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文档简介
2025届华中师大一附中数学高二上期末调研试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.命题“”的否定是()A. B.C. D.2.某高校甲、乙两位同学大学四年选修课程的考试成绩等级(选修课的成绩等级分为1,2,3,4,5,共五个等级)的条形图如图所示,则甲成绩等级的中位数与乙成绩等级的众数分别是()A.3,5 B.3,3C.3.5,5 D.3.5,43.函数f(x)=xex的单调增区间为()A.(-∞,-1) B.(-∞,e)C.(e,+∞) D.(-1,+∞)4.若动点满足方程,则动点P的轨迹方程为()A. B.C. D.5.为了调查修水县2019年高考数学成绩,在高考后对我县6000名考生进行了抽样调查,其中2000名文科考生,3800名理科考生,200名艺术和体育类考生,从中抽到了120名考生的数学成绩作为一个样本,这项调查宜采用的抽样方法是()A.系统抽样法 B.分层抽样法C.抽签法 D.简单的随机抽样法6.已知圆:和点,是圆上一点,线段的垂直平分线交于点,则点的轨迹方程是:()A. B.C. D.7.已知两条平行直线:与:间的距离为3,则()A.25或-5 B.25C.5 D.21或-98.若函数,满足且,则()A.1 B.2C.3 D.49.若向量,,,则()A. B.C. D.10.如图,在四棱锥中,平面,,,则点到直线的距离为()A. B.C. D.211.已知命题p:,总有,则为()A.,使得 B.,使得C.,总有 D.,总有12.如图,在棱长为2的正方体中,点P在截面上(含边界),则线段的最小值等于()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.从10名大学毕业生中选3个人担任村主任助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选不同选法的种数为___________.14.若直线与直线互相垂直,则___________.15.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上面一层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球…….设各层球数构成一个数列,其中,,,则______16.如图,椭圆的左、右焦点分别为,过椭圆上的点作轴的垂线,垂足为,若四边形为菱形,则该椭圆的离心率为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆,离心率分别为左右焦点,椭圆上一点满足,且的面积为1.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点.过点且平行于的直线交椭圆于点,证明:为定值.18.(12分)已知椭圆:的左、右焦点分别为,,点E在椭圆C上,且,,.(1)求椭圆C的方程:(2)直线l过点,交椭圆于点A,B,且点P恰为线段AB的中点,求直线l的方程.19.(12分)在中,内角所对的边长分别为,是1和的等差中项(1)求角;(2)若的平分线交于点,且,求的面积20.(12分)已知平面内两点,,动点P满足(1)求动点P的轨迹方程;(2)过定点的直线l交动点P的轨迹于不同的两点M,N,点M关于y轴对称点为,求证直线过定点,并求出定点坐标21.(12分)已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,且抛物线上有一点到焦点的距离为6.(1)求抛物线的方程;(2)若不过原点的直线与抛物线交于A、B两点,且,求证:直线过定点并求出定点坐标.22.(10分)已知双曲线C:的离心率为,过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为(1)求双曲线C的方程;(2)直线()与该双曲线C交于不同的两点A,B,且A,B两点都在以点为圆心的同一圆上,求m的取值范围
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】特称命题的否定,先把存在量词改为全称量词,再把结论进行否定即可.【详解】命题“”的否定是“”.故选:C2、C【解析】将甲的所有选修课等级从低到高排列可得甲的中位数,由图可知乙的选修课等级的众数.【详解】由条形图可得,甲同学共有10门选修课,将这10门选修课的成绩等级从低到高排序后,第5,6门的成绩等级分别为3,4,故中位数为,乙成绩等级的众数为5.故选:C.3、D【解析】求出,令可得答案.【详解】由已知得,令,得,故函数f(x)=xex的单调增区间为(-1,+∞).故选:D.4、A【解析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程,从而求出轨迹方程.【详解】由题意得:到与的距离之和为8,且8>4,故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程,故,,所以,,所以椭圆方程为.故选:A5、B【解析】考生分为几个不同的类型或层次,由此可以确定抽样方法;【详解】6000名考生进行抽样调查,其中2000名文科考生,3800名理科考生,200名艺术和体育类考生,从中抽到了120名考生的数学成绩作为一个样本又文科考生、理科考生、艺术和体育类考生会存在差异,采用分层抽样法较好故选:B.【点睛】本题主要考查的是分层抽样,掌握分层抽样的有关知识是解题的关键,属于基础题.6、B【解析】先由在线段的垂直平分线上得出,再由题意得出,进而由椭圆定义可求出点的轨迹方程.【详解】如图,因为在线段的垂直平分线上,所以,又点在圆上,所以,因此,点在以、为焦点的椭圆上.其中,,则.从而点的轨迹方程是.故选:B.7、A【解析】根据平行直线的性质,结合平行线间距离公式进行求解即可.【详解】因为直线:与:平行,所以有,因为两条平行直线:与:间距离为3,所以,或,当时,;当时,,故选:A8、C【解析】先取,得与之间的关系,然后根据导数的运算直接求导,代值可得.【详解】取,则有,即,又因为所以,所以,所以.故选:C9、A【解析】根据向量垂直得到方程,求出的值.【详解】由题意得:,解得:.