2025届湖北省随州市曾都区随州一中高二上数学期末经典试题含解析

2025届湖北省随州市曾都区随州一中高二上数学期末经典试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，，则A. B.C. D.2．已知椭圆的两个焦点分别为，且平行于轴的直线与椭圆交于两点，那么的值为（）A. B.C. D.3．已知圆：，是直线的一点，过点作圆的切线，切点为，，则的最小值为（）A. B.C. D.4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的表面积为A.B.C.D.5．已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则（）A.4 B.5C.6 D.76．已知，则（）A. B.1C. D.7．已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（）A.或 B.C. D.8．过，两点的直线的一个方向向量为，则（）A.2 B.2C.1 D.19．边长为的正方形沿对角线折成直二面角，、分别为、的中点，是正方形的中心，则的大小为（）A. B.C. D.10．在三棱锥中，，，，若，，则（）A. B.C. D.11．已知直线与直线垂直，则（）A. B.C. D.312．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取两个球，则下列选项中的两个事件为互斥事件的是（）A.至多有1个白球；都是红球 B.至少有1个白球；至少有1个红球C.恰好有1个白球；都是红球 D.至多有1个白球；至多有1个红球二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．中小学生的视力状况受到社会的关注.某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取400名学生，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示，从左至右五个小组的频率之比为，则抽取的这400名高一学生中视力在范围内的学生有______人.14．已知函数集合，若A中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a的个数为______15．点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是__.16．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，下图中第一行的称为三角形数，第二行的称为五边形数，则三角形数的第10项为__________，五边形数的第项为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线只有一个公共点.（1）求抛物线的方程；（2）求直线的方程.18．（12分）如图，在几何体中，底面是边长为2的正三角形，平面，，且，是的中点（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成的角的余弦值19．（12分）如图所示，在三棱柱中，，点在平面ABC上的射影为线段AC的中点D，侧面是边长为2的菱形（1）若△ABC是正三角形，求异面直线与BC所成角的余弦值；（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求线段BD的长20．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程，曲线C的直角坐标方程；（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，点，求的值.21．（12分）已知数列中，，的前项和为，且数列是公差为-3的等差数列.（1）求；（2）若，数列前项和为.22．（10分）已知圆，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点（1）求的最小值；（2）当的面积最大时，求直线l的方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】通过解不等式得出集合B，可以做出集合A与集合B的关系示意图，可得出选项.【详解】因为，解不等式即，所以或，所以集合，作出集合A与集合B的示意图如下图所示：所以：，故选A【点睛】本题考查集合间的交集运算，属于基础题.2、A【解析】根据椭圆的方程求出，再由椭圆的对称性及定义求解即可.【详解】由椭圆的对称性可知，,所以，又椭圆方程为，所以，解得，所以，故选：A3、A【解析】根据题意，为四边形的面积的2倍，即，然后利用切线长定理，将问题转化为圆心到直线的距离求解.【详解】圆：的圆心为，半径，设四边形的面积为，由题设及圆的切线性质得，，∵，∴，圆心到直线的距离为，∴的最小值为，则的最小值为，故选：A4、A【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥，根据等积法求出几何体内切球的半径，再计算内切球的表面积【详解】解：由三视图知该几何体是一个三棱锥，放入棱长为2的正方体中，如图所示：设三棱锥内切球的半径为，则由等体积法得，解得，所以该三棱锥内切球的表面积为故选：A【点睛】本题考查了由三视图求三棱锥内切球表面积的应用问题，属于中档题5、C【解析】利用赋值法确定展开式中各项系数的和以及二项式系数的和，利用比值为，列出关于的方程，解方程.【详解】二项式的各项系数的和为，二项式的各项二项式系数的和为，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，所以，.故选：C.6、B【解析】先根据共轭复数的定义可得，再根据复数的运算法则即可求出【详解】因为，所以故选：B7、A【解析】根据双曲线标准方程的性质，列出关于不等式，求解即可得到答案【详解】由双曲线的性质：，解的或，故选：A8、C【解析】应用向量的坐标表示求的坐标，由且列方程求y值.【详解】由题设，，则且，所以，即，可得.故选：C9、B【解析】建立空间直角坐标系，以向量法去求的大小即可解决.【详解】由题意可得平面，，则两两垂直以O为原点，分别以OB、OA、OC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系则，，，，又，则故选：B10、B【解析】根据空间向量的基本定理及向量的运算法则计算即可得出结果.