第二章-自动控制系统的数学模型

第二章自动控制系统的数学模型第一节系统的微分方程、传递函数、动态结构图第二节典型环节第三节自动控制系统的方框图及系统闭环传递函数的求取第四节自动调节器的基本动作规律

小结课题：

第一节系统的微分方程、传递函数、动态结构图目的、要求：1、掌握运用微分方程建立数学模型的步骤和方法；2、掌握传递函数的定义、一般表达式和主要性质；3、熟悉动态结构图（方框图）的基本组成。重点：运用微分方程建立数学模型1.数学模型：

描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。2.建模方法：解析法（理论推倒法）实验法（实验辨识法）3.常用数学模型微分方程（或差分方程）传递函数（或结构图）频率特性状态空间表达式（或状态模型）（现代控制理论课程

）

数学模型线性系统的数学模型能用线性微分方程描述其输入输出关系的系统为线性系统。大多数控制系统在一定的限制条件下，用线性微分方程来描述。本节要点：用微分方程的方法建立系统数学模型，其实质是根据系统内部机理建模，并由此了解常用数学模型的特点。线性定常系统微分方程的一般形式系统输入量系统输出量若为常系数，上式描述的系统为定常系统若为时间的函数（或其中之一），为线性时变系统输出信号、输入信号的最高求导次数下列各式是描述系统的微分方程，其中c(t)为输出量，r(t)为输入量，试判断哪些是线性定常或时变系统，哪些是非线性系统?系统微分方程

自动控制系统中最基本的数学模型

建立微分方程式的一般步骤是：①确定系统的输入量和输出量。②根据各元件或环节所遵循的物理规律，依次列写它们的微分方程。③将各元件或环节的微分方程联立起来消去中间变量，求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微分方程，它就是系统的微分方程。④将该方程整理成标准形式。微分方程建立举例(1)【例2-1】RC电路（1）确定输入、输出量输入量为电压，输出量为电压。（2）根据基尔霍夫定律，列出原始微分方程（2-1）（2-2）（3）消除中间变量

(2-3)

（4）整理为标准形式)(2-4)一阶常系数线性微分方程微分方程建立举例(2)【例2-2】机械位移系统（1）确定输入、输出量设外作用力为输入量，质量物体的位移为输出量。（2）建立微分方程组根据牛顿第二定律可得:

(2-5)

(2-6)

(2-7)

(2-8)

微分方程建立举例(2)续（3）消除中间变量将式（2-6），（2-7），（2-8）代入（2-5），得

(2-9)

（4）将式子标准化

(2-10)机械位移系统是一个二阶常系数线性微分方程。所示为两个形式相同的RC电路串联而成的滤波网络。试写出以输出电压u2和输入电压u1为变量的滤波网络的微分方程。根据克希荷夫定律，可写出下列原始方程式：微分方程建立举例(3)【例2-3】列写RLC电路中输入电压与输出电压关系的微分方程（1）确定输入、输出量输入量为电压Ui，输出量为电压Uo。（2）列写原始微分方程组(2-12)(2-13)设无源网络如图所示。设该网络的初始条件为零，试求其微分方程。并说明该网络是否等效于RC和RL两个网络的串联。微分方程建立举例(4)例2-4求单容水箱液位H与输入流量Qi的系统动态方程。单容水箱（1）确定输入、输出量输入量为流入量Qi，输出量液面高度H。（2）根据物质守恒定律，列出微分方程（3）消除中间变量并将式子标准化处理得解：其数学模型是一个一阶常系数线性微分方程。微分方程建立举例(5)求容器2的液面高度H2对容器1输入流量Q1的动态方程。容器2（1）确定输入、输出量输入量为流入量Q1，输出量液面高度H2。（2）根据物质守恒定律及流量近似公式，列出微分方程（3）消除中间变量并将式子标准化处理得二阶常系数线性微分方程传递函数

自动控制系统中最常用的数学模型

传递函数是在用拉氏变换求解微分方程的过程中引伸出来的概念。传递函数的定义为：在初始条件为零时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。即

初始条件为零，一般是指输入量在t=0时刻以后才作用于系统，系统的输入量和输出量及其各阶导数在t≤时的值也均为零。传递函数的一般表达式

如果系统的输入量为，输出量为，并由下列微分方程描述

在初始条件为零时，对方程两边进行拉氏变换并整理得（2-25）

、—传递函数的分子、分母多项式传递函数具有以下特点：

（1）传递函数的分母反映了由系统的结构与参数所决定的系统的固有特性，而其分子则反映了系统与外界之间的联系。

（2）当系统在初始状态为零时，对于给定的输入，系统输出的Laplace变换完全取决于其传递函数。但是，一旦系统的初始状态不为零，则传递函数不能完全反映系统的动态历程。

