吉林省延边州汪清县四中2025届高二上数学期末学业水平测试模拟试题含解析

吉林省延边州汪清县四中2025届高二上数学期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．焦点坐标为（1，0）抛物线的标准方程是（）A.y2=-4x B.y2=4xC.x2=-4y D.x2=4y2．复数的共轭复数的虚部为（）A. B.C. D.3．若函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.4．椭圆（）的右顶点是抛物线的焦点，且短轴长为2，则该椭圆方程为（）A. B.C. D.5．已知向量，且，则（）A. B.C. D.6．设双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（）A.4 B.2C. D.7．三个实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A. B.C.或 D.或8．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2022项中有（）个奇数A.1012 B.1346C.1348 D.13509．已知椭圆：的左、右焦点为，，上顶点为P，则（）A.为锐角三角形 B.为钝角三角形C.为直角三角形 D.，，三点构不成三角形10．等比数列的各项均为正数，且，则（）A.5 B.10C.4 D.11．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数m,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数n,则向量=(m,n)与向量=(1,-1)垂直的概率为()A. B.C. D.12．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在数列中，，，，若数列是递减数列，数列是递增数列，则______14．设空间向量，且，则___________.15．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出．如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为________16．函数的单调递减区间是____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，过点作交于点.求证：（1）平面；（2）平面.18．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆过点.（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线交椭圆于M、N两点，已知直线MA，NA分别交直线于点P，Q，求的值.19．（12分）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解当地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：（1）求的值；（2）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于的概率.20．（12分）已知直线与抛物线交于两点（1）若，直线过抛物线的焦点，线段中点的纵坐标为2，求的长；（2）若交于，求的值21．（12分）已知圆，圆，动圆与圆外切，且与圆内切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程，并说明轨迹是何种曲线；（2）设过点的直线与直线交于两点，且满足的面积是面积的一半，求的面积22．（10分）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角大小；（3）求点到平面的距离.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由题意设抛物线方程为y2=2px（p＞0），结合焦点坐标求得p，则答案可求【详解】由题意可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），由焦点坐标为（1，0），得，即p=2∴抛物的标准方程是y2=4x故选B【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题2、B【解析】先根据复数除法与加法运算求解得，再求共轭复数及其虚部.【详解】解：，所以其共轭复数为，其虚部为故选：B3、B【解析】函数既有极大值又有极小值转化为导函数在定义域上有两个不同的零点.【详解】因为既有极大值又有极小值，且，所以有两个不等的正实数解，所以，且，解得，且.故选:B.4、A【解析】求得抛物线的焦点从而求得，再结合题意求得，即可写出椭圆方程.【详解】因为抛物线的焦点坐标为，故可得；又短轴长为2，故可得，即；故椭圆方程为：.故选：.5、A【解析】利用空间向量共线的坐标表示即可求解.【详解】由题意可得，解得，所以.故选：A6、B【解析】根据双曲线的定义及，求出，，，，再利用余弦定理计算可得；【详解】解：依题意可知、，又且，所以，，，，则，且，即，即，所以离心率.故选：B7、D【解析】根据三个实数构成一个等比数列，解得，然后分，讨论求解.【详解】因为三个实数构成一个等比数列，所以，解得，当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆，所以，所以，当时，方程表示焦点在y轴上的双曲线，所以，所以，故选：D8、C【解析】由斐波那契数列的前几项分析该数列的项的奇偶规律，由此确定该数列的前2022项中的奇数的个数.【详解】由已知可得为奇数，为奇数，为偶数，因为，所以为奇数，为奇数，为偶数，…………所以为奇数，为奇数，为偶数，又故该数列的前2022项中共有1348个奇数，故选：C.9、A【解析】根据题意求得，要判断的形状，只需要看是什么角即可，利用余弦定理判断，从而可得结论.【详解】解：由椭圆：，得，则，则，所以且为锐角，因为，所以锐角，所以为锐角三角形.故选：A.10、A【解析】利用等比数列的性质及对数的运算性质求解.【详解】由题有，则=5.故选：A11、A【解析】根据分步计数乘法原理求得所有的)共有12个，满足两个向量垂直的共有2个，利用古典概型公式可得结果.【详解】集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数,有4种方法；从集合{1,3,5}中随机抽取一个数，有3种方法，所以，所有的共有个，由向量与向量垂直,可得，即,故满足向量与向量垂直的共有2个：，所以向量与向量垂直的概率为，故选A.【点睛】本题主要考查分步计数乘法原理的应用、向量垂直的性质以及古典概型概率公式的应用，属于中档题.在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.12、A【解析】由题意，在上恒成立，只需满足即可求解.【详解】解：因为，所以，因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，只需满足，即，解得故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据所给条件可归纳出当时，，利用迭代法即可求解.【详解】因为，，，所以，即，，且是递减数列，数列是递增数列或（舍去），，，故可得当时，，故答案为：14、1【解析】根据，由求解.【详解】因为向量，且，所以，即，解得.故答案为：115、##0.75【解析】根据椭圆和双曲线定义用长半轴长和实半轴长表示出撤掉装置前后的路程，然后由已知可解.【详解】记椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，由椭圆和双曲线的定义有：，得，即，又由椭圆定义知，，因为，所以，即所以.故答案为：16、【解析】求导，根据可得答案.【详解】由题意，可得，令，即，解得，即函数的递减区间为.故答案为：.【点睛】本题考查运用导函数的符号，研究函数的单调性，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）连结、，交于点，连结，通过即可证明；（2）通过，

