2021北京中考数学一模分类汇编《几何综合》含答案解析

2021北京市中考数学一模分类汇编——几何综合1（2021ABCAB＝BAC40CMACM＝80D上，连接，E是CE的对称点为，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）判断与DF的数量关系并证明；（3）平面内一点GDGDC，FGFB，求∠的值．2（2021ABCAB＝BAC90D是△ABC内一点，∠ADC＝∠BAC．过点B作BE交的延长线于点．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAD＝∠ABE；（3）在（）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与相等的线段并加以证明．第1页（共7页）32021•东城区一模）已知∠＝°，点BAM上一个定点，点P为线段AB上BP关于直线的对称点为点QBQA关于直线的对称点为点，连接，CP．（1）如图1，若点P的中点；①直接写出∠AQB的度数；②依题意补全图形，并直接写出线段与的数量关系；（2）如图2，若线段与交于点D．①设∠BQPα，求∠CPQ的大小（用含α②用等式表示线段DCDQDP之间的数量关系，并证明．42021•朝阳区一模）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＜°，ABACD为BC边的中点，将线段ACA逆时针旋转60°得到线段AE，连接交于点F．（1）依题意补全图形（2）求∠AFE的度数；（3）用等式表示线段，BFEF之间的数量关系，并证明．第2页（共7页）52021•丰台区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90CA＝CBP在线段AB上，作射线CP0°＜∠ACP＜45绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作ADD，交，连接．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段，DE之间的数量关系，并证明．62021•石景山区一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝（°＜α60E是△ABCAECEA顺时针旋转AC△ADB，延长CE与射线MMD（1）依题意补全图1；（2）探究∠ADM与∠AEM的数量关系为；（3DE平分∠ADBMCAE明．第3页（共7页）72021•通州区一模）已知点P为线段AB上一点，将线段绕点A逆时针旋转60得到线段AC；再将线段B120°，得到线段BD；连接ADAD中点，连接BMCM．（1）如图1，当点PCM上时，求证：PMBD；（22P不在线段CM与的数量关系与位置关系，并证明．82021•房山区一模）已知：在△ABC中，∠＝°，∠ABCαBC为斜边作等腰Rt△BDC，使得AD两点在直线BC的同侧，过点D作DEAB于点E．（1）如图1＝°时，①求∠的度数；②判断线段与的数量关系；（2°＜α90AE与的数量关系是否保持不变？依题意补全图证明．第4页（共7页）9（2021ABCACB＝ACBCD是直线ABD不与点ABDC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC直线BC．（1DEFCF的数量关系，并证明；（D为线段CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明．102021•顺义区一模）如图，等腰三角形ABC中，ABAC，⊥D，∠α．（1DCB的大小（用含α（2）延长ECE＝AC，连接并延长交的延长线于点F．①依题意补全图形；②用等式表示线段EF与之间的数量关系，并证明．第5页（共7页）2021•延庆区一模）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点、C接DBDEDEE逆时针旋转90°得到EF，连接BF．（1）如图1E在BC边上．①依题意补全图1；②若AB＝6EC＝，求的长；（2）如图，点E在边的延长线上，用等式表示线段BDBEBF之间的数量关系．122021•大兴区一模）如图1，等边△P是边上一点，作点C关于直线AP的对称点D，连接，BDAE⊥于点；（1）若∠＝°，依题意补全图1，并直接写出∠BCD的度数；（2）如图2，若∠＝（0°＜＜°①求证：∠BCD＝∠BAE；②用等式表示线段BDCD之间的数量关系并加以证明．第6页（共7页）13（2021ABCDA逆时针旋转（°＜α＜°）得到线段AE，与延长线相交于点，过B作BG交G，连接BE．