广东省湛江市2023-2024学年高一上学期期末考试 数学 含解析

湛江市2023—2024学年度第一学期期末高中调研测试高一数学试卷（满分：150分，考试时间：120分钟）2024年1月注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、考场号和座位号填写在答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．阅读答题卡上面的注意事项，所有题目答案均答在答题卡上，写在本试卷上无效.3．作答选择题时，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.非选择题如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，有”的否定为（）A.，使 B.，使C，有 D.，有2.若集合，，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（）A.3 B.4 C.5 D.63.的值为（）A0 B. C. D.4.已知函数（，）的图象如图所示，则（）A. B. C. D.5.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.6.角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上还有密位制（gradientsystem）．密位制的单位是密位，1密位等于周角的.密位的记法很特别，高位与低两位之间用一条短线隔开，例如1密位写成0-01，1000密位写成10–00．若一扇形的弧长为，圆心角为40-00密位，则该扇形的半径为（）A4 B.3 C.2 D.17.已知函数，则的图象大致为（）A. B.C. D.8.在R上定义新运算，若存在实数，使得成立，则m的最小值为（）A. B. C.0 D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知集合，，则（）A. B. C. D.10.已知，则（）A. B.C. D.11.下列函数在上单调递增的为（）A. B. C. D.12.已知函数，满足，，且在上单调，则的取值可能为（）A.1 B.3 C.5 D.7三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的定义域为______________．14.已知，满足，则______________．15.德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数，其中表示“不超过x的最大整数”，如，，，则________．16.已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则取值范围是______________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）若的终边经过点，求的值；（2）若，且，求的值．18.已知幂函数的图象过点．（1）求的值；（2）若，求实数a的取值范围．19.已知集合，，定义两个集合P，Q的差运算：．（1）当时，求与；（2）若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围．20.随着时代的发展以及社会就业压力的增大，大学生自主创业的人数逐年增加.大学生小明和几个志同道合的同学一起创办了一个饲料加工厂.已知该工厂每年的固定成本为10万元，此外每生产1斤饲料的成本为1元，记该工厂每年可以生产x万斤司料.当时，年收入为万元；当时，年收入为92万元.记该工厂的年利润为万元（年利润=年收入-固定成本-生产成本）.（1）写出年利润与生产饲料数量x的函数关系式；（2）求年利润的最大值.21.已知函数．（1）求的最小值及相应x的取值；（2）若把的图象向左平移个单位长度得到的图象，求在上的单调递增区间．22已知函数．（1）当时，求在上的最值；（2）设函数，若存在最小值，求实数a的值．湛江市2023—2024学年度第一学期期末高中调研测试高一数学试卷（满分：150分，考试时间：120分钟）2024年1月注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、考场号和座位号填写在答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．阅读答题卡上面的注意事项，所有题目答案均答在答题卡上，写在本试卷上无效.3．作答选择题时，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.非选择题如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，有”的否定为（）A.，使 B.，使C.，有 D.，有【答案】A【解析】【分析】根据全称命题否定特称命题即可.【详解】根据将全称命题否定为特称命题即可.可得“，有”的否定为“，使”，故选：A．2.若集合，，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】利用集合运算求解阴影部分即可.【详解】易知，故图中阴影部分表示的集合为，共4个元素，故选：B．3.的值为（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求出答案.【详解】.故选：D．4.已知函数（，）的图象如图所示，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用，得到，结合题意，即可求解.【详解】由函数的图象知，，则，因为，且处在函数的递减区间，所以，又因为，所以.故选：D．5.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理即可求解.【详解】由于均为定义域（0,+∞）内的单调递增函数，所以函数在上单调递增，至多只有一个零点，且，，故，所以该函数的零点所在的区间是.故选：C．6.角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上还有密位制（gradientsystem）．密位制的单位是密位，1密位等于周角的.密位的记法很特别，高位与低两位之间用一条短线隔开，例如1密位写成0-01，1000密位写成10–00．若一扇形的弧长为，圆心角为40-00密位，则该扇形的半径为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】根据题意可得40-00密位的圆心角的弧度为，进而根据扇形的弧长公式即可求解.【详解】40-00密位的圆心角的弧度为，设该扇形的半径为r，由，解得，故选：B．