专题6.4 数列的通项公式的求法（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题6.4数列的通项公式的求法【十二大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1观察法】 3【题型2定义法】 5【题型3由an与Sn的关系求通项】 7【题型4累加法】 9【题型5累乘法】 11【题型6构造法】 13【题型7由等差数列的通项公式求数列通项】 16【题型8由等比数列的通项公式求数列通项】 18【题型9周期数列的通项问题】 21【题型10正负、奇偶讨论型求通项】 23【题型11双数列的通项问题】 26【题型12特殊数列求通项】 301、数列的通项公式的求法考点要求真题统计考情分析(1)了解数列的通项公式和递推关系(2)掌握求数列的通项公式的常用方法2022年新高考全国I卷：第17题，10分2023年新高考I卷：第20题，12分2023年新高考Ⅱ卷：第18题，12分2023年全国甲卷（理数）：第17题，12分2024年全国甲卷（文数）：第17题，12分2024年全国甲卷（理数）：第18题，12分数列是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，数列的通项公式的求解是高考考查的热点，主要以解答题的形式考查，一般出现在第一小问中，难度不大；有时也会出现在选择题、填空题中，与函数、不等式等综合考查；数列的通项公式的求法多种多样，需要灵活求解.【知识点1数列的通项公式】1．数列的通项公式如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.2．数列的递推公式(1)递推公式的概念如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.(2)对数列递推公式的理解①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.

②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.

③用递推公式求出一个数列，必须给出：基础——数列{}的第1项(或前几项)；

递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示.【知识点2数列的通项公式的常见求法】1．观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项.2．定义法：已知数列的通项公式的类型，对于含参的通项公式，根据数列的定义结合已知条件，求出通项公式中的参数，从而得到此数列的通项.3．公式法：由an与Sn的关系求通项：(1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式.(2)Sn与an关系问题的求解思路方向1：利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn，Sn-1的关系式，再求解.方向2：利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.4．累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.5．累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项.6．构造法：①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.②形如an+1=pan+qn+c的数列，引入参数x，y，构造新的等比数列{}.③形如an+1=pan+qn的数列，两边同除以qn+1，构造新的数列{}.④形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.7．等差数列的通项公式法：(1)如果给定的数列是等差数列，求出首项和公差，直接利用等差数列的通项公式求解；(2)如果给定的数列可以构造出等差数列，先求出构造的等差数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式.8．等比数列的通项公式法：(1)如果给定的数列是等比数列，求出首项和公比，直接利用等比数列的通项公式求解；(2)如果给定的数列可以构造出等比数列，先求出构造的等比数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式.【题型1观察法】【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）数列1,−22,12,−24,14,⋯的一个通项公式为（