（1）如图1，求证：∠BGC＝∠AEB；（2°＜＜°）时，依题意补全图2，用等式表示线段AHEFDG之间的数量关系，并证明．第7页（共7页）2021北京市中考数学一模分类汇编——几何综合1（2021ABCAB＝BAC40CMACM＝80D上，连接，E是CE的对称点为，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）判断与DF的数量关系并证明；（3）平面内一点GDGDC，FGFB，求∠的值．【分析】（）由题意画出图形，如图所示；（2）由“”可证△AEC≌△DEF，可得ACDF＝AB；（3）由题意可得点G在以点DDC为半径的圆上，点G在以点F为圆心，FBGSSSABF≌△DFGBAF＝∠FDG＝140°，即可求解．【解答】）如图所示：（2ABDF，理由如下：∵E是的中点，∴AEDE，∵C关于点E的对称点为F，∴CEEF，又∵∠AEC＝∠FED，第1页（共27页）∴△AECDEF（SAS，∴ACDF，∵ABAC，∴ABDF；（3）如图2，连接AF，∵AEDECE＝EF，∴四边形ACDF是平行四边形，∴∠ACM+CAF＝180°，AFCDDF＝＝，∴∠CAF＝100°＝∠CDF，∴∠BAF＝140∵DG＝，∴点G在以点DDC为半径的圆上，∵FGFB，∴点G在以点F为圆心，FB为半径的圆上，∴两圆的交点为G，∵ABDF，＝DG，＝FG，∴△ABF≌△DFGSSS，∴∠BAF＝∠FDG140∴∠CDG＝°，第2页（共27页）同理可证△ABF≌△DFG，∴∠BAF＝∠GDF140∴∠CDG＝360°﹣100°﹣140°＝120综上所述：∠CDG＝120°．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，确定点G的位置是本题的关键．2（2021ABCAB＝BAC90D是△ABC内一点，∠ADC＝∠BAC．过点B作BE交的延长线于点．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAD＝∠ABE；（3）在（）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与相等的线段并加以证明．【分析】（）根据要求作出图形即可．（2）利用三角形内角和定理以及平行线的性质证明即可．（3）结论：＝AEABE≌△（AAS【解答】（）解：图形如图所示．（2）证明：∵CDBE，∴∠CDEAEB，∵∠ADCBAC，∴∠ABC∠ACB＝∠+ACD＝∠CDE＝∠AEB，第3页（共27页）∵∠BAE∠ABE∠AEB180°，∠BAE+DAC+2∠ABC＝180°，∴∠BAE∠ABE+2∠＝180°，∴∠CADABE．（3）解：结论：＝．理由：在AE的延长线上取一点TCDCT，∵CDCT，∴∠＝∠CDT，∵CDBE，∴∠AEB＝∠T，∵ABAC，∠ABE，∴△ABE≌△（AAS，∴AECT，∴CDAE．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．32021•东城区一模）已知∠＝°，点BAM上一个定点，点P为线段AB上BP关于直线的对称点为点QBQA关于直线的对称点为点，连接，CP．（1）如图1，若点P的中点；①直接写出∠AQB的度数；②依题意补全图形，并直接写出线段与的数量关系；（2）如图2，若线段与交于点D．①设∠BQPα，求∠CPQ的大小（用含α②用等式表示线段DCDQDP之间的数量关系，并证明．第4页（共27页）【分析】（）PQ＝PB，可得结论．②图形如图所示：结论：PC＝．证明∠APC＝°，可得结论．（2①2BCCQPQCCPB＝∠CQB＝∠AQB，由∠APC∠CPB＝180°，推出∠+PDQ＝180°，推出∠PDQ＝120°，推出∠DQPDPQ60°，可得结论．②21CDDPDQAD上取一点TDTDP用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】）∵QAN对称，∴APAQ，∠＝∠QAN＝∴△APQ是等边三角形，∴PQ，∵点P为线段的中点，∴PB，∴PQPB，∴∠AQB90②图形如图所示：结论：PC＝．第5页（共27页）理由：∵∠AQB＝°，，C关于对称，∴AQQC，∴PQQCAQ，∴∠60∴＝tan60∴PC＝．（2①2中，连接BCCQ．∵，C关于对称，∴BCBA，＝，∵BQBQ，∴△BQCBQA（SSS∴∠BCQBAQ60°，∠BQCBQA，∵∠APQ60∴∠BPQ120°，∴∠BPQ+BCQ＝180第6页（共27页）∴，，QC∴∠CPB＝∠CQB＝∠AQB，∵∠APC∠CPB＝180∴∠+PDQ＝180∴∠PDQ＝120°，∴∠DQP+DPQ＝°，∴∠CPQ60α．