（3）传递函数分子中s的阶次不会大于分母中s的阶次。

（4）传递函数有无量纲和取何种量纲，取决于系统输出的量纲与输入的量纲。

（5）不同用途、不同物理元件组成的不同类型系统、环节或元件，可以具有相同形式的传递函数。

（6）传递函数非常适用于对单输入、单输出线性定常系统的动态特性进行描述。但对于多输入、多输出系统，需要对不同的输入量和输出量分别求传递函数。另外，系统传递函数只表示系统输入量和输出量的数学关系（描述系统的外部特性），而未表示系统中间变量之间的关系（描述系统的内部特性）。

求单容水箱系统液位H1与输入流量Qi动态方程的传递函数已知动态方程是：令对上式两边进行拉氏变换并化简得：最后整理得传递函数及方框图如下：求双容水箱系统液位与输入流量动态方程关系的传递函数。系统的动态方程是：将、代入上式得：两边进行拉氏变换得：整理得：传递函数的性质（一）①传递函数是由微分方程变换得来的，它和微分方程之间存在着一一对应的关系。对于一个确定的系统，则它的微分方程是唯一的，所以，其传递函数也是唯一的。②传递函数是复变量s的有理分式，s是复数，而分式中的各项系数都是实数，它们是由组成系统的元件的参数构成的。传递函数的分母反映了由系统的结构与参数所决定的系统的固有特性，而其分子则反映了系统与外界之间的联系。是一种用象函数来描述系统的数学模型，称为系统的复数域模型（以时间为自变量的微分方程，则称为时间域模型）。传递函数的性质（二）③传递函数是一种运算函数。由可得。④传递函数的分母多项式等于零[]，即为微分方程的特征方程，而特征方程的根反映了系统动态过程的性质，所以由传递函数可以研究系统的动态特性。特征方程的阶次n即为系统的阶次。通常n≥m。⑤传递函数是一种数学模型，因此对不同的物理模型，它们可以有相同的传递函数。反之，对同一个物理模型(系统和元件)，若选取不同的输入量和输出量，则传递函数将是不同的。返回传递函数的零点、极点和放大系数

传递函数是一个复变函数，一般具有零点、极点。根据复变函数知识，凡能使复变函数为0的点均称为零点；凡能使复变函数趋于∞的点均称为极点。若将传递函数写成如下的形式：则，s=zj（j=1，2，…，m）为传递函数的零点，s=pj（j=1，2，…，n）为传递函数的极点，而将L称为系统的放大系数。传递函数的零点和极点的分布影响系统的动态性能。一般极点影响系统的稳定性，零点影响系统的瞬态响应曲线的形状，即影响系统的瞬态性能。系统的放大系数决定了系统的稳态输出值。因此，对系统的研究可变成对系统传递函数的零点、极点和放大系数的研究。课题

第二节典型环节

任何一个复杂的系统，总可以看成一些典型环节组合而成。掌握这些典型环节的特点，可以更方便地分析复杂系统内部各单元间的联系。目的、要求：1.掌握常用典型环节的微分方程、传递函数和方框图、动态响应。2.熟悉这种典型环节的应用实例。难点：振荡环节比较环节1.微分方程2.传递函数与方框图方框图如图a所示。3.动态响应当时（2-27）

图a图b比例环节的阶跃响应如图b所示。

比较环节能立即成比例地响应输入量的变化比例环节应用实例惯性环节1.微分方程T——惯性时间常数

2.传递函数与方框图(2-28)图a方框图如图a所示。3.动态响应当输入为阶跃信号时通过拉氏变换与逆变换求得输出响应为图b。图b当输入量发生突变时，输出量不能突变，只能按指数规律逐渐变化。惯性环节应用实例a）电阻、电容电路b)惯性调节器c)弹簧—阻尼系统积分环节1.微分方程T——积分时间常数2.传递函数与方框图（2-35）方框图如图a所示。3.动态响应当输入为阶跃信号时通过拉氏变换与传递函数求得输出响应为图b。图a图b输出量随着时间的增长而不断增加，增长的斜率为1/T。积分环节应用实例图c微分环节1.微分方程2.传递函数与方框图3.动态响应式中τ—微分时间常数方框图如图a所示。

理想微分环节的输出量与输入量间的关系恰好与积分环节相反，传递函数互为倒数。输出只能反映输入信号的变化率。近似微分环节应用实例单位阶跃响应曲线如右图所示比例微分环节

