半角模型(正方形中的半角模型)

正方形中的半角模型例1.如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°．求证：（1）EF＝BE+DF；

（2）证明：（1）延长CB到G，使GB＝DF，连接AG（如图）∵AB＝AD，∠ABG＝∠D＝90°，GB＝DF，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠3＝∠2，AG＝AF，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠1+∠2＝45°，∴∠GAE＝∠1+∠3＝45°＝∠EAF，∵AE＝AE，∠GAE＝∠EAF，AG＝AF，∴△AGE≌△AFE（SAS），∴GB+BE＝EF，∴DF+BE＝EF；例题讲解练习1.正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF＝FM；（2）当AE＝1时，求EF的长．

变式练习练习2.已知正方形ABCD的边长为12，E，F分别是AD，CD上的点，且EF＝10，∠EBF＝45°，求AE的长

变式练习例2.如图，已知边长为5正方形ABCD中，M、N分别为边BC、DC上的点，连接AM、AN，过N作NH⊥AM于点H，若∠ANH＝45°，连接MN．（1）证明：BM＝MN﹣DN；（2）求点A到MN的距离．（1）证明：如图，延长CB至E，使得BE＝DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°＝∠ABE，在△ADN和△ABE中∴△ABE≌△ADN（SAS），∴∠BAE＝∠DAN，AE＝AN，∴∠EAN＝∠BAE+∠BAN＝∠DAN+∠BAN＝90°，∵NH⊥AM于点H，若∠ANH＝45°，∴∠MAN＝45°，∴∠EAM＝∠MAN＝45°，在△EAM和△NAM中，∴△EAM≌△NAM（SAS），∴MN＝ME，∴ME＝BM+BE＝BM+DN，∴BM+DN＝MN，即BM＝MN﹣DN；

（2）解：如图，过点A作AF⊥MN，∵由（1）中△EAM≌△NAM得：∠AMB＝∠AMF，又∵∠ABM＝∠AFM＝90°，AM＝AM，∴△ABM≌△AFM（AAS）∴AB＝AF＝5，即点A到MN的距离为5．例题讲解例3.已知正方形ABCD的边长为1，点M、N分别是边BC、CD的两点，若△CMN的周长为2，求：∠MAN的大小；

解：（1）延长CB到E，使BE＝DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，∴∠D＝∠ABE＝90°，在△ADN和△ABE中，∴△ADN≌△ABE（SAS），∴AN＝AE，∠DAN＝∠BAE，∵△CMN的周长为2，正方形ABCD的边长为1，∵CM+CN+MN＝2＝CD+CB，∴MN＝2﹣CN﹣CM＝DN+BM＝ME，在△NAM和△EAM中∴△NAM≌△EAM（SSS），∴∠NAM＝∠EAM＝∠BAM+∠EAB＝∠BAM+∠DAN＝＝45°；例题讲解练习3.如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，且△CMN的周长为2，求△MAN的面积的最小值.变式练习练习4.如图，已知正方形ABCD，M，N分别是BC，CD上的点，∠MAN＝45°，连接BD分别交AM，AN于E，F，下面结论正确的是

．①△CMN的周长等于正方形ABCD的边长的两倍；②点A到MN的距离等于正方形ABCD的边长；③EF2＝BE2+DF2；④△EMO与△FNO均为等腰直角三角形；⑤S正方形ABCD：S△AMN＝2AB：MN．

变式练习例4.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、B在斜边AB上，且∠DCE＝45°，证明：DE2＝BE2+AD2

证明：如图，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BAC＝∠B＝45°，把△BCE绕点C逆时针旋转90°至△ACF，连接DF，则△BCE≌△ACF，∴AF＝BE，∠CAF＝∠B＝45°，CF＝CE，∴∠DAF＝∠CAF+∠BAC＝90°，在Rt△ADF中，由勾股定理得：DF2＝AF2+AD2＝BE2+AD2，∴∠DCF＝∠ECF﹣∠DCE＝90°﹣45°＝45°＝∠DCE，又∵CD＝CD，∴△CDF≌△CDE（SAS），∴DE＝DF，∴DE2＝BE2+AD2．例题讲解练习5.如图4.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，EC＝2，求DE的长．．变式练习练习6.已知正方形ABCD，点E，F分别在边BC，CD上．∠EAF＝∠CEF＝45°，直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N，求证：EF2＝ME2+NF2变式练习例5.如图所示，过正方形ABCD的顶点A在正方形ABCD的内部作∠EAF＝45°，E、F分别在BC、CD上，连接EF，作AH⊥EF于点H，求证：AH＝AB．

证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，由旋转的性质得，DF＝BG，AF＝AG，∠DAF＝∠BAG．∵∠FAG＝∠BAG+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠EAG＝45°．在△AEF和△AEG中，∴△AEF≌△AEG（SAS），∵AH、AB分别是△AEF和△AEG对应边上的高，∴AH＝AB．例题讲解例6.已知，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN＝45°．求证：MN＝DN﹣BM．

证明：如图，在DN上截取DE＝MB，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，在△ABM与△ADE中，∴△ABM≌△ADE（SAS），∴AM＝AE，∠MAB＝∠EAD，∵∠MAN＝45°＝∠MAB+∠BAN，∴∠DAE+∠BAN＝45°，∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，在△AMN和△AEN中，∴△AMN≌△AEN（SAS），∴MN＝EN，∵DN﹣DE＝EN，∴DN﹣BM＝MN．例题讲解例7.点E，F分别是正方形ABCD中BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，证明：BE＝EF+DF；证明：如图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，∴AN＝AF，∠NAF＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠NAE＝45°，∴∠NAE＝∠FAE，∵AE＝AE，∴△AFE≌△ANE（SAS），∴EF＝EN，∴BE＝BN+NE＝DF+EF．即BE＝EF+DF．例题讲解练习7.已知