2025届天津市十二重点中学高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2025届天津市十二重点中学高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知随机变量服从正态分布，若，则（）A.0.2 B.0.24C.0.28 D.0.322．直线的倾斜角是A. B.C. D.3．已知公差为的等差数列满足，则（）A B.C. D.4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于，，且，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.5．在等差数列中，已知，则（）A.4 B.8C.3 D.66．已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.7．若存在两个不相等的正实数x，y，使得成立，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.8．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（）A. B.C D.9．已知，，且，则向量与的夹角为（）A. B.C. D.10．如图，在四面体中，，，，点为的中点，，则（）A. B.C. D.11．已知实数，满足不等式组，则的最小值为（）A2 B.3C.4 D.512．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点A的坐标为，点P是双曲线在第二象限的部分上一点，且，点Q是线段的中点，且，Q关于直线PA对称，则双曲线的离心率为（）A.3 B.2C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知实数，，，满足，，，则的最大值是______14．已知点F是抛物线的焦点，点，点P为抛物线上的任意一点，则的最小值为_________.15．已知数列中，，，则_______.16．已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于，两点，，为的准线上一点，则的面积为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等比数列的前项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）求.18．（12分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.（1）若，，，求边长c；（2），，，求角C.19．（12分）已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线方程为.（1）求椭圆的焦点坐标；（2）求双曲线的标准方程20．（12分）根据下列条件求圆的方程：（1）圆心在点O（0，0），半径r＝3（2）圆心在点O（0，0），且经过点M（3，4）21．（12分）已知椭圆C：的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为-.（1）求椭圆C的离心率（2）点M（，）在椭圆C上，椭圆的左顶点为D，上顶点为B，点A的坐标为（1，0），过点D的直线L与椭圆在第一象限交于点P，与直线AB交于点Q设L的斜率为k，若，求k的值.22．（10分）在二项式的展开式中；（1）若，求常数项；（2）若第4项的系数与第7项的系数比为，求：①二项展开式中的各项的二项式系数之和；②二项展开式中各项的系数之和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】依据正态曲线的对称性即可求得【详解】由随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴为直线由，可得则，故故选：C2、D【解析】由方程得到斜率，然后可得其倾斜角.【详解】因为直线的斜率为所以其倾斜角为故选：D3、C【解析】根据等差数列前n项和，即可得到答案.【详解】∵数列是公差为的等差数列，∴，∴.故选：C4、D【解析】直线的斜率为，计算，，利用余弦定理得到，化简知，得到答案【详解】由题意知直线的斜率为，，又，由双曲线定义知，，.由余弦定理：，，即，即，解得.故双曲线渐近线的方程为.故答案选D【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，与圆的关系，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.5、B【解析】根据等差数列的性质计算出正确答案.【详解】由等差数列的性质可知，得.故选:B6、D【解析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可知，则，所以，即可得到的关系，利用椭圆的定义进而求得离心率.【详解】设椭圆的左焦点为，连接，因为，所以，如图所示，所以，设，，则，所以，故选：D.7、D【解析】将给定等式变形并构造函数，由函数的图象与垂直于y轴的直线有两个公共点推理作答.【详解】因，令，则存在两个不相等的正实数x，y，使得，即存在垂直于y轴的直线与函数的图象有两个公共点，，，而，当时，，函数在上单调递增，则垂直于y轴的直线与函数的图象最多只有1个公共点，不符合要求，当时，由得，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，，令，，令，则，即在上单调递增，，即，在上单调递增，则有当时，，，而函数在上单调递增，取，则，而，因此，存在垂直于y轴的直线()，与函数的图象有两个公共点，所以实数m的取值范围是.故选：D【点睛】思路点睛：涉及双变量的等式或不等式问题，把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.8、A【解析】由椭圆的定义可得；利用基本不等式，若，则，当且仅当时取等号.【详解】根据椭圆的定义可知，，即，因为，，所以，当且仅当，时等号成立.故选：A9、B【解析】先求出向量与的夹角的余弦值，即可求出与的夹角.【详解】，所以，∴，∴，∴，又∵，∴与的夹角为.故选：B.10、B【解析】利用插点的方法，将归结到题目中基向量中去，注意中线向量的运用.【详解】.故选：B.11、B【解析】画出可行域，找到最优解，得最值.【详解】画出不等式组对应的可行域如下：平行移动直线，当直线过点时，.故选：B.12、C【解析】由角平分线的性质可得，结合已知条件即可求双曲线的离心率.【详解】由题设，易知：，由知：，即，整理得：.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、10【解析】采用数形结合法，将所求问题转化为两点到直线的距离和的倍，结合梯形中位线性质和三角形三边关系可求得答案.【详解】由，，，可知，点在圆上，由，即为等腰直角三角形，结合点到直线距离公式可理解为圆心到直线的距离，变形得，即所求问题可转化为两点到直线的距离和的倍，作于于，中点为，中点为，由梯形中位线性质可得，，作于，于，连接，则，当且仅当与重合，三点共线时，有最大值，由点到直线距离公式可得，由几何性质可得，，此时，故的最大值为.故答案为：10.14、3【解析】根据抛物线的定义可求最小值.【详解】如图，过作抛物线准线的垂线，垂足为，连接，则，当且仅当共线时等号成立，故的最小值为3，故答案为：3.15、【解析】根据递推公式一一计算即可；【详解】解：因为，所以，，，故答案为：16、【解析】先设出抛物线方程，写出准线方程和焦点坐标，利用得到抛物线方程，再利用三角形的面积公式进行求解.【详解】设抛物线的方程为，则焦点为，准线方程为，由题意，得，，，所以，解得，所以.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）设的公比为，根据题意求得的值，即可求得的通项公式；（2）由（1）求得，得到，利用等比数列的求和公式，即可求解.【小问1详解】解：设的公比为，因为，，则，又因为，解得，所以的通项公式为.【小问2详解】解：由，可得，则，所以.18、（1）（2）或【解析】（1）根据余弦定理可求得答案；（2）根据正弦定理和三角形的内角和可求得答案.【小问1详解】解：由余弦定理得：，所以.【小问2详解】解：由正弦定理得：得，所以或120°，又因为，所以，所以或即或.19、（1）；（2）.【解析】（1）由椭圆方程及其参数关系求出参数c，即可得焦点坐标.（2）由渐近线及焦点坐标，可设双曲线方程为，再由双曲线参数关系求出参数，即可得双曲线标准方程.【小问1详解】由题设，，又，所以椭圆的焦点坐标为.【小问2详解】由题设，令双曲线为，由（1）知：，可得，所以双曲线的标准方程为.20、（1）x2+y2＝9（2）x2+y2＝25【解析】（1）直接根据圆心坐标和半径，即可得到答案；（2）利用两点间的距离公式，求出圆的半径，即可得到答案；【小问1详解】根据题意，圆心在点O（0，0），半径r＝3，则要求圆的方程为x2+y2＝9；【小问2详解】圆心在点O（0，0），且经过点M（3，4），要求圆的半径r＝＝5，则要求圆的方程为x2+y2＝25；21、（1）（2）1【解析】（1）根据椭圆的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为-，由求解；（2）根据点M（，）在椭圆C上，顶点，再由，求得椭圆方程，由，结合，得到，设直线方程为，与椭圆方程联立，求得点P的坐标，再由，求得Q的坐标，代入求解.【小问1详解】解：设椭圆C：的上顶点为，左顶点为，右顶点为，因为椭圆的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为-,所以，即，又所以，解得；【小问2详解】因为点M（，）在椭圆C上，所以，又，解得，所以