A．−12n−1 B．−22n【解题思路】观察每项的特点，分别确定项的符号以及每一项的联系，即可找出数列的通项公式.【解答过程】通过观察这一列数发现，奇数项为正，偶数项为负，故第n项的正负可以用(−1)n+1而1=2故数列的通项可为−1n+1故选：D.【变式1-1】（2024·吉林·三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（

）A．22 B．24 C．25 D．26【解题思路】根据观察归纳出an=n【解答过程】设该数列为an当n为奇数时，a所以an当n为偶数时，a所以an所以a25故选:B.【变式1-2】（23-24高二上·山西晋城·阶段练习）数列−2,4,−263,20,⋯A．an=−1C．an=−1【解题思路】利用检验法，由通项公式验证是否符合数列的各项结合排除法即可.【解答过程】选项A：a3选项B：a2选项C：a2而选项D中的通项公式满足数列−2,4,−26故选：D.【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，3,6,10等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（

）A．778 B．779 C．780 D．781【解题思路】根据给定图形信息，利用归纳法求出六边形数形成数列的通项公式，即可求出要求的项.【解答过程】六边形数从小到大排成一列，形成数列{a依题意，a1=1=1×1,a所以a20故选：C.【题型2定义法】【例2】（23-24高二下·全国·课后作业）已知数列an中，a1=3，a10=21(1)求an的通项公式，并求a(2)若bn是由a2,【解题思路】（1）设an=kn+bk≠0（2）写出a2【解答过程】（1）设an=kn+bk≠0,则k+b=3,∴an=2n+1n∈（2）∵a2,∴归纳bn的一个通项公式为b【变式2-1】（23-24高二上·河南周口·阶段练习）在数列an中，已知an=(1)求通项公式an(2)求证：an【解题思路】（1）根据数列an的通项将n=2,n=3分别代入可计算出a=3,b=2，可求得通项公式；（2）根据递增数列的定义，由a【解答过程】（1）由an=an2a2b+1=6因此an所以，数列an的通项公式为（2）根据递增数列的定义可知，an+1即an+1故an【变式2-2】（23-24高三下·新疆·阶段练习）已知f(x)是对数函数且图象过点5,12，数列a(1)求数列an(2)记数列an的前n项和为Sn，若Sm【解题思路】（1）先求出对数函数f(x)的解析式，根据an（2）根据数列前n项和公式求出Sn=−log5n+1，从而得出S【解答过程】（1）设对数函数f(x)=logax(a>0且a≠1)，因为f(x)所以loga5=12又数列an满足a所以an（2）由（1）得anS==−log因为n∈N∗，所以因为Sm≥2m∈N∗所以m的最小值为24.【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）定义数列“从第二项起，若数列an的每一项与前一项的平方差为同一常数d，则称数列an为等平方差数列，d叫作此数列的公平方差．”已知数列an为“等平方差数列”，且a(1)判断满足条件的数列an(2)求正项数列an【解题思路】（1）根据“等平方差数列”的定义求出an（2）判断an【解答过程】（1）根据“等平方差数列”的定义，及a1=1，得a5即9=1+4d，解得d=2．依题意，得an所以an所以满足条件的数列an（2）因为an所以由（1）得an因为an所以an<a【题型3由an与Sn的关系求通项】【例3】（2024·四川·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，若Sn=2A．an=1C．an=(−2)【解题思路】由an【解答过程】Sn=2n−1−当n≥2,a所以数列an的通项公式为a故选：D.【变式3-1】（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列{an}的前n项和Sn=A．an=n+1 C．an=2n+1 【解题思路】当n=1时，求得a1；当n≥2时，根据an=【解答过程】当n=1时，a1当n≥2时，an经验证，a1=2故选：D.【变式3-2】（2024·陕西·模拟预测）已知数列an满足k=1nak2k−1A．2024 B．2023 C．4047 D．4048【解题思路】利用数列的通项和前n项和公式求解.【解答过程】解：由题意可得a1当n=1时，a1当n≥2时，a1两式相减得an2n−1=1综上所述，a所以a2024故选：C．【变式3-3】（2024·四川·三模）已知数列an满足2a1+2A．an=1,n=1C．