②21中，结论：CDDPDQ．理由：连接AD上取一点TDTDP．∵∠+PDQ＝180∴，，DQ∴∠PDT＝∠PQA＝∵DTDP，∴△PDT是等边三角形，∴PDPT，∠DPT＝∴∠DPQ＝∠，∵PDPT，＝，∴△DPQ≌△SAS，∴DQ＝，∴ADDT＝DQ，∵，C关于对称，∴DCAD，第7页（共27页）∴CDDPDQ．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．42021•朝阳区一模）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＜°，ABACD为BC边的中点，将线段ACA逆时针旋转60°得到线段AE，连接交于点F．（1）依题意补全图形（2）求∠AFE的度数；（3）用等式表示线段，BFEF之间的数量关系，并证明．【分析】（）根据要求作出图形即可．（2）利用圆周角定理解决问题即可．（3）结论：EFAFBF．如图，连接CFEC上取一点，使得FTFC接CT．证明△FCA≌△TCE（SAS＝ET，可得结论．【解答】）图形如图所示：（2）∵ABACAE，第8页（共27页）∴点A是△的外心，∵∠CAE＝°，∠CBE＝CAE，∴∠CBE＝∵ABAC，＝，∴ADBC，∴∠BDF90∴∠AFE＝∠BFD＝°﹣30°＝°．（3）结论：EFAFBF．理由：如图，连接CF，EC上取一点，使得FTFC，连接CT．∵垂直平分线段BC，∴FBFC，∴∠BFDCFD＝∠AFE＝∴∠CFE＝∵FT＝，∴△CFT是等边三角形，∴CFCT，∠FCT＝∵ACAE，∠CAE60∴△ACE是等边三角形，∴CACE，∠ACE＝∠FCT60∴∠FCA＝∠TCE，∴△FCA≌△TCE（SAS，∴AFET，∴EFFT+ETBF+AF．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，等边三角构造全等三角形解决问题．52021•丰台区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90CA＝CBP在线段AB上，作射线CP0°＜∠ACP＜45绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，第9页（共27页）过点A作ADD，交，连接．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段，DE之间的数量关系，并证明．【分析】（）根据要求作出图形即可．（2）结论：+BE．延长DA至FDFDE，连接CF．利用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】）如图所示：（2）结论：+BE．理由：延长DA至，使DFDE，连接CF．∵ADCPDFDE，∴CECF，∴∠DCFDCE45∵∠ACB＝∴∠ACD+ECB45∵∠DCA+ACFDCF＝45∴∠FCA＝∠ECB，在△ACF和△第10页（共27页），∴△ACF≌△BCE（SAS，∴AFBE，∴ADBEDE．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．62021•石景山区一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝（°＜α60E是△ABCAECEA顺时针旋转AC△ADB，延长CE与射线MMD（1）依题意补全图1；（2）探究∠ADM与∠AEM的数量关系为∠ADM＝∠AEM或∠ADM+∠AEM＝180°；（3DE平分∠ADBMCAE明．【分析】（）按要求作图即可；（2）△A顺时针旋转得到△ADB可得∠AEC＝∠ADB，即可得到答案；（3）由∠ADM＝∠AEM可得A、DE共圆，证明△AMD≌△得AD＝ME，从而可得MCAEBD．【解答】）补全图1如下：第11页（共27页）（2M在线段延长线上时，如上图1，∵将△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB，∴∠AEC＝∠ADB，∴∠ADM＝∠AEM，当M在线段上时，如上图，∵将△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB，∴∠AEC＝∠ADB，∵∠AEC∠AEM＝180∴∠ADM∠AEM180故答案为：∠ADM＝∠AEM或∠ADM∠AEM＝180°；（3）MCAEBD，理由如下：连接AM，△AMD和△AME公共边为AM，且∠ADM＝∠AEM，∴、MDE共圆，如图：第12页（共27页）∵、MDE共圆，∴∠MAD＝∠MED，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠EDB，∵将△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB，∴ADAE，＝EC，∴∠ADE＝∠AED，∴∠EDB＝∠AED，∴BM∥AE，∴∠DME＝∠AEM，∵∠ADM＝∠AEM，∴∠DME＝∠ADM，在△AMD和△EDM中，，∴△AMD≌△EDMAAS，∴AD＝ME，∴AE＝ME，∵MC＝MEEC，∴MC＝AEBD．