1.微分方程2.传递函数与方框图3.动态响应比例微分环节的阶跃响应为比例与微分环节的阶跃响应的叠加。比例微分环节的应用

当比例微分环节的输入量为恒值时，其输出量与输入量成正比；当输入信号为变量时，输出量中既含有与输入量成正比的量，也包含反映输入信号变化趋势的信息。振荡环节1.微分方程2.传递函数与方框图3.动态响应(2-42)(2-43)式中，—阻尼比0<<1时式中，(2-44)4.应用实例例2-2机械位移系统等。振荡环节的方框图和阶跃响应曲线

在自动控制系统中，若包含着两种不同形式的储能单元，这两种单元的能量又能相互交换，在能量的储存和交换的过程中，就可能出现振荡而构成振荡环节。延迟环节1.微分方程2.传递函数与方框图3.动态响应—纯延迟时间由拉氏变换延迟定理可得(2-47)在延迟时间很小的情况下:(2-48)延迟环节的方框图如图2-18a所示。延迟环节的阶跃响应如图2-18b所示。延迟环节的方框图和阶跃响应曲线

延迟环节在工作中经常遇到，例如晶闸管整流电路中，控制电压与整流输出有时间上的延迟等。返回课题：

第三节自动控制系统的方框图及系统闭环传递函数的求取目的、要求：1.掌握自动控制系统方框图的绘制方法。2.掌握自动控制系统方框图的化简规则。3.掌握系统闭环传递函数的求取方法。重点：系统方框图的化简规则系统动态结构图（方框图）的绘制方法1.列写各元件或环节的微分方程2.对各元件或环节的微分方程进行拉氏变换3.确定各元件或环节的传递函数。4.绘出各环节的动态结构图，方框中标出其传递函数，并以箭头和字母标明其输入量和输出量。5.根据信号在系统中的流向，依次将各动态结构图连接起来。例：求RC电路的系统方框图列出RC电路的微分方程组：对以上两式取拉氏变换，得：即：

用方框图表示各变量之间的关系，如图2-19所示。再根据信号的流向，将各方框图依次连接起来，即得系统的动态结构图，如图2-20所示。X(s)为输入，Y(s)为输出，Q(s)、P(s)为中间变量。画出传递函数框图。Ua为输入，为输出，为干扰，其他为中间变量。试绘制该控制系统的传递函数方框图。设已知描述某控制系统的运动方程组如下试绘制该控制系统的传递函数方框图。框图的等效变换规则

框图等效变换的规则是变换后与变换前的输入量和输出量都保持不变。1.串联变换规则

当系统中有两个（或两个以上）环节串联时，其等效传递函数为各环节传递函数的乘积。(2-44)变换前变换后C(s)G2(s)G1(s)C1(s)R(s)变换前C(s)G2(s)G1(s)R(s)变换后1、串联方框的简化多个方框串联时，总传递函数等于各方框传递函数之积。C(s)G1(s)G2(s)G3(s)R(s)G3(s)C2(s)G2(s)G1(s)C1(s)R(s)C(s)2.并联变换规则

当系统中有两个（或两个以上）环节并联时，其等效传递函数为各环节传递函数的代数和。(2-45)变换前变换后2、并联方框的简化变换前

R(s)

C1(s)C3(s)

C2(s)

(-)G1(s)G2(s)G3(s)C(s)G1(s)+G2(s)-G3(s)变换后

R(s)C(s)多个方框并联，总传递函数等于各方框传递函数之代数和。3.反馈联接变换规则R(s)C(s)E(s)G(s)H(s)

闭环传递函数和闭环系统的开环传递函数—顺馈传递函数—反馈传递函数—闭环传递函数—闭环系统的开环传递函数（简称开环传递函数）

在经典控制理论中，有一种从这个“开环传递函数”出发去分析系统性能的方法。但不要与开环系统的传递函数相混淆。4.引出点和比较点的移动规则现以比较点前移为例来加以说明：未移动时：比较点前移后：两者输出量完全相同。【例2-4】化简图2-23所示的多回环系统。图2-23解：由于此系统有相互交叉的反馈回环，不能直接化简，先要通过引出点或比较点的移动来消除交叉。例如将回环的引出点后移到D环节后，比较点移动到A环节比较点之前，应能消除交叉，然后利用串联和反馈变换法则进行化简。例2求双容水箱系统方框图并进行化简双容水箱系统各环节的动态方程（见例2-5并整理得）、、

用方框图表示各变量之间的关系，如图2-25(a)~(d)所示。再根据信号的流向，将各方框图依次连接起来，即得系统的动态结构图，如图2-25(e)所示。最后将动态结构图进行化简，即得系统的传递函数和系统方框图，如图2-25(f)所示。图2-25(a)(b)(c)(d)为各环节方框图，(e)(f)图为系统方框图