7.已知函数，则的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由特值法，函数的对称性对选项一一判断即可得出答案.【详解】因为，故C错误；又因为，故函数的图象关于对称，故B错误；当趋近时，趋近，趋近，所以趋近正无穷，故D错误.故选：A.8.在R上定义新运算，若存在实数，使得成立，则m的最小值为（）A. B. C.0 D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，转化为，令函数，，结合函数的奇偶性和单调性，求得，即可求解.【详解】由，可得，因为存在实数，使得，即，令函数，，由，可得是奇函数，且，当时，，所以在上单调递减，所以，同理可得，当时，，故，即，所以实数的最小值为.故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】依题意列举A、B中的元素，观察可得答案【详解】依题意，，，观察可知A，D错误，B，C正确，故选：BC．10.已知，则（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据不等式的性质判断A、B、D，利用赋值法判断C.【详解】因为，所以，且，故，故A正确；因为，所以，故，故B正确；取，，，则，，故C错误；因为，由，则，故D错误，故选：AB．11.下列函数在上单调递增的为（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】A选项，由对勾函数性质得到A错误；B选项，根据对数函数性质直接得到B正确；C选项，配方后得到函数的单调性；D选项，求出，故D错误.【详解】A选项，由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增，故A错误；B选项，在上单调递增，故B正确；C选项，在上单调递增，故C正确；D选项，因为，，故D错误.故选：BC．12.已知函数，满足，，且在上单调，则的取值可能为（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】AB【解析】【分析】由，知函数的图象关于直线对称，结合可知是函数的零点，进而得到，，由在上单调，可得，进而，分类讨论验证单调性即可判断.【详解】由，知函数的图象关于直线对称，又，即是函数的零点，则，，即，.由在上单调，则，即，所以.当时，由，，得，，又，所以，此时当时，，所以在上单调递增，故符合题意；当时，由，，得，，又，所以，此时当时，，所以在上单调递增，故符合题意；当时，由，，得，，又，所以，此时当时，，所以在上不单调，故不符合题意.综上所述，或3.故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的定义域为______________．【答案】【解析】【分析】根据对数真数必须大于零可得不等式，求解得到定义域【详解】依题意，，得，则，故所求定义域为．故答案为：14已知，满足，则______________．【答案】0【解析】【分析】根据三角函数的对称性可得，即可代入求解.【详解】因为，由，得，所以．故答案为：015.德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数，其中表示“不超过x的最大整数”，如，，，则________．【答案】【解析】【分析】通过已知条件确定取整函数的取值法则，即，；利用对数运算法则计算，进而确定的值.【详解】，因为为增函数，所以，，故．故答案为：16.已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是______________．【答案】【解析】【分析】画出分段函数图像，数形结合，找到三根的关系，利用图像交点求出最后结果.【详解】作出函数的图象，知，，故，即的取值范围是．故答案：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）若的终边经过点，求的值；（2）若，且，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先根据正切定义求出，再利用两角和的正切公式计算即可；（2）根据同角三角函数关系求出，再利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】（1）因为的终边经过点，所以，所以．（2）因为，则，且，所以，所以．18.已知幂函数的图象过点．（1）求的值；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）代入点到函数中即可求解解析式，进而可求解值，（2）根据函数的单调性，即可求解.【小问1详解】依题意，，解得，故（），则．【小问2详解】易知在上是增函数，依题意，，解得，故实数a的取值范围为．19.已知集合，，定义两个集合P，Q的差运算：．（1）当时，求与；（2）若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1），．（2）【解析】【分析】（1）用集合的新定义求解即可；（2）由“”是“”的必要条件得到，再利用范围求出即可.【小问1详解】，当时，，所以，．【小问2详解】因为“”是“”的必要条件，所以，故，解得，即实数a的取值范围是．20.随着时代的发展以及社会就业压力的增大，大学生自主创业的人数逐年增加.大学生小明和几个志同道合的同学一起创办了一个饲料加工厂.已知该工厂每年的固定成本为10万元，此外每生产1斤饲料的成本为1元，记该工厂每年可以生产x万斤司料.当时，年收入为万元；当时，年收入为92万元.记该工厂的年利润为万元（年利润=年收入-固定成本-生产成本）.（1）写出年利润与生产饲料数量x的函数关系式；（2）求年利润的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据年利润公式列分段函数解析式即可；（2）结合基本不等式和一元二次函数性质分别求分段函数的最值，比较即可得最大值.【小问1详解】由题意，当时，；当时，；所以；【小问2详解】当时，，当且仅当即时等号成立；当时，；因为，所以当时，年利润有最大值为万元.21.已知函数．（1）求的最小值及相应x的取值；（2）若把的图象向左平移个单位长度得到的图象，求在上的单调递增区间．【答案】（1）时，取得最小值．（2），．【解析】【分析】（1）化简得到，根据正弦型函数的性质，即可求解；（2）化简得到，结合题意，利用正弦型函数的性质，即可求解.【小问1详解】因为，所以当，即时，取得最小值．【小问2详解】由函数，由，可得，又，取时，可得；取时，可得；所以在上的单调递增区间为，．22.已知函数．（1）当时，求在上最值；（2）设函数，若存在最小值，求实数a的值．【答案】（1）最