【详解】连接,因为，所以，因为，所以，所以,故选：B11、D【解析】先分别求出两条直线的斜率，再利用两直线垂直斜率之积为，即可求出.【详解】由已知得直线与直线的斜率分别为、，∵直线与直线垂直，∴，解得，故选：.12、C【解析】根据试验过程进行分析，利用互斥事件的定义对四个选项一一判断即可.【详解】对于A：“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，“都是红球”包含都是红球，所以“至多有1个白球”与“都是红球”不是互斥事件.故A错误；对于B：“至少有1个白球”包含都是白球和一红一白，“至少有1个红球”包含都是红球和一红一白，所以“至少有1个白球”与“至少有1个红球”不是互斥事件.故B错误；对于C：“恰好有1个白球”包含一红一白，“都是红球”包含都是红球，所以“恰好有1个白球”与“都是红球”是互斥事件.故C错误；对于D：“至多有1个红球”包含都是白球和一红一白，“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，所以“至多有1个白球”与“至多有1个红球”不是互斥事件.故D错误.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、50【解析】利用频率分布直方图的性质求解即可.【详解】第五组的频率为，第一组所占的频率为，则随机抽取400名学生视力在范围内的学生约有人.故答案为：50.14、32【解析】作出的图像，由时，不等式成立，所以，判断出符合条件的非零整数根只有三个，即等价于时，；时，；利用数形结合，进行求解.【详解】作出的图像如图所示：因为时，不等式成立，所以，符合条件的非零整数根只有三个.由可得：时，；时，；所以在y轴左侧，的图像都在的下方；在y轴右侧，的图像都在的上方；而，，，，.平移直线，由图像可知：当时，集合A中除了0只含有1，2，3，符合题意，此时整数a可以取：-23，-22，-21……-9.一共15个；当时，集合A中除了0含有1，-1，-2，符合题意.当时，集合A中除了0只含有-1，-2，-3，符合题意，此时整数a可以取：5，6，7……20一共16个.所以整数a的值一共有15+1+16=32（个）.故答案为：32【点睛】分离参数法求零点个数的问题是转化为，分别做出和的图像，观察交点的个数即为零点的个数．用数形结合法解决零点问题常有以下几种类型：(1)零点个数：几个零点；(2)几个零点的和；(3)几个零点的积.15、[﹣，0]【解析】建立空间直角坐标系，设出点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，计算•x2﹣x，利用二次函数的性质求得它的值域即可【详解】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示；则点A（1，0，0），C1（0，1，1），设点P的坐标为（x，y，z），由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），∴•x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，由二次函数的性质可得，当x＝y时，•取得最小值为；当x＝0或1，且y＝0或1时，•取得最大值为0，则•的取值范围是[，0]故答案为：[，0]【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目16、①.②.【解析】对于三角形数，根据图形寻找前后之间的关系，从而归纳出规律利用求和公式即得，对于五边形数根据图形寻找前后之间的关系，然后利用累加法可得通项公式.【详解】由题可知三角形数的第1项为1，第2项为3=1+2，第3项为6=1+2+3，第4项为10=1+2+3+4，，因此，第10项为；五边形数的第1项为，第2项为，第3项为，第4项为，…，因此，，所以当时，,当时也适合，故，即五边形数的第项为.故答案为：55；.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或或.【解析】(1)根据给定条件结合p的几何意义，直接求出p写出方程作答.(2)直线l的斜率存在设出其方程，再与抛物线C的方程联立，再讨论计算，l斜率不存在时验证作答.【小问1详解】因抛物线的焦点到准线的距离为，于是得，所以抛物线的方程为.【小问2详解】当直线的斜率存在时，设直线为，由消去y并整理得：，当时，，点是直线与抛物线唯一公共点，因此，，直线方程为，当时，，此时直线与抛物线相切，直线方程为，当直线的斜率不存在时，y轴与抛物线有唯一公共点，直线方程为，所以直线方程为为或或.18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）设为中点，连接，，证明四边形为平行四边形即可；（2）确定异面直线与所成的角为，计算三角形各边长，根据余弦定理计算得到答案.【小问1详解】设为中点，连接，，∵为中点，是的中点，，，故，且，故，且，∴四边形为平行四边形，∴，平面，平面，故平面.【小问2详解】∵，故异面直线与所成的角为，在中：，，.根据余弦定理：，所以异面直线与所成的角的余弦值为.19、（1）（2）或【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与所成角的余弦值.（2）结合直线与平面所成的角，利用向量法列方程，化简求得的长.【小问1详解】依题意点在平面ABC上的射影为线段AC的中点D，所以平面，，由于，所以，以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，，，当是等边三角形时，，.设直线与所成角为，则.【小问2详解】设，则，，设平面的法向量为，则，故可设，设直线与平面所成角为，则，化简的，解得或，也即或.20、（1）直线的普通方程为；曲线C的直角坐标方程为（2）【解析】（1）根据转换关系将参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程即可；（2）将直线的参数方程化为标准形式，代入曲线C的直角坐标方程，设点A，B对应的参数分别为，利用韦达定理即可得出答案.【小问1详解】解：将直线的参数方程中的参数消去得，则直线的普通方程为，由曲线C的极坐标方程为，得，即，由得曲线C的直角坐标方程为；【小问2详解】解：点满足，故点在直线上，将直线的参数方程化为标准形式（为参数），代入曲线C的直角坐标方程为，得，设点A，B对应的参数分别为，则，所以.21、（1）（2）【解析】（1）由条件先求出通项公式，得出，再由可得出答案.(2)由（1）可知,由裂项相消法可得答案.