专题6.4 数列的通项公式的求法（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题6.4数列的通项公式的求法【十二大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1观察法】 3【题型2定义法】 4【题型3由an与Sn的关系求通项】 5【题型4累加法】 5【题型5累乘法】 6【题型6构造法】 7【题型7由等差数列的通项公式求数列通项】 8【题型8由等比数列的通项公式求数列通项】 9【题型9周期数列的通项问题】 10【题型10正负、奇偶讨论型求通项】 11【题型11双数列的通项问题】 12【题型12特殊数列求通项】 131、数列的通项公式的求法考点要求真题统计考情分析(1)了解数列的通项公式和递推关系(2)掌握求数列的通项公式的常用方法2022年新高考全国I卷：第17题，10分2023年新高考I卷：第20题，12分2023年新高考Ⅱ卷：第18题，12分2023年全国甲卷（理数）：第17题，12分2024年全国甲卷（文数）：第17题，12分2024年全国甲卷（理数）：第18题，12分数列是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，数列的通项公式的求解是高考考查的热点，主要以解答题的形式考查，一般出现在第一小问中，难度不大；有时也会出现在选择题、填空题中，与函数、不等式等综合考查；数列的通项公式的求法多种多样，需要灵活求解.【知识点1数列的通项公式】1．数列的通项公式如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.2．数列的递推公式(1)递推公式的概念如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.(2)对数列递推公式的理解①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.

②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.

③用递推公式求出一个数列，必须给出：基础——数列{}的第1项(或前几项)；

递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示.【知识点2数列的通项公式的常见求法】1．观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项.2．定义法：已知数列的通项公式的类型，对于含参的通项公式，根据数列的定义结合已知条件，求出通项公式中的参数，从而得到此数列的通项.3．公式法：由an与Sn的关系求通项：(1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式.(2)Sn与an关系问题的求解思路方向1：利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn，Sn-1的关系式，再求解.方向2：利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.4．累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.5．累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项.6．构造法：①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.②形如an+1=pan+qn+c的数列，引入参数x，y，构造新的等比数列{}.③形如an+1=pan+qn的数列，两边同除以qn+1，构造新的数列{}.④形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.7．等差数列的通项公式法：(1)如果给定的数列是等差数列，求出首项和公差，直接利用等差数列的通项公式求解；(2)如果给定的数列可以构造出等差数列，先求出构造的等差数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式.8．等比数列的通项公式法：(1)如果给定的数列是等比数列，求出首项和公比，直接利用等比数列的通项公式求解；(2)如果给定的数列可以构造出等比数列，先求出构造的等比数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式.【题型1观察法】【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）数列1,−22,12,−24,14,⋯的一个通项公式为（

A．−12n−1 B．−22n【变式1-1】（2024·吉林·三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（

）A．22 B．24 C．25 D．26【变式1-2】（23-24高二上·山西晋城·阶段练习）数列−2,4,−263,20,⋯A．an=−1C．an=−1【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，3,6,10等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（

