江苏省南通市如皋、镇江市2021-2022学年高三上学期期末联考数学试题 附答案

2021－2022学年度高三年级第一学期期末教学质量调研数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合eqP＝{x|log\s\do(6)(x＋1)＜1，x∈N}，Q＝{1，3，5}，M＝P∪Q，则集合M中的元素共有A．4个B．6个C．8个D．无数个2．“函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数”是“a＝1”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，且P(3≤X≤5)＝0.86，则P(X＜3)＝A．0.43B．0.28C．0.14D．0.074．已知sin(α＋eq\f(π,3))＝EQ\F(1,2)，则sin(2α＋eq\f(π,6))的值为A．EQ\F(1,2)B．EQ\F(1,2)C．－eq\f(\r(,3),2)D．eq\f(\r(,3),2)5．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，n∈N*，则a2022＝A．－2B．－1C．1D．26．已知函数f(x)＝x3＋ax2－x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则函数y＝f(x)的极大值为A．1B．eq－\f(5,27)C．eq－\f(25,27)D．－17．已知双曲线EQ\F(x\S(2),a\S(2))－\F(y\S(2),b\S(2))＝1，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满eq\o\ac(\S\UP7(→),FP)＝2eq\o\ac(\S\UP7(→),FQ)，则双曲线的离心率为A．eq\r(,6)B．eq\r(,2)C．eq\r(,3)D．28．已知x＝eq\r(,e)，b＝3－ln4，c＝eq\f(3,2)，则下列选项正确的是A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜b＜aD．c＜a＜b二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．关于复数eqz＝－\f(1,2)＋\f(\r(,3),2)i(i为虚数单位)，下列说法正确的是A．|z|＝1B．z＋z2＝－1C．z3＝－1D．(z＋1)3＝i10．已知函数f(x)＝2(cosx＋sinx)cosx－1，则下列说法正确的是A．f(x)≥f(eq\f(5,8)π)B．eqf(\f(π,8)＋x)＝f(\f(π,8)－x)C．eqf(\f(π,8)＋x)＋f(\f(π,8)－x)＝0D．f(1)＞f(2)12345678911．如右图所示，是一个3×3九宫格，现从这9个数字中随机挑出3个不同的数字，记事件A1：恰好挑出的是1、2、3；记事件A2：恰好挑出的是1、4、7；记事件A3：挑出的数字里含有数字1．下列说法正确的是A．事件A1，A2是互斥事件B．事件A1，A2是独立事件C．P(A1|A3)＝P(A2|A3)D．P(A3)＝P(A1)＋P(A2)12．瑞士数学家欧拉(Euler)在1765年在其所著作的《三角形的几何学》－书中提出：三角形的外心(中垂线的交点)、重心(中线的交点)、垂心(高的交点)在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线．若△ABC的顶点A(－4，0)，B(0，4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则下列说法正确的是A．△ABC的外心为(－1，1)B．△ABC的顶点C的坐标可能为(－2，0)C．△ABC的垂心坐标可能为(－2，0)D．△ABC的重心坐标可能为eq(－\f(4,3)，\f(2,3))三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。13．eq(x＋\f(1,x)＋2)\s\up6(3)展开式中的常数项为．14．已知圆O：x2＋y2＝1，M，N，P是圆O上的三个动点，且满足∠MON＝eq\f(π,2)，eq\o\ac(\S\UP7(→),OP)＝λeq\o\ac(\S\UP7(→),MN)，则eq\o\ac(\S\UP7(→),PM)·eq\o\ac(\S\UP7(→),PN)＝．15．已知抛物线y2＝8x，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若AB＝9，eq\o\ac(\S\UP7(→),AF)＝λeq\o\ac(\S\UP7(→),FB)，则λ＝．16．已知三棱锥D－ABC中，AB＝AC＝AD＝1，∠DAB＝∠DAC＝eq\f(π,2)，∠BAC＝eq\f(π,3)，则点A到平面BCD的距离为，该三棱锥的外接球的体积为．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知在△ABC中，D为边BC上一点，CD＝10，2AC＝3AD＝eq\r(,3)AB，cos∠CAD＝EQ\F(1,3)．(1)求AD的长；(2)求sinB．CCADADBB18．(本小题满分12分)已知数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋(－1)nn．(1)求a2n；(2)设bn＝EQ\F(1,a\S\DO(2n)·a\S\DO(2(n＋1)))，求数列{bn}的前n项和．19．(本小题满分12分)已知盒子里有6个形状、大小完全相同的小球，其中红、白、黑三种颜色，每种颜色各两个小球现制定如下游戏规则：每次从盒子里不放回的摸出一个球，若取到红球记1分；取到白球记2分；取到黑球记3分．(1)若从中连续取3个球，求恰好取到3种颜色球的概率；(2)若从中连续取3个球，记最后总得分为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．20．(本小题镇分12分)如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，底面ABC是等腰直角三角形，AA1＝AB＝eq\r(,2)BC＝4，∠A1AB＝60°，cos∠BCC1＝eq\f(\r(,2),4)，M，N分别是棱B1C1，A1B1的中点．