an=n 【解题思路】由题中等式，可得2nan=n⋅2n−【解答过程】当n=1时，有2a所以a1当n≥2时，由2a1+两式相减得2n此时，an=n+1所以an的通项公式为a故选：B.【题型4累加法】【例4】（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在数列an中，a1=1，an+1=A．1n B．2n−1n C．n−1n【解题思路】根据数列的递推公式可得an+1【解答过程】由题意可得an+1所以当n≥2时，a2−a1=1−12上式累加可得，a=1−1又a1=1，所以当n=1时，a1所以an故选：B.【变式4-1】（23-24高二上·北京·阶段练习）在数列an中，a1=2,an+1A．2+nlnn C．2+lnn 【解题思路】采用累加法化简可求an【解答过程】因为a1=2,aan−an−1=lnn累加得：an−a故选：C.【变式4-2】（2024·云南红河·一模）已知数列an满足：a1=9,an+1A．21 B．23 C．25 D．27【解题思路】应用累加法求数列通项公式，再求出对应项.【解答过程】由题设an−an−1=2(n−1)累加可得an−a1=2(n−1+⋯+2+1)=n(n−1)显然a1=9也满足上式，所以故选：A.【变式4-3】（23-24高二上·浙江温州·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的1，5，12，22称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作an，下列不是数列an的项的是（A．35 B．70 C．145 D．170【解题思路】根据已知得出的前几项，进而得出递推公式an=1,n=1an−1+3n−2,n≥2.根据累加法求得通项公式为【解答过程】由已知可得，a1=1，a2=5=a所以，an当n≥2时，累加法求和如下a1a2a3⋯an两边同时相加可得，a1整理可得，an对于A项，令3n2−n2=35可得，3所以，a5对于B项，令3n2−n2=70可得，3所以，a7对于C项，令3n2−n2=145可得，3所以，a10对于D项，令3n2−n2=170可得，3所以，170不是数列an故选：D.【题型5累乘法】【例5】（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知a1=2，an=naA．n B．n+1 C．2n D．n+1【解题思路】根据题意可得an+1【解答过程】解：由an=na即an+1则anan−1=nn−1，由累乘法可得ana1=n，因为故选：C．【变式5-1】（23-24高二下·河南·期中）已知数列an满足a1=13，an=2n−32n+1an−1A．14n2C．12n−12n+3 【解题思路】直接利用累乘法的应用求出数列的通项公式．【解答过程】解：数列{an}满足a整理得anan−1=2n−32n+1，所有的项相乘得：an整理得：an故选：A．【变式5-2】（2024·吉林长春·一模）设数列an的前n项和为Sn，且a1=1，SnA．13n−1 C．6(n+1)(n+2) D．【解题思路】由已知可得出Sn+nan=2(n+1)an=(n−1)【解答过程】因为Sn+nan为常数列且当n≥2时，Sn−1①−②得：(n+1)an=(n−1)从而a2a1当n=1时，上式也成立．故选：B.【变式5-3】（23-24高三下·全国·阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，a2=4，SnA．an=2nn∈C．an=n+2n∈【解题思路】令n=2可求得a1的值，再令n≥2，由2Sn=n+1an【解答过程】因为数列an的前n项和为Sn，a2∴当n=2时，S2当n≥2时，由2Sn=两式相减得2an=∴a故选：A.【题型6构造法】【例6】（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项和S(1)求an(2)证明：a1【解题思路】（1）利用Sn和a（2）利用2k【解答过程】（1）因为Sn令n=1得S1=2a当n≥2时，Sn−1由①−②得an即a又a1所以数列an故an+1=2（2）因为ak当n=1时，a1当n≥2时，a==2综上，a1【变式6-1】（2024·陕西西安·一模）已知数列an的前n项和为Sn，a1(1)求数列an(2)设bn=an2+3【解题思路】（1）利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得Sn=n（2）由（1）知bn【解答过程】（1）根据题意，n+1Sn=n由于S11=a1所以Snn=1+当n≥2时，an验证n=1时a1=1满足通项公式，故数列{a（2）由（1）知bn设−1nn2的前n项和为AA==1+2+3+4+⋅⋅⋅+n−1当n为奇数时，An设−3n的前n项和为Bn，则因为Tn=【变式6-2】（2024高三下·四川成都·专题练习）已知数列an的前n项和为Sn，且满足(1)求证：数列an(2)已知bn=n2−a【解题思路】（1）由an与S（2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．