比数列.(3)若数列{}的项数为2n，则；若项数为2n+1，则.【题型1等比数列的基本量运算】【例1】（2024·安徽滁州·三模）已知an是单调递增的等比数列，a4+a5=24,a3a6=128，则公比q的值是（

）A．2 B．−2 C．3 D．−3【变式1-1】（2024·广东广州·三模）等比数列an满足a1+a3=10，A．14 B．12 C．1【变式1-2】（2024·广东·模拟预测）已知正项等比数列an的前n项和为Sn，若S4S2A．12 B．22 C．2 【变式1-3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知等比数列an的前n项和为Sn，且S3=14,aA．1 B．23或-1 C．−23 【题型2等比数列的性质及应用】【例2】（2024·宁夏石嘴山·三模）已知数列an是等比数列，且a2a3aA．1 B．2 C．3 D．4【变式2-1】（2024·海南·模拟预测）已知等比数列an的公比为3,a2+aA．20 B．24 C．28 D．32【变式2-2】（2024·河南驻马店·二模）设等比数列an的前n项之积为Sn，若S3=1，S9=512，则A．2 B．4 C．8 D．16【变式2-3】（2024·四川巴中·模拟预测）在等比数列an中，a1+a3=2，A．3 B．6 C．9 D．18【题型3等比数列的判定与证明】【例3】（2024·浙江·三模）已知数列an满足a1=2，则“an为等比数列”是“am⋅aA．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件【变式3-1】（2024·陕西西安·模拟预测）等差数列an的前项n和为Sn，且an∈NA．数列2an一定是等比数列 B．数列C．数列Snn一定是等差数列 D．数列【变式3-2】（2024·宁夏银川·二模）已知数列{an}满足a1=1A．{an+3} B．{an−3}【变式3-3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知“正项数列an满足an+1⋅an=4A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【题型4等比数列的通项公式】【例4】（2024·全国·一模）等比数列an中，a1=1，a5=−8a2A．(−2)n−1 B．−(−2)n−1 C．(−2)【变式4-1】（23-24高三下·青海玉树·阶段练习）已知Sn为数列an的前n项和，若an+1=2aA．an=3n−4 B．an【变式4-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知在递增的等比数列an中，a1a2a3=1，【变式4-3】（2024·北京·三模）已知等比数列an满足：a2<an<a【题型5等比数列中的单调性与最值问题】【例5】（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知数列an是无穷项等比数列，公比为q，则“q>1”是“数列an单调递增”的（A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【变式5-1】（2024·四川自贡·三模）等比数列an公比为qq≠1，若Tn=a1a2aA．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【变式5-2】（23-24高二下·北京顺义·期中）数列{an}是等比数列，则对于“对于任意的m∈N∗，an+2A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要【变式5-3】（2024·上海闵行·二模）已知数列an为等比数列，首项a1>0，公比q∈A．数列an的最大项为a1 B．数列aC．数列anan+1为严格递增数列 【题型6等比数列前n项和的性质】【例6】（2024·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列an中，Sn为其前n项和，若S30=7S10，A．10 B．20 C．30 D．40【变式6-1】（2024·湖南邵阳·模拟预测）记Sn为公比小于1的等比数列an的前n项和，S3=2，S12A．6 B．3 C．1 D．1【变式6-2】（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列an有2n+1项，a1=1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n=A．2 B．3 C．4 D．5【变式6-3】（2024·江苏·三模）设等比数列an的前n项和为Sn,a5A．1 B．4 C．8 D．25【题型7等比数列的简单应用】【例7】（2024·云南昆明·模拟预测）每年6月到9月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某种单瓣荷花的花期为3天（第四天完全凋谢），池塘内共有2000个花蕾，第一天有10个花蕾开花，之后每天花蕾开放的数量都是前一天的2倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（

）A．6 B．7 C．8 D．9【变式7-1】（2024·云南昆明·一模）第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的.如图所示，作Rt△ AOB，OA=1，∠AOB=30°，再依次作相似三角形△ BOC，△ COD，△

A．32233C．3223【变式7-2】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2023年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2023年到2032年该产品的销售总额约为（参考数据：1.310≈13.79）（A．3937万元 B．3837万元C．3737万元 D．3637万元【变式7-3】（2023·陕西安康·模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第五天走的里程数约为（

