数学自我小测：向量数量积的坐标运算与度量公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．设m，n是两个非零向量，且m＝（x1，y1），n＝(x2，y2)，则以下等式中与m⊥n等价的个数为()①m·n＝0；②x1x2＝－y1y2；③|m＋n｜＝｜m－n|；④｜m＋n｜＝．A．1B．2C．3D．42．已知向量a＝（1,2）,b＝(－2,－4），|c|＝，若（a＋b)·c＝，则a与c的夹角为(）A．30°B．60°C．120°D．150°3．已知向量＝（2,2），＝(4，1），在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是()A．（－3,0）B．（2，0)C．（3，0)D．（4,0)4．连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a＝(m，n）与向量b＝（1，0)的夹角记为α，则α∈的概率为(）A．B．C．D．5．若将向量a＝(2，1）围绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则向量b的坐标为()A．B．C．D．6．已知a＝(－3，2），b＝(－1,0）,向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为__________．7．定义一种新运算⊗：a⊗b＝|a|·|b｜sinθ,其中θ为a与b的夹角，已知a＝（－，1),b＝,则a⊗b＝__________．8．已知a＝(5,12)，｜a－b｜＝3，则|b|的取值范围是__________．9．已知三个点A(2，1），B（3,2）,D(－1，4）．（1）求证:AB⊥AD；(2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值．10．已知a＝(cosα，sinα）,b＝（cosβ，sinβ)，且｜ka＋b|＝｜a－kb|(k＞0)．（1)用k表示数量积a·b;(2）求a·b的最小值,并求此时a，b的夹角θ．参考答案1．解析：①②显然正确;对③④两边平方，化简，得m·n＝0，因此也是正确的,故选D．答案：D2．解析：设c＝(x，y），则由（a＋b）·c＝，得x＋2y＝－．又cos〈a，c〉＝＝＝－，即〈a，c〉＝120°．答案：C3．解析：设点P的坐标为（x，0），则＝(x－2，－2)，＝（x－4，－1）．·＝(x－2）（x－4)＋(－2）×（－1）＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1．当x＝3时，·有最小值1，此时点P的坐标为(3,0）．故选C．答案：C4．解析：由已知，a与b的夹角为α，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（π,4))）,所以<cosα<1．又cosα＝＝，所以〈<1，即2m2>m2＋n2．所以m2>n2．又因为m，n为正整数，所以m>n．由题意，知所有的a的个数为36,满足m>n的向量的个数为15，故所求的概率为＝．答案：B5．解析:设b＝（x，y），由已知条件，知|a｜＝|b|，a·b＝|a｜|b|cos45°．所以解得或因为向量a按逆时针旋转后，向量对应的点在第一象限,所以x〉0，y〉0．所以b＝，故选B．答案:B6．答案：－7．解析：据定义a⊗b＝2××sinθ,又cosθ＝＝－,所以sinθ＝,即a⊗b＝．答案:8．解析：∵a＝(5，12），∴｜a｜＝13．∵｜b|＝|a－（a－b）｜，且|a｜－|a－b|≤｜a－(a－b）|≤|a|＋|a－b|，∴10≤|b|≤16．答案：[10，16］9．解：(1）证明：因为A（2,1)，B（3，2）,D(－1,4），所以＝(1,1),＝(－3,3)．所以·＝1×(－3）＋1×3＝0,所以⊥，即AB⊥AD．（2)因为四边形ABCD为矩形，所以⊥,＝．设C点的坐标为（x，y）,则＝(1,1）,＝(x＋1,y－4），所以解得所以C点的坐标为（0，5)．从而＝(－2，4），＝（－4,2），所以｜|＝，||＝，·＝8＋8＝16．设与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，所以矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为．10．解：（1）由|ka＋b|＝|a－kb|,得（ka＋b）2＝3(a－kb)2，所以k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2．所以(k2－3）a2＋8ka·b＋(1－3k2）b2＝0．因为｜a|＝1，|b｜＝1，所以k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，所以a·b＝＝．(2）由（1），得a·b＝＝，由函数的