【解答过程】（1）当n=1时，a1=2a当n≥2时，由Sn=2a两式相减得an=2a又因为a1−2=−3，所以an−2是首项为（2）由（1）知，an所以bn数列bn的前n项和为T可得2T两式相减得−T所以Tn【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且(1)求数列an(2)求证：−3【解题思路】（1）借助Sn与an的关系消去Sn（2）借助裂项相消法求和，由0<1【解答过程】（1）当n=1时，2S由2Sn=则2S化简得n+1an+1−n+2a所以an+1n+2−则an因为a12−所以an（2）因为an=−2n+1，所以S所以1S1+由1n+1+1n+2随故−3即−3【题型7由等差数列的通项公式求数列通项】【例7】（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知数列an满足a1=1，且点((1)求数列an(2)数列{anan+1}前n项和为Tn，求能使Tn【解题思路】（1）由题设易得1a（2）对数列{anan+1}的通项分析可通过裂项相消法求前n项和T【解答过程】（1）点(1an+1,1a所以数列1an是以首项为1故1an=1+2（2）an+1a所以T即Tn=12(1−13故要使Tn<3m−12对n∈N*恒成立，需使3m−12≥又m∈Z，所以m【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且a1=−2，(1)求数列an(2)若an+1≤2k⋅3a【解题思路】（1）利用退一相减法可得数列an（2）代入，分离参数可得k≥3n−82×3n，再设bn【解答过程】（1）由已知Sn+1则当n≥2时，Sn①−②得an+1即an所以数列an是以−2为首项，1所以an（2）由（1）得an即不等式n−2≤2k⋅3n所以k≥3n−8设bn又bn+1所以当n≤3时，bn+1−bn>0所以当n≤4时，数列bn单调递增，当n≥4时，数列b所以bn所以k≥2即实数k的最小值为282【变式7-2】（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知等差数列an满足a6+(1)求an(2)记Tn为数列an前n项的乘积，若a1【解题思路】（1）利用a6+a（2）根据（1）中结果并结合题意进行分情况讨论，从而求解.【解答过程】（1）设an的公差为d，由a6+由a1,a4,a5由2a1+11d=4d2所以：an的通项公式为an=2（2）因为a1<0，所以：得：当n≤5时，an<0；当n≥6时，从而T1又因为：T2=a1a故Tn的最大值为945【变式7-3】（2023·河南·三模）已知数列an的前n项和为Sn，a1(1)求数列an的通项a(2)设bn=an+22n+2⋅【解题思路】（1）先将题目中的表达式边同时除以nn+1可证得Snn是以a11=1为首项，（2）先求出bn【解答过程】（1）因为2nSn+1−2(n+1)所以2Sn+1n+1所以Snn是以a1所以Snn=1+当n≥2时，an当n=1时，a1所以an（2）由（1）可得，bn=a则TT=1【题型8由等比数列的通项公式求数列通项】【例8】（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且(1)求数列an(2)设bn=3n(n+2)an，数列b【解题思路】（1）利用an（2）利用裂项相消法求和，然后观察可证明不等式.【解答过程】（1）当n=1，由S1=3当n≥2时，Sn所以an=3(2n−1)因为n≥2，所以ann=3⋅an−1所以an则ann=3×（2）由（1）知bnT=1因为n∈N∗，所以【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）记Sn为数列an的前n项和，已知(1)证明数列an+1是等比数列，并求(2)若bn=nn+1Sn+n+2【解题思路】（1）首先根据2an−Sn为等差数列求其通项公式，然后利用an与Sn（2）首先根据（1）求得Sn=2n+1−n−2，代入求得b【解答过程】（1）由题意得2a1−所以2a②－①，得2an+1−2所以an+1又a1+1=2≠0，所以所以数列an所以an+1=2（2）由（1）知，Sn=2解法一：bn+1当n=1时，bn+1−bn>0，即b1<当n≥3时，bn+1−bn<