）A．778 B．779 C．780 D．781【题型2定义法】【例2】（23-24高二下·全国·课后作业）已知数列an中，a1=3，a10=21(1)求an的通项公式，并求a(2)若bn是由a2,【变式2-1】（23-24高二上·河南周口·阶段练习）在数列an中，已知an=(1)求通项公式an(2)求证：an【变式2-2】（23-24高三下·新疆·阶段练习）已知f(x)是对数函数且图象过点5,12，数列a(1)求数列an(2)记数列an的前n项和为Sn，若Sm【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）定义数列“从第二项起，若数列an的每一项与前一项的平方差为同一常数d，则称数列an为等平方差数列，d叫作此数列的公平方差．”已知数列an为“等平方差数列”，且a(1)判断满足条件的数列an(2)求正项数列an【题型3由an与Sn的关系求通项】【例3】（2024·四川·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，若Sn=2A．an=1C．an=(−2)【变式3-1】（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列{an}的前n项和Sn=A．an=n+1 C．an=2n+1 【变式3-2】（2024·陕西·模拟预测）已知数列an满足k=1nak2k−1A．2024 B．2023 C．4047 D．4048【变式3-3】（2024·四川·三模）已知数列an满足2a1+2A．an=1,n=1C．an=n 【题型4累加法】【例4】（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在数列an中，a1=1，an+1=A．1n B．2n−1n C．n−1n【变式4-1】（23-24高二上·北京·阶段练习）在数列an中，a1=2,an+1A．2+nlnn C．2+lnn 【变式4-2】（2024·云南红河·一模）已知数列an满足：a1=9,an+1A．21 B．23 C．25 D．27【变式4-3】（23-24高二上·浙江温州·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的1，5，12，22称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作an，下列不是数列an的项的是（A．35 B．70 C．145 D．170【题型5累乘法】【例5】（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知a1=2，an=naA．n B．n+1 C．2n D．n+1【变式5-1】（23-24高二下·河南·期中）已知数列an满足a1=13，an=2n−32n+1an−1A．14n2C．12n−12n+3 【变式5-2】（2024·吉林长春·一模）设数列an的前n项和为Sn，且a1=1，SnA．13n−1 C．6(n+1)(n+2) D．【变式5-3】（23-24高三下·全国·阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，a2=4，SnA．an=2nn∈C．an=n+2n∈【题型6构造法】【例6】（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项和S(1)求an(2)证明：a1【变式6-1】（2024·陕西西安·一模）已知数列an的前n项和为Sn，a1(1)求数列an(2)设bn=an2+3【变式6-2】（2024高三下·四川成都·专题练习）已知数列an的前n项和为Sn，且满足(1)求证：数列an(2)已知bn=n2−a【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且(1)求数列an(2)求证：−3【题型7由等差数列的通项公式求数列通项】【例7】（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知数列an满足a1=1，且点((1)求数列an(2)数列{anan+1}前n项和为Tn，求能使Tn【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且a1=−2，(1)求数列an(2)若an+1≤2k⋅3a【变式7-2】（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知等差数列an满足a6+(1)求an(2)记Tn为数列an前n项的乘积，若a1【变式7-3】（2023·河南·三模）已知数列an的前n项和为Sn，a1(1)求数列an的通项a(2)设bn=an+22n+2⋅【题型8由等比数列的通项公式求数列通项】【例8】（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且(1)求数列an(2)设bn=3n(n+2)an，数列b【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）记Sn为数列an的前n项和，已知(1)证明数列an+1是等比数列，并求(2)若bn=nn+1Sn+n+2【变式8-2】（2024·全国·模拟预测）已知数列an的首项a1=1(1)证明an−3(2)是否存在正整数m，使得对任意的正整数n，am+a【变式8-3】（2024·江西南昌·二模）已知数列an的前n项和为Sn，且满足(1)当k=2时，求S10(2)若k=52，设bn【题型9周期数列的通项问题】【例9】（2024高三·全国·专题练习）已知数列an满足a1=2，anan+1+an−an+1+1=0A．数列an是周期数列 B．C．S2024>T【变式9-1】（23-24高二下·山东淄博·期中）数列an的前n项和为Sn，且满足a1=1，A．a3=12 B．an是周期数列 【变式9-2】（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知函数f(x)=x+12,x≤122x−1,12<x<1x−1,x≥1A．该数列是周期数列且周期为3 B．该数列不是周期数列C．a2023+a2024【变式9-3】（2024·重庆长寿·模拟预测）已知Sn是an的前n项和a1=2，A．a2021=2 C．a3na3n+1a3n+2=1【题型10正负、奇偶讨论型求通项】【例10】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列an的前n项和为Sn,(1)求S9(2)求数列an【变式10-1】（2024·河北沧州·三模）已知数列an满足anan+12(1)求数列an(2)设bn=an−1an+1，数列【变式10-2】（2024·陕西安康·模拟预测）记Sn为数列an的前n项和，已知(1)求an(2)若bn=(−1)nan+【变式10-3】（2024·湖南长沙·三模）若各项均为正数的数列cn满足cncn+2−cn+12=k(1)求an(2)设bn=an,n为奇数b【题型11双数列的通项问题】【例11】（2024·重庆九龙坡·三模）已知Sn是等差数列an的前n项和，S5=a11=20(1)求数列an和b(2)设cn=Snb【变式11-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列an的前n项积为Tn=3nn−12，数列bn满足(1)求数列an，b(2)将数列an，bn中的公共项从小到大排列构成新数列cn【变式11-2】（2024·四川德阳·三模）已知an是等差数列，bn是等比数列，且bn的前n项和为Sn，2a1=(1)求数列an和b(2)设数列anbn的前n项和为T【变式11-3】（2024·天津北辰·三模）已知an为等差数列，前n项和为Sn，若a2=3，S8=6S(1)求an和b(2)对任意的m∈N∗，将an中落入区间2（i）求cm（ii）记dm=22b2(m−1)−cm，dm的前m项和记为【题型12特殊数列求通项】【例12】（2024·贵州贵阳·三模）已知正项数列an的前n项和为Sn，且满足(1)数列an(2)记cn=a2n，数列1cncn+1的前【变式12-1】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,2S(1)求an(2)若bn=an2n,求数列【变式12-2】（2024·山西·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且(1)求an(2)若bn=n−1n+2ana【变式12-3】（2024·江西宜春·三模）在正项数列{an}中，已知a(1)求数列{a(2)求证：2≤(一、单选题1．（2024·贵州黔南·二模）n∈N*，数列1，−3，7，−15，31，⋅⋅⋅的一个通项公式为（A．an=2C．an=22．（2024·新疆喀什·模拟预测）若an=an−1+n−1，aA．55 B．56 C．45 D．463．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列an的项满足an+1=nn+2anA．2n+12 B．2nn+1 C．4．（23-24高二·全国·课后作业）在数列an中，a1=1，且an+1=2A．an=2C．an=25．（2024·广东茂名·一模）已知Tn为正项数列an的前n项的乘积，且a1=2,TA．16 B．32 C．64 D．1286．（2024·浙江·模拟预测）已知数列an满足2n−3an−2n−1A．2n−2 B．2n2−n C．2n−17．（2024·海南·模拟预测）已知等比数列an的公比不为1，若a1=2，且3a1A．2×3n−1 B．3n C．2×8．（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）已知