【点评】DEAMD≌△EDM．72021•通州区一模）已知点P为线段AB上一点，将线段绕点A逆时针旋转60得到线段AC；再将线段B120°，得到线段BD；连接ADAD第13页（共27页）中点，连接BMCM．（1）如图1，当点PCM上时，求证：PMBD；（22P不在线段CM与的数量关系与位置关系，并证明．【分析】（）由旋转可得，△APC是等边三角形，∠PBD＝120°，则∠+PBD＝180°，所以PMBD．（GMG＝CBG是等边三角形且点M是的中点，则有CM⊥BMCM＝MB．【解答】）有题意可得，∠CAP＝60°，且AP＝AC，∴△APC是等边三角形，∴∠APC＝∴∠BPM＝°，又∵∠PBD＝120∴∠BPM+PBD＝180∴PM∥BD．（2）猜想，CM⊥MBCM＝MB，理由如下：如图，延长BMG，使得＝MB，连接，BCGCPCGD，∵AM＝MDGMBM，∴四边形AGDB是平行四边形，第14页（共27页）∴AGBDAGBD，∴∠BAG180°﹣∠ABD＝60∴∠CAG120°，∵△APC是等边三角形，∴ACCP，∠CPB＝120°，∵PBDB＝，∴△CAGCPB（SAS，∴CGCB，∠ACG＝∠PCB，∴∠GCB60∴△CBG是等边三角形，∵GM＝BM，∴CM⊥BMCM＝MB．【点评】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质与判定等；构造合适辅助线是解题关键．82021•房山区一模）已知：在△ABC中，∠＝°，∠ABCαBC为斜边作等腰Rt△BDC，使得AD两点在直线BC的同侧，过点D作DEAB于点E．（1）如图1＝°时，①求∠的度数；②判断线段与的数量关系；（2°＜α90AE与的数量关系是否保持不变？依题意补全图证明．【分析】（）由余角的性质可求∠CDE＝∠DBE＝25②通过证明点A，点H四点共圆，由垂径定理可得AE＝BE；（2）通过证明点，点，点CH四点共圆，由垂径定理可得AEBE．第15页（共27页）【解答】）∵∠CDB＝°，CDDB，∴∠DBCDCB45∴∠DBEDBC﹣∠ABC＝∵DEAB，∴∠DEB90°＝∠CDB，∴∠CDE+EDB＝∠EDB+ABD＝°，∴∠CDEDBE25②AEBE，理由如下：如图，延长BD至HBDDH，连接，∵BDDHCDBD，∴CHBC，∴∠CHBCBH45∴∠A＝∠CHB＝°，∠HCB90∴点A，点H四点共圆，∵∠HCB90∴D是圆心，∵DEAB，∴AEBE；（2）不变，理由如下：如图，延长BD至HBDDH，连接，第16页（共27页）∵BDDHCDBD，∴CHBC，∴∠CHBCBH45∴∠A＝∠CHB＝°，∠HCB90∴点A，点，点H四点共圆，∵∠HCB90∴D是圆心，∵DEAB，∴AEBE．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，四点共圆，垂径定理等知识，证明点A，点H四点共圆是本题的关键．92021ABCACB＝ACBCD是直线ABD不与点ABDC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC直线BC．（1DEFCF的数量关系，并证明；（D为线段CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明．第17页（共27页）【分析】（D作DH⊥于H，由“”可证△FECHDCCH＝，DHEF，可得结论；（2D作DH于HAASFEC≌△HDCCH＝DHEF，可得结论．【解答】）结论：ACEF+，理由如下：过D作DH⊥于H，∵EFCF，∴∠EFCDHC90在△FECHDC中，，∴△FECHDCAAS，∴CHFCDHEF，∵∠DHB＝°，∠＝°，∴DH＝HBEF，∴ACBC＝+＝EF；第18页（共27页）（2）依题意补全图形，结论：EF＝FCAC，理由如下：过D作DH交CB的延长线于H，∵EFCF，∴∠EFCDHC90在△FECHDC中，，∴△FECHDCAAS，∴CHFCDHEF，∵∠DHB＝°，∠＝°，∴DH＝HBEF，∴EFCHBC＝+AC．