0，即b所以数列bn的最大项为b2和b3解法二：bn+1令bn+1bn>1，解得n<2；令bn+1bn因为bn>0，所以b1所以数列bn的最大项为b2和b3【变式8-2】（2024·全国·模拟预测）已知数列an的首项a1=1(1)证明an−3(2)是否存在正整数m，使得对任意的正整数n，am+a【解题思路】（1）由已知可得an+1−32(n+1)+14（2）假设am+an=am+n成立，由（1）可得(−1)m+(−1)n【解答过程】（1）由an+1+a所以an+1−3故a1−3所以an+1所以an−3故an−3（2）由（1）可得an=am+n假设am则(−1)m+(−1)化简得(−1)m可知当m为正偶数，即m=2k,k∈N∗时，（*）式对任意的正整数因此，存在正整数m，当m=2k，k∈N∗时，对任意的正整数【变式8-3】（2024·江西南昌·二模）已知数列an的前n项和为Sn，且满足(1)当k=2时，求S10(2)若k=52，设bn【解题思路】（1）由等差数列定义得出an（2）由定义证明数列bn【解答过程】（1）当k=2时，有an即an+2−a因为a1=1,a所以S10（2）由已知，an+2所以an+2−2a且b1=a2−2所以bn【题型9周期数列的通项问题】【例9】（2024高三·全国·专题练习）已知数列an满足a1=2，anan+1+an−an+1+1=0A．数列an是周期数列 B．C．S2024>T【解题思路】先将递推关系式进行转化，得到an+1=1+an1−an，由a1=2，计算得到【解答过程】选项A：易知an≠1，由an又a1=2，计算得a2=−3，a3因此an选项B：由A知，a2024选项C，D：由周期性，得S2024T2024=T故选：ABD.【变式9-1】（23-24高二下·山东淄博·期中）数列an的前n项和为Sn，且满足a1=1，A．a3=12 B．an是周期数列 【解题思路】依次取n=1,n=2,n=3⋯,n=6即可验证A项和B项的正确与否，再根据周期性可判断C项是否正确，最后根据周期性和分组求和法可判断D项是否正确.【解答过程】由题意，数列an满足a1=1当n=1时，a2=2a1=2当n=3时，a4=2a3=1当n=5时，a6=2a5=2；当n归纳可得数列an又由a2022因为a1+a故选：ABC．【变式9-2】（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知函数f(x)=x+12,x≤122x−1,12<x<1x−1,x≥1A．该数列是周期数列且周期为3 B．该数列不是周期数列C．a2023+a2024【解题思路】根据函数f(x)的解析式，求出数列an的前面的项，找到数列的项出现的规律，即可判断A，B；结合数列的项的规律求出a【解答过程】由题意知a1=73，故a4=f13=a7∴数列an从a3开始每3项，即但前2项和后面项并不重复，故数列ana2020a2020故选：BC．【变式9-3】（2024·重庆长寿·模拟预测）已知Sn是an的前n项和a1=2，A．a2021=2 C．a3na3n+1a3n+2=1【解题思路】推导出an+3【解答过程】因为a1=2，an=1−1an−1以此类推可知，对任意的n∈N∗，a2021S2021a3n故选：AC.【题型10正负、奇偶讨论型求通项】【例10】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列an的前n项和为Sn,(1)求S9(2)求数列an【解题思路】（1）根据an,Sn的关系，化为（2）由递推关系可得an+2−a【解答过程】（1）因为Sn所以Sn+2两式相减，得an+2所以S=3+4×3+9（2）由（1）知an+2可得an+a因为a1所以a2=5，又所以a又由①②得an+2所以a2n=a则当n≥3，且为奇数时，an又a1=3,a【变式10-1】（2024·河北沧州·三模）已知数列an满足anan+12(1)求数列an(2)设bn=an−1an+1，数列【解题思路】（1）由数列的递推公式，利用累乘法即可求解；（2）对Sn【解答过程】（1）∵anan+12∴an+1a当n=2k−1，k∈N*时，a3a1当n=2k，k∈N*时，a4a2综上所述，数列an的通项公式为a（2）∵b∴S又∵0<1∴n−2<S【变式10-2】（2024·陕西安康·模拟预测）记Sn为数列an的前n项和，已知(1)求an(2)若bn=(−1)nan+【解题思路】（1）根据题意，化简得到Sn+1n+1−Snn=1（2）由（1）得到，当n为奇数时，bn=1−2n；当n为偶数时，bn【解答过程】（1）解：由nSn+1−n+1S又由a1=1，所以S1所以Snn=1+当n≥2时，Sn−1=(n−1)又当n=1时，a1所以an的通项公式为a（2）由（1）可知当n为奇数时，bn当n为偶数时，bn所以T==2n