—

第k条前向通路的余子式(把与第i条前向通路接触的回路去除，剩余回路构成的子特征式

梅森公式Mason公式:梅森公式计算总增益

—

特征式—

前向通路的条数—

第k条前向通路的总增益—

所有单独回路的回路增益之和—

两两互不接触回路的回路增益乘积之和—

互不接触回路中，每次取其中三个的回路增益乘积之和自动控制系统闭环传递函数的求取自动控制系统的典型框图如图2-26所示。图2-26系统为闭环控制系统，有输入量、输出量和扰动量作用，其传递函数及输出量如何求取是以下部分要解决的问题。1.在输入量R(s)作用下的闭环传递函数和系统的输出(2-52)(2-53)（3）从上可知：对于同一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递函数不同，反馈回路的传递函数不同，系统的传递函数也不同，但系统的传递函数的分母保持不变，这是因为这一分母反映了系统的固有特性，而与外界无关。2.在扰动量D(s)作用下的闭环传递函数和系统的输出(2-54)(2-55)3.在输入量和扰动量同时作用下，系统的总输出

由于设定此系统为线性系统，因此可以应用叠加原理：即当输入量和扰动量同时作用时，系统的输出可看成两个作用量分别作用的叠加。于是有(2-56)

由于给定量和扰动量的作用点不同，即使在同一个系统，输出量对不同作用量的闭环传递函数一般是不相同的。交叉反馈系统框图的化简及其闭环传递函数的求取（之一）

交叉反馈系统是一种复杂的多环系统。它的基本形式如图2-26a所示（为简化起见，传递函数中的(s)省去）。

由图a可见，该系统的两个回环的反馈通道是互相交叉的。对这类系统的化简，主要是运用引出点和比较点的移动来解除回路的交叉，使之成为一般的不交叉的多回路系统。图a交叉反馈系统框图的化简及其闭环传递函数的求取（之二）

在图a中，只要将引出点1后移，即可解除交叉，成为如图b所示的形式。由图b再引用求闭环传递函数的公式即可得到图c和图d，从而得到系统总的闭环传递函数。

以上虽然是一个典型的例子，但从中可以引出一般交叉反馈系统闭环传递函数的求取公式：【例3】图2-29a所示是一个多回环交叉反馈系统，化简并求闭环传递函数。

由图可见该系统的三个反馈回环是相互关联的，没有独立的反馈回环。化简方法是利用反馈连接和串联连接，由内向外进行化简，也可用上面公式进行化简。化简过程见图2-29b、c、d。【例3】图2-27图b图c图d

由此可得系统的总的闭环传递函数为返回课题四：

第四节自动调节器的基本动作规律目的、要求：了解三种基本调节作用的特点，为学习PID打下基础。自动调节（控制）器的作用

自动控制系统是由控制器和控制对象组成的。控制器也是系统方块图中的一个环节，研究控制器输出信号与输入信号之间的关系，也是分析控制系统的基础。PID调节器是工业上使用最广泛的控制器，本节介绍PID调节器的动作规律，即PID调节器的动态特性，以作为后面研究控制系统的基础。比例调节作用(简称P作用)

用e表示调节器的输入信号，µ表示调节器的输出信号，则输出信号µ与输入信号e成正比，用等式表示为：µ=Kpe

或µ=e

（2-58）比例调节器的传递函数为：GC(s)=KP

=KP—比例系数δ

—比例带积分调节作用(简称I作用)

比例调节作用的缺点是存在稳态偏差。有偏差就根据偏差的方向不停地动作，直到偏差消除为止，这个动作规律就称为积分调节。

把调节阀门的开度变化量µ

看成是偏差信号e

对时间的积分，即:μ=Ti—积分常数采用积分调节作用能实现无差调节微分调节作用(简称D作用)

积分作用虽然能实现无差调节，但它易使调节机构动作过头，导致系统发生振荡。根据偏差的变化趋势进行调节，就是使执行机构的位移μ与偏差信号e的变化速度成比例，把这种动作规律称为微分调节。

微分调节表达式为：μ=Td

Td

称为微分时间调节器的组成

比例作用是调节器的主要调节作用，一般只有比例调节能独立完成调节任务，但仅采用比例调节，系统会存在稳态误差；积分作用的引入可实现无差调节，但又容易使调节过程产生振荡；微分作用能减小动态偏差，用于克服对象的延迟、防止产生过调比较有效，但不能单独采用。PI、PD