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．102021•顺义区一模）如图，等腰三角形ABC中，ABAC，⊥D，∠α．（1DCB的大小（用含α（2）延长ECE＝AC，连接并延长交的延长线于点F．①依题意补全图形；②用等式表示线段EF与之间的数量关系，并证明．第19页（共27页）【分析】（）根据等腰三角形的性质即可得出结论；（2①根据题意即可补全的图形；②E作⊥于点HA作AGGAGC≌△可得CGEHEHFH＝EF＝x，进而可得结论．【解答】）∵等腰三角形ABC中，ABAC，∠Aα，∴∠ACB＝∠＝∵CDAB，＝90，∴∠ACD90°﹣∠A°﹣α，∴∠DCBACB﹣∠ACD90﹣90α＝（2①如图即为补全的图形；；②＝，证明：∵∠ACE＝∠ACB﹣∠DCB90∵CEAC，﹣＝°﹣α，∴∠CAE＝∠CEA＝＝°+，∵∠AEC＝∠+ECF，∴45+＝∠F+∴∠F＝，过点E作EHH，过点A作⊥于点G，第20页（共27页）∴∠BAGCAG＝，在△AGC和△CHE中，，∴△AGCCHEAAS，∴CGEH，∵∠F＝∴FHEH，设EHFH＝EF＝∴BC＝CG2x，x，∴＝＝．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．2021•延庆区一模）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点、C接DBDEDEE逆时针旋转90°得到EF，连接BF．（1）如图1E在BC边上．①依题意补全图1；②若AB＝6EC＝，求的长；（2）如图，点E在边的延长线上，用等式表示线段BDBEBF之间的数量关系．【分析】（）根据要求画出图形即可；②F作⊥CB的延长线于HDCE≌△EHFAAS出EC＝FH，DC＝，推出CE＝BHFH，再利用勾股定理解决问题即可；（2）由可得△DCEEHF，推出EC＝，＝EH，推出CE＝＝，再利用第21页（共27页）等腰直角三角形的性质解决问题即可【解答】解（）图形如图所示．过点F作FHCB的延长线于H，∵四边形ABCD∴CDAB＝，∠C°，∵∠DEFC＝°，∴∠DEC+FEH＝90°，∠DEC∠EDC＝∴∠FEH＝∠EDC，在△DEC和△EFH中，，∴△DECEFHAAS，∴ECFH＝，＝＝EH6，∴HBEC＝，∴RtFHB中，BF＝（2）结论：BF+BD＝＝2．BE．理由：过点F作⊥，交CB于H，∵四边形ABCD第22页（共27页）∴CDAB＝，∠DCE＝°，∵∠DEFDCE90∴∠DEC+FEH＝90°，∠DEC∠EDC＝∴∠FEH＝∠EDC，在△DEC和△EFH中，，∴△DECEFHAAS，∴ECFHCD＝＝，∴HBECHF，∴△DCB和△BHF都是等腰直角三角形，∴BD＝∵HEBHBE，∴BFBD＝BE．BC＝HE，BF＝，【点评】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．122021•大兴区一模）如图1，等边△P是边上一点，作点C关于直线AP的对称点D，连接，BDAE⊥于点；（1）若∠＝°，依题意补全图1，并直接写出∠BCD的度数；（2）如图2，若∠＝（0°＜＜°①求证：∠BCD＝∠BAE；②用等式表示线段BDCD之间的数量关系并加以证明．【分析】（1）由题意画出图形；根据三角形内角和定理求出∠ABD，由∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB即可得到结论；第23页（共27页）（由轴对称的性质可得垂直平分AB＝ADBAP＝，由等腰三角形的性质可求解；②在AE上截取＝CD定理证得△BAF≌△BCD三角形的性质得到∠ABF＝∠CBD，BF＝BD，可得∠FBE＝∠ABC＝60°，由三角函数的定义求得EF＝BDAECD+BD．【解答】（）解：∵△是等边三角形，∴∠ACB＝∵C关于直线的对称是D，∴APCDAC＝，∴∠ACD90°﹣°＝°，∴∠BCDACD﹣∠ACB＝（2①证明：如图，连接AD，根据题意得，AO⊥∵∠，∴∠ACD90α，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∴∠BCDACD﹣∠ACB＝°﹣﹣°＝°﹣，∵C关于直线的对称是D，∴APCDAC＝，∴∠＝∠＝，∵ABAC＝，AE，∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝（∠BAC﹣∠CAD（60°﹣α）＝°﹣，∴∠BCDBAE；②解：用等式表示线段BD，CD之间的数量关系是AE＝+BD．证明：在AE上截取CD，连接BF，∵△ABC是等边三角形，∴ABAC，∵