+23=2n+8×【变式10-3】（2024·湖南长沙·三模）若各项均为正数的数列cn满足cncn+2−cn+12=k(1)求an(2)设bn=an,n为奇数b【解题思路】（1）利用“比差等数列”的定义可得an+2an+1−a可得an+1an（2）分n为奇数与偶数两种情况求解可得数列bn的前n项和S【解答过程】（1）由an得an从而an+2设dn=a所以数列dn因为d1所以dn因此，dn=d所以an是首项为58，公比为因此an（2）当n为偶数时，S=2×5当n为奇数时，Sn综上，Sn【题型11双数列的通项问题】【例11】（2024·重庆九龙坡·三模）已知Sn是等差数列an的前n项和，S5=a11=20(1)求数列an和b(2)设cn=Snb【解题思路】（1）根据等差数列的通项及前n项和公式求出首项与公差，即可求出数列an的通项公式，再求出数列bn的首项与公比，即可得（2）先求出cn【解答过程】（1）设等差数列an的公差为d则S5=5a所以an设等比数列bn的公比为q则b1q2所以bn（2）由（1）得Sn则cncn+1当n=1,2时，cn+1当n=3时，cn+1当n≥4时，cn+1所以当n=3或4时，cn【变式11-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列an的前n项积为Tn=3nn−12，数列bn满足(1)求数列an，b(2)将数列an，bn中的公共项从小到大排列构成新数列cn【解题思路】（1）对Tn=3nn−12=（2）令an=3【解答过程】（1）Tn=3当n=1时，a1当n≥2,n∈N∗时，lna而a1所以数列an的通项公式为a若数列bn满足b1=1，bn−则bn从而数列bn的通项公式为b（2）令an=3n−1=从而只能n=2k−1,k∈N所以ck所以数列{cn}【变式11-2】（2024·四川德阳·三模）已知an是等差数列，bn是等比数列，且bn的前n项和为Sn，2a1=(1)求数列an和b(2)设数列anbn的前n项和为T【解题思路】（1）根据等差数列定义可求得数列an的通项公式，利用等比数列定义根据条件①②列方程组解得公比可得数列b（2）利用错位相减法求出Tn【解答过程】（1）设等差数列an的公差为d∵2a1=2∴a1∴a1∴an设等比数列bn的公比为q若选条件①，b5由b1=2，且得b1∴q2−4q+4=0，解得所以bn故bn若选条件②，bn+1令n=1，得b2∴公比q=b∴数列bn从而bn（2）因为Tn所以12两式相减，得12即12所以Tn【变式11-3】（2024·天津北辰·三模）已知an为等差数列，前n项和为Sn，若a2=3，S8=6S(1)求an和b(2)对任意的m∈N∗，将an中落入区间2（i）求cm（ii）记dm=22b2(m−1)−cm，dm的前m项和记为【解题思路】（1）an的通项通过基本量法求解，bn的通项通过令（2）（i）求出2m−1

（ii）根据题意求出t和m的关系，在利用取值范围求出m和t.【解答过程】（1）a2所以an1−1当n≥2时，则1−1①÷②得：1−1bn=b当n=1时有：1−1b（2）（i）2因为n∈N∗，所以2（ii）b2m−1=2m−1，把cm=所以Tm=2所以T因为12m>0，4+当t=1时，m=log1235当t=3时，m=3，所以存在t,m，mt=9.【题型12特殊数列求通项】【例12】（2024·贵州贵阳·三模）已知正项数列an的前n项和为Sn，且满足(1)数列an(2)记cn=a2n，数列1cncn+1的前【解题思路】（1）由已知结合和与项的递推关系进行转化，结合等差数列的通项公式即可求解；（2）利用裂项求和求出Tn【解答过程】（1）因为Sn当n=1时，S1当n≥2时，Sn−1因为Sn两式相减得，an因为an>0，所以所以{a2n−1}，{a2n所以an（2）由题意得，1c所以Tn因为Tn所以n4(n+1)解得n>8．所以满足条件的最小整数n为9．【变式12-1】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,2S(1)求an(2)若bn=an2n,求数列【解题思路】（1）根据公式an=S（2）由（1）知bn,根据通项公式规律,用错位相减来求T【解答过程】（1）当n=1时,2S1=a1+1,解出当n≥2时,由2Sn=na即an+1n−a利用上述等式有ann−1−因此ann−1−a2当n=1,2时,a1=1,a2=3（2）由（1）可知,bn=n+1两边同时乘以12得,1错位相减得12即1整理得，Tn【变式12-2】（2024·山西·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且(1)求an(2)若bn=n−1n+2ana【解题思路】（1）首先利用作差法得到Sn=n（2）由（1）知bn【解答过程】（1）因为1S当n≥2时有1S两式相减得1Sn=当n=1时，1S1=1，所以S所以Sn当n≥2时，an又a1=S所以an（2）由（1）知b=n所以Tn【变式12-3】（2024·江西宜春·三模）在正项数列{an}中，已知a(1)求数列{a(2)求证：2≤(【解题思路】（1）根据题意，化简得到(n+1)an+1−n（2）由（1）知an=1n，结合二项式定理，得到【解答过程】（1）解：由nana即(a因为an+1>0,a所以数列{nan}又因为a1=1，所以nan=1（2）解：由（1）知an则(an+1)因为Cn所以1+C所以2≤(一、单选题1．