）A．2.76 B．5.51 C．11.02 D．22.05【题型8等比数列的奇偶项讨论问题】【例8】（2024·陕西安康·模拟预测）记Sn为数列an的前n项和，已知(1)求an(2)若bn=(−1)nan+【变式8-1】（2024·湖南长沙·三模）若各项均为正数的数列cn满足cncn+2−cn+12=k(1)求an(2)设bn=an,n为奇数b【变式8-2】（2024·云南昆明·三模）正项数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn(1)求数列an(2)已知数列cn满足cn=bn⋅a【变式8-3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知在正项数列an中，a3=4,(1)求数列an(2)若数列bn满足bn=an+(−1)【题型9等差数列与等比数列的综合应用】【例9】（2024·四川绵阳·三模）已知首项为1的等差数列an满足：a(1)求数列an(2)若数列bn满足：a1bn+a2【变式9-1】（2024·天津·高考真题）已知an是等差数列，a(1)求an的通项公式和i=(2)设bn是等比数列，且对任意的k∈N*，当2（Ⅰ）当k≥2时，求证：2k（Ⅱ）求bn的通项公式及前n【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列an的前n项和为Sn，a1+a2+3(1)求数列an(2)设bn=an⋅3a【变式9-3】（2023·天津滨海新·三模）设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列．且a1=b1(1)求an，b(2)记Tn为bn的前n项和，求证：(3)若cn=an+1⋅b【题型10等比数列中的不等式恒成立、有解问题】【例10】（2024·广西桂林·三模）已知数列an的前n项和为Sn，且(1)求数列an(2)设bn=nan，且数列bn的前n项和为Tn，若【变式10-1】（23-24高二下·湖北·期中）已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=2an−2.数列bn的前(1)求数列an(2)若cn=anbn，设数列cn的前n【变式10-2】（2024·湖南·二模）已知an是各项都为正数的等比数列，数列bn满足：bn=2log(1)求数列an(2)若对任意的n∈N*都有2λa【变式10-3】（2024·天津红桥·一模）已知Sn为数列an的前n项和，且满足Sn=2a(1)求数列an(2)设bn=(−1)n+1Snr【题型11与等比数列有关的新定义、新情景问题】【例11】（2024·全国·模拟预测）约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数mm≠0所得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数.设正整数a共有k个正约数，即为a1，(1)若a=8，求k的值；(2)当k≥4时，若ak−a(3)记A=a1a【变式11-1】（2024·福建泉州·模拟预测）若无穷数列an满足：对于∀n∈N*，an+12(1)若一个公比为q的等比数列xn为“P数列”，求q(2)若a1=1，p=2，yn是首项为1，公比为3的等比数列，在yk与yk+1之间依次插入数列a(3)若一个“P数列"an满足a1=2,a2=22,an>0，设数列1an【变式11-2】（2025·甘肃张掖·模拟预测）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1,2,3经过第一次“和扩充”后得到数列1,3,2,5,3；第二次“和扩充”后得到数列1,4,3,5,2,7,5,8,3．设数列a,b,c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为Pn，所有项的和为S(1)若a=2,b=3,c=4，求P2(2)求不等式Pn(3)是否存在数列a,b,ca,b,c∈R，使得数列S【变式11-3】（2024·广东广州·模拟预测）若无穷项数列an满足an+1=an+d，nt∉N∗，qa(1)设d=1，q=1，若首项为1的数列an为“M3数列”，求(2)若首项为1的等比数列bn为“Mt数列”，求数列bn的通项公式及前n(3)设d=1，q=2，若首项为1的数列cn为“M5数列”，记数列cn的前n项和为Tn，求所有满足一、单选题1．（2024·山东淄博·二模）已知等比数列an,aA．8 B．±8 C．10 D．±102．（2024·陕西安康·模拟预测）已知等比数列an的各项均为负数，记其前n项和为Sn，若S6−SA．－8 B．－16 C．－32 D．－483．（2024·陕西西安·三模）已知Sn是等比数列an的前n项和，a1+a4+A．12 B．14 C．16 D．184．（2024·江西·二模）已知数列an的首项a1为常数且a1≠23，an+1A．−23,C．0,23 5．（2023·贵州遵义·模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（

）A．10×8585+C．10×8585−6．（2024·广东东莞·模拟预测）等差数列an和等比数列bn都是各项为正实数的无穷数列，且a1=b1，a2=b2，an的前nA．an是递增数列 B．bC．Sn>T7．（2024·北京西城·二模）已知{ an }是无穷等比数列，其前n项和为Sn， a 1A．( −3 ,1 ) B．[8．（2024·陕西商洛·模拟预测）设等比数列an的前n项和为Tn，前n项积为Kn，若K7>A．a8=1 B．对任意正整数nC．K10>K6二、多选题9．（2024·广西·模拟预测）若数列anbn满足an+1=2an+bnA．aB．aC．i=1D．若an+λ10．（2024·江西·模拟预测）已知数列a的前n项和为Sn,aA．aB．数列a2kC．aD．Sn≤50的最大整数11．（2024·湖南益阳·三模）已知an是等比数列，Sn是其前n项和，满足a3A．若an是正项数列，则aB．SnC．若存在M>