可证平面，即得，进而通过平面得，结合即证.详解】证明：（1）连结、，交于点，连结，底面正方形，∴是中点，点是的中点，.平面，

平面，∴平面.（2），点是的中点，.底面是正方形，侧棱底面，∴，

，且

，∴平面，∴，又，∴平面，∴，，，平面.【点睛】本题考查线面平行和线面垂直的证明，属于基础题.18、（1）（2）1【解析】（1）由题意得到关于a，b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；（2）首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA，NA的方程确定点P，Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得，从而可得两线段长度的比值.【小问1详解】由题意，点椭圆上，有，解得故椭圆C的方程为.【小问2详解】当直线l的斜率不存在时，显然不符；当直线l的斜率存在时，设直线l为：联立方程得：由，设，有又由直线AM：，令x=-4得，将代入得：，同理得：.很明显，且，注意到，，而，故所以.【点睛】本题考查求椭圆的方程，解题关键是利用离心率与椭圆上的点，找到关于a，b，c的等量关系求解a与b．本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出，．表示出，，然后转化为相应的比值关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题19、（1）（2）【解析】（1）由频率之和为1求参数.（2）由分层抽样的比例可得抽取的5人中，和分别为：1人，2人，2人，再应用列举法写出所有基本事件，根据古典概型的概率计算即可.小问1详解】根据频率分布直方图得：，解得；【小问2详解】由于，和的频率之比为：，故抽取的5人中，，和别为：1人，2人，2人，记的1人为，的2人为，，的2人为，，故随机抽取2人共有，，，，，，，，，10种，其中至少有1人每天阅读时间位于的包含，，，，，，共7种，故概率.20、（1）6（2）2【解析】（1）通过作辅助线，利用抛物线定义，结合梯形的中位线定理，可求得答案；（2）根据题意可求得直线AB的方程为y=x+4，联立抛物线方程，得到根与系数的关系，由OA⊥OB，得，根据数量积的计算即可得答案.【小问1详解】取AB的中点为E，当p=2时，抛物线为C：x2=4y，焦点F坐标为F（0，1），过A，E，B分别作准线y=-1的垂线，重足分别为I，H，G，在梯形ABGI中（图1），E是AB中点，则2EH=AI+BG，EH=2-（-1）=3，因为AB=AF+BF=AI+BG，所以AB=2EH=6.【小问2详解】设，由OD⊥AB交AB于D（-2，2）,（图2），得kOD=-1，kAB=1，则直线AB的方程为y=x+4，由得，所以，由，得，即，即，可得，即，所以p=2.21、（1）（2）或【解析】（1）设圆的半径为，圆的半径为，圆的半径为，由题意，，从而可得，由椭圆的定义即可求解；（2）由题意，直线的斜率存在且不为0，设，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及点为线段的中点，可得，利用弦长公式求出及到直线AB的距离即可得的面积.【小问1详解】解：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，设圆的半径为，由题意，，所以，由椭圆的定义可知，动圆圆心的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，则，所以，所以动圆圆心的轨迹的方程为；【小问2详解】解：由题意，直线的斜率存在且不为0，设，，由，可得，所以①，②，且，即，因为的面积是面积的一半，所以点为线段的中点，所以，即③，联立①②③可得，所以，因为到直线AB的距离，，所以，所以当时，，当时，.所以的面积为或.22、（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】（1）以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，以AP所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系，求出平面PCD的法向量为，平面的法向量为，即得证；（2）设直线与平面所成角为，利用向量法求解；（3）利用向量法求点到平面的距离.【小问1详解】证明：