（2024·贵州黔南·二模）n∈N*，数列1，−3，7，−15，31，⋅⋅⋅的一个通项公式为（A．an=2C．an=2【解题思路】利用排除法，取特值检验即可.【解答过程】对于选项A：因为a1对于选项B：因为a2对于选项C：因为a2对于选项D：检验可知对n=1,2,3,4,5均成立，故D正确；故选：D.2．（2024·新疆喀什·模拟预测）若an=an−1+n−1，aA．55 B．56 C．45 D．46【解题思路】在数列递推式中依次取n=1,2,3,…,n，得到n个等式，累加后求出数列的通项公式，即可求出答案.【解答过程】由an得a2=aa4=a3+3累加得，a=1当n=1时，上式成立，则an所以a10故选：D.3．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列an的项满足an+1=nn+2anA．2n+12 B．2nn+1 C．【解题思路】由an+1=n【解答过程】由an+1=n所以a2a1=13，a3a2所以a2所以an因为a1=1，所以因为a1=1满足上式，所以故选：B.4．（23-24高二·全国·课后作业）在数列an中，a1=1，且an+1=2A．an=2C．an=2【解题思路】依题意可得an+1+1=2a【解答过程】解：∵an+1=2a由a1=1，得a1+1=2，∴数列an故选：A.5．（2024·广东茂名·一模）已知Tn为正项数列an的前n项的乘积，且a1=2,TA．16 B．32 C．64 D．128【解题思路】利用给定的递推公式，结合对数运算变形，再构造常数列求出通项即可得解.【解答过程】由Tn2=ann+1，得两边取对数得nlgan+1=(n+1)lg则lgann=lga1故选：B.6．（2024·浙江·模拟预测）已知数列an满足2n−3an−2n−1A．2n−2 B．2n2−n C．2n−1【解题思路】根据递推关系可证明an【解答过程】2n−3a所以an2n−1−an−1故an2n−1=1故选：B.7．（2024·海南·模拟预测）已知等比数列an的公比不为1，若a1=2，且3a1A．2×3n−1 B．3n C．2×【解题思路】利用等差中项的性质及等比数列基本量的计算求通项公式即可.【解答过程】设an的公比为q则依题意有2a解方程得q=−3或q=1（舍去），所以an=故选：C.8．（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）已知数列an满足a1=12，aA．an=1n+1，n≥1，n∈N∗ C．an=−32−1n，n≥1，n∈【解题思路】先把1n【解答过程】因为an+1=a则当n≥2，n∈N∗时，将n−1个式子相加可得an因为a1=1当n=1时，a1所以an=32−故选：D.二、多选题9．（23-24高二·全国·课后作业）已知数列an满足a1=1，aA．a2=1 B．anan−1=【解题思路】根据题设条件求得a2=a1=1【解答过程】对于AB，因为数列an满足a1=1所以当n=2时，a2=a对于CD，当n≥2时，an+1两式相减，得an+1−a又a11=1，a所以ann是从第二项起首项为故当n≥2时，ann=综上，an故选：AD．10．（2024·全国·模拟预测）数列an中，若Tn=a1A．an=n+1C．an=−【解题思路】根据数列的单调性和正负变号的位置并结合Tn【解答过程】对A，若an=n+1n，则对B，若an=2n−7，则a1=−5<0，a2所以当n≥3时，Tn<0，又T1所以当n=2时，Tn对C，若an=−又T1=−12<0，T2=−对D，若an=sinnπ4，则a1=22，又T1=T2=故选：BCD．11．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知数列an满足a1=1，an+1=A．a3=2−22C．an+1≤n+1【解题思路】根据递推公式分别求出a2和a3可判断A；将an+1=an1+an两边同时取倒数后配方，再适当放缩可得到1【解答过程】∵a1=1，an+1=a对于A，a2=a对于B，∵an+1=an1+∴1an+1<对于C，由B知，1an+1<∴当n≥2时，1a∵a1=1，∴即an≥2∴an+1对