上海市徐汇区董恒甫高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024~2025学年董恒甫高级中学高二（上）期中考试数学试卷一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．空间内，两异面直线所成角的取值范围是_______．2．已知，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为_______．3．设和的两边分别平行，若，则的大小为_______．4．分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是_______．5．己知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为，则该圆锥的表面积为_______．6．将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为_______．7．如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，则的面积为_______．8．在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为_______．9．如图，己知平面，则二面角的大小为_______．10．已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则三棱锥的表面积是_______．11．一圆锥侧面展开图为半径为2的半圆，则此圆锥的体积为_______．12．如图，圆锥形容器的高为h，圆锥内水面的高为，且，若将圆锥倒置，水面高为，则等于_______．二、单选题（本大题共4题，满分20分）13．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（）A．三点确定一平面 B．不共线三点确定一平面C．两条相交直线确定一平面 D．两条平行直线确定一平面14．设是平面M外的两条直线，且，那么是的（）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要15．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出四个命题：①若，则； ②若，则；③若，则； ④若，则其中正确的是（）A．①② B．③④ C．①④ D．②④16．己知正方体，点P在直线上，Q为线段的中点．则下列说法不正确的是（）A．存在点P，使得 B．存在点P，使得C．直线始终与直线异面 D．直线始终与直线异面三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．如图，正四棱柱的底面边长，若与底面所成的角的正切值为．（1）求正四棱柱的体积；（2）求异面直线与所成的角的大小．18．如图，是正方形，平面．（1）求证：；（2）求二面角的大小．19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，O是与的交点，平面是的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值．20．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年故入世界文化遗产名景（如图1）现测量一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）．C是母线的一个三等分点（靠近点S）．（1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花60朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（此处取3.14，结果精确到个位）；（2）从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度．21．如图，是圆柱的直径且是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上的点．（1）求圆柱的侧面积和体积；（2）求三棱锥体积的最大值；（3）若是的中点，点E在线段上，求的最小值．

参考答案1．【答案】【解析】由异面直线所成角的定义知，两异面直线所成角的取值范围是．2．【答案】【解析】由，得，而，则，又，所以．3．【答案】或【解析】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补．4．【答案】平行或异面【解析】分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是可以平行，可以异面，但不能相交．5．【答案】【解析】母线长，母线与旋转轴的夹角，∴底面半径圆锥的表面积．6．【答案】【解析】依题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，所以该圆柱的侧面积为．7．【答案】12【解析】如图，根据斜二测画法，将直观图还原后，得到的为直角三角形，且两条直角边，所以，的面积为．8．【答案】【解析】如图，在棱长为2的正方体中，取的中点E，连接，则，且，又平面平面，所以，而，所以平面，易知平面，则到平面的距离即为直线到平面的距离，所以直线到平面的距离为．9．【答案】【解析】平面平面，则又，且平面，平面，而平面，是二面角的平面角，．．又P二面角为．10．【答案】【解析】如图，正三棱锥，高，取中点N，连接，则M在线段上，且，由，由勾股定理得：，所以，所以，所以三棱锥的表面积为．11．【答案】【解析】由题意，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，因为圆锥侧面展开图为半径为2的半圆，可得且，解得，所以，所以圆锥的体积为．12．【答案】【解析】设容器底面半径为r，则水的体积为：，倒置后水的体积，解得．13．【答案】B【解析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上，所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定，故选B项．14．【答案】A【解析】充分性：若，结合，且b在平面M外，可得，是充分条件；必要性：若，结合，且是平面M外，则可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要条件．故是的“充分非必要”，故选：A．15．【答案】D【解析】对于①，若两平面相交，但不一定垂直，故①错误；对于②，若，则，故②正确；对于③，若，当，则n与不平行，故③错误；对于④，若，则，故④正确；故选：D16．【答案】C【解答】在正方体中，可得，又由平面，且平面，所以，因为，且平面，所以平面，由点P在直线上，Q为线段的中点，当点P和重合时，可得平面，所以，所以A正确；连接，如图所示，当点P为线段的中点时，为的中位线，即，所以B正确；因为平面，当点P和点A重合时，平面，则直线和在同一平面内，所以C错误；由平面平面，且，所以直线始终与直线不相交，且不平行，所以与是异面直线，所以D正确．故选：C．17．【答案】（1）16；（2）【解析】（1）如图，连接正四棱柱的底面边长面是与底面所成的角在，∴正四棱柱的体积为：16．（2）正四棱柱是异面直线与所成的角在中，∴异面直线与所成的角为：．18．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）连接，如图，因是正方形，则，又平面平面，则，而，且平面，于是得平面，又平面，所以；（2）取线段中点O，连接，由题意易知，，且是正方形，，故，，故为二面角的平面角，由平面，可知，故．故二面角的大小为．19．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）连接，在平行四边形中，为与的交点，为的中点，又M为的中点，，又平面平面平面；（2）取的中点N，连接，为的中点，，且，由平面，得平面，是直线与平面所成的角，，在中，，，从而，在中，，直线与平面所成角的正切值为．20．【答案】（1）20347朵；（2）．【解析】（1）因圆锥的底面直径长为，母线长为，则此圆锥的侧面积为又每平方米大约需要鲜花60朵，于是得（朵），所以装饰这个屋顶大约需要20347朵鲜花．（2）将圆锥沿母线剪开展在同一平面内得如图所示的扇形，点A到点，连接，则为最小长度，扇形弧长等于圆锥底面圆周长，于是得扇形圆心角，在中，，由余弦定理