故选:A10、A【解析】如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,然后利用空间向量求解即可【详解】因为平面,平面,平面,所以,,因为所以如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,则,,,,,即.在上的投影向量的长度为,故点到直线的距离为.故选:A11、B【解析】由含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题p:,总有是全称量词命题,所以其否定为存在量词命题,即,使得,故选:B12、B【解析】根据体积法求得到平面的距离即可得【详解】由题意的最小值就是到平面的距离正方体棱长为2,则,,设到平面的距离为,由得,解得故选:B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、49【解析】丙没有入选,相当于从9个人中选3人,分为两种情况:甲乙两人只有一人入选;甲乙两人都入选,分别求出每种情况的选法数,再利用分类加法计数原理即可得解.【详解】丙没有入选,把丙去掉,相当于从9个人中选3人,甲、乙至少有1人入选,分为两种情况:甲乙两人只有一人入选;甲乙两人都入选.甲乙两人只有一人入选,选法有种;甲乙两人都入选,选法有种.所以,满足题意的选法共有种.故答案为:49.【点睛】本题考查组合的应用,其中涉及到分类加法计数原理,属于中档题.一些常见类型的排列组合问题的解法:(1)特殊元素、特殊位置优先法元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置;(2)分类分步法:对于较复杂的排列组合问题,常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏;(3)间接法(排除法),从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法;(4)捆绑法:某些元素必相邻的排列,可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排列,然后再给那“一捆元素”内部排列;(5)插空法:某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的元素插空;(6)去序法或倍缩法;(7)插板法:个相同元素,分成组,每组至少一个的分组问题.把个元素排成一排,从个空中选个空,各插一个隔板,有;(8)分组、分配法:有等分、不等分、部分等分之别.14、4【解析】由直线垂直的性质求解即可.【详解】由题意得,解得.故答案为:15、15【解析】由分析可知每次小球数量刚好是等差数列的求和,最后直接公式即可算出答案.【详解】由题意可知,,所以,故答案为:1516、【解析】根据题意可得,利用推出,进而得出结果.【详解】由题意知,,将代入方程中,得,因为,所以,整理,得,又,所以,由,解得.故答案为:三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)证明见解析【解析】(1)方法一:根据离心率以及,可得出,将条件转化为点在以为直径的圆上,即为圆与椭圆的交点,将的面积用表示,求出,进而求出椭圆的标准方程;方法二:根据椭圆的定义,,再根据勾股定理和直角三角形的面积公式,即可解得,又由离心率求出,则可求出椭圆的标准方程;(2)设出直线的方程,代入椭圆方程,根据韦达定理表示出,再将直线的方程代入椭圆方程,求出,则为定值.【小问1详解】方法一:由离心率,得:,所以椭圆上一点,满足,所以点为圆:与椭圆的交点,联立方程组解得所以,解得:,所以椭圆的标准方程为:.方法二:由椭圆定义;,因为,所以,得到:,即,又,得所以椭圆C的标准方程为:;【小问2详解】设直线AB的方程为:.得设过点且平行于的直线方程:.18、(1)(2)【解析】(1)根据椭圆的定义可求出,由结合勾股定理可求出,最后根据的关系求出,即可求出椭圆方程;(2)分直线的斜率存在或不存在两种情况讨论,当直线斜率存在时,设出直线方程与椭圆联立,利用中点的关系求出即可.【小问1详解】∵点E在椭圆C上,∴,即.在中,,∴椭圆的半焦距.∵,∴椭圆的方程为.【小问2详解】设,,若直线的斜率不存在,显然不符合题意.从而可设过点的直线的方程为,将直线的方程代入椭圆的方程,得,则.∵P为线段AB的中点,∴,解得.故直线的方程为,即(经检验,所求直线方程符合题意).19、(1);(2)【解析】(1)根据是1和的等差中项得到,再利用正弦定理结合商数关系,两角和与差的三角函数化简得到求解;(2)由和求得b,c的关系,再结合余弦定理求解即可.【详解】(1)由已知得,在中,由正弦定理得,化简得,因为,所以,所以;(2)由正弦定理得,又,即,由余弦定理得,所以,所以【点睛】方法点睛:在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息,一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到20、(1)(2)证明见解析,定点坐标为【解析】(1)直接由斜率关系计算得到;(2)设出直线,联立椭圆方程,韦达定理求出,再结合三点共线,求出参数,得到过定点.小问1详解】设动点,由已知有,整理得,所以动点的轨迹方程为;【小问2详解】由已知条件可知直线和直线斜率一定存在,设直线方程为,,,则,由,可得,则,即为,,,因为直线过定点,所以三点共线,即,即,即,即,即得,整理,得,满足,则直线方程为,恒过定点.【点睛】本题关键在于设出带有两个参数的直线的方程,联立椭圆方程后,利用题干中的条件,解出一个参数或得到两个参数之间的关系,即可求出定点.21、(1)(2)证明见解析,定点坐标为(8,0).【解析】(1)根据抛物线的定义,即可求出结果;(2)由题意直线方程可设为,将其与抛物线方程联立,再将转化为,根据韦达定理,化简求解,即可求出定点.【小问1详解】解:抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,且抛物线上有一点,设抛物线的方程为,到焦点的距离为6,即有点到准线的距离为6,即解得,即抛物线的标准方程为;【小问2详解】证明:由题意知直线不能与轴平行,故直线方程可设为,与抛物线联立得,消去得,设,则,则,,由,可得,所以,即,亦即,又,解得,所以直线方程为,易得直线过定点.22、(1)(2)或【解析】(1)利用双曲线离心率、点在双曲线上及得到关于、、的方程组,进而求出双曲线的标准方程;(2
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