(1)证明：NB⊥平面A1B1C1；(2)求直线AM与平面BB1C1C所成角的正弦值．21．(本小题满分12分)设椭圆E：EQ\F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)经过点M(eq\r(,3)，EQ\F(1,2))，离心率为EQ\F(\R(,3),2)．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设椭圆E的右顶点为A，过定点N(1，0)且斜率不为0的直线与椭圆E交于B，C两点，设直线AB，AC与直线x＝4的交点分别为P，Q，求△APQ面积的最小值．22．(本小题满分12分)设f(x)＝xex－mx2，m∈R．(1)设g(x)＝f(x)－2mx，讨论函数y＝g(x)的单调性；(2)若函数y＝f(x)在(0，＋∞)有两个零点x1，x2，证明：x1＋x2＞2．2021-2022学年度高三年级第一学期期末教学质量调研数学试题答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.[答案]B[解析]，共6个元素，选B。2.[答案]C[解析]f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），∴∴，对于x∈R恒成立，∴a=I1，充分。。a=1时，f（x）=sinx为奇函数，必要条件，∴选充分必要条件，选C。3.[答案]D[解析]P（3≤X≤5）=0.86，则P（3≤X≤4）=0.43，则P（X<3）=0.07.故答案选D。4.[答案]B[解析]，选B。5.[答案]A[解析]，，，选A。6.[答案]A[解析]，∴，∴a=1，，x=-1或∴f（x）极大值=f（-1）=-1+1+1=1，选A。7.[答案]B[解析]渐近线：，PF：，∴，∴，则Q为PF中点，∴，Q在双曲线上，则，∴，∴，∴，选B。8.[答案]C[解析]，∴，∴a>c，，∴a>b，，∴b>c，∴a>b>c，选C。二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.[答案]AB[解析]，A对。，B对。，C错，D错，选AB。10.[答案]ABD[解析]，则，即时f（x）取最小值，A对。，则，k∈Z。k=0时，，∴f（x）关于对称，B对，C错。角在第二象限，角在第三象限，∴f（1）>0，f（2）<0，f（0）>f（2），D对11.[答案]AC[解析]事件A1，A2不可能同时发生，互斥事件，A对。事件A1，A2不是独立事件，B错。，∴，C对。，，∴，∴D错，选AC。12.[答案]ACD[解析]AB的垂直平分线：y-2=-（x+2）即y=x，∴∴外心M（-1，1），A对，外接圆方程，设C（x，y），则垂心G，G在欧拉线上，∴，即x-y-2=0，∴或∴C（2，0）或（0，-2），B错。C（0，-2）时，G，D对。设垂心坐标（m，n），则或∴或，即垂心（0，2）或（-2，0），C对，选ACD。三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。13.[答案]20[解析]（x+1）6展开式中第r+1项，r=3时，，∴常数项为20。14.[答案]1[解析]取MIN中点Q，则OQ⊥MN，∵，，∴，，∴，∴，∴15.[答案]2或[解析]方法--：设AB：x=my+2，令，消x可得y2-8my-16=0，，∴，∴，即不妨设，则，即，∴或，∴或方法二：抛物线焦点弦（其中a为直线T的斜角），∴，∴或16.[答案]；[解析]方法一：，则AD⊥AB，AD⊥AC，∴AD⊥平面ABC，∴BC=1，，∴令A到平面BCD的距离为h，∴，∴设△ABC外接圆的圆心半径为r，，∴设三棱锥外接球半径为R，则，∴方法二：取BC中点M，连接AM，DM，∴DM⊥BC，AM⊥BC，∴BC⊥平面ADM。∴平面ADM⊥平面BCD，过A作AE⊥DM于点E，∴AE⊥平面BCD。，∴设△ABC外心为O1，过O1作底面ABC垂线1，则O一定在l上，由OA=OD，过O作OF⊥AD。∴，外接球半径，外接球体积为故应填：；四、解答题：本大题共6小题，共计70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.[解析]方法一：（1）设AC=3m，AD=2m，在△ACD中，由余弦定理，∴AD=2。（2）由（1）知，AC=3，取AD中点E，连接CE，∴CE⊥AD，∴在△ABD中，由余弦定理方法二：（1）在△ADC中，由余弦定理得：因为，所以，即AD=2（舍负）（2）因为，4D=2，所以AC=3，，所以∠CDA=∠CAD，因为，所以在△ADB中，由正弦定理得：即，所以18.[解析]方法--：（1）①，②①+②且a2=-1，∴{a2n}成等差数列且首项为-1，公差为-1，∴。（2）∴{bn}的前n项和方法二：（1）因为，所以，上面2n-1个等式相加得：，因为a1=0，所以a2n=-n。（2）所以数列{bn}的前n项和19.[解析]方法一：（1）（2）ξ的所有可能取值为4，5，6，7，8，∴ξ的分布列如下：ξ45678PP方法二：（1）“恰好取到3种颜色球”记事件A，每次从盒子里不放回的摸出一个球，从中连续取3个球，共有种基本事件，事件A包含种基本事件。所以答：恰好取到3种颜色球的概率为（2）随机变量ζ的可能取值为4，5，6，7，8；；；；所以随机变量ξ的分布表为：ξ45678PP20.[解析]（1）证明：在△BB1N中，，∴，∴，∴又∵，而，∴，∴，∵，∴NB⊥平面。（2）取AB中点O。连接A1O，OC．如图建立空间直角坐标系∴∵，∴，∴设平面的一个法向量∴，设AM与平面所成角为θ，∴21.[解析]（1）由题意知∴椭圆E的标准方程为设，直线BC：x=my+1。直线AB，AC的斜率分别为，由联立得：所以所以直线AB的方程为y=k1（x-2），所以P（4，2k1），同理Q（4，2k2）。△APQ面积，因为，所以后（当且仅当时取“="），综上所述：△APQ面积的最小值为。22.[解析]（1），当m≤0时，令当x<-1时，g'（x）<0，；当x>-1时，当时，，g（x）在R上单调递增当时，令∴g（xr）在（-∞，ln2m）上，（ln2m，-1）上；（-1，+∞）上当时，令∴g（x）在上，（-1，ln2