甘肃省 定西市安定区城区联考2024-2025学年九年级上学期10月期中数学试题

2024—2025学年度第一学期期中考试九年级数学试卷一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．用配方法解方程时，配方后正确的是（）A． B． C． D．3．已知函数是二次函数，则等于（）A． B．2 C． D．64．把二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是（）A． B． C． D．5．已知二次函数，下列说法正确的是（）A．对称轴为 B．顶点坐标为C．函数的最大值是 D．函数的最小值是6．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（）A． B． C． D．97．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（）A． B． C． D．8．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（）A． B． C． D．9．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（）A． B．C． D．10．如图1，正方形的边长为4，为边的中点．动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止。设点的运动路程为，线段的长为与的函数图象如图2所示，则点的坐标为（）图1图2A． B． C． D．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）11．在平面直角坐标系内，若点与点关于原点对称，则的值为______．12．已知是一元二次方程的一个根，则的值是______．13．若是抛物线上的三点．则的大小关系为______．14．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间______．15．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为______．16．如图①，在中，．将沿x轴依次以点为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为______．三、解答题（本题共11个小题，满分72分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（3分）用适当的方法解方程：；18．（6分）如图，已知的顶点的坐标分别是．（1）作出关于原点中心对称的；（2）将绕原点按顺时针方向旋转90°后得到，画出，并写出点的坐标为______．19．（6分）已知关于的一元二次方程（1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一根为3，求的值及方程的另一根．20．（6分）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．（1）判断的形状；（2）求证：平分．21．（6分）已知抛物线过两点．（1）求出该抛物线的解析式；（2）求出抛物线与轴的交点坐标；（3）当时，写出的取值范围．22．（6分）为了积极践行新教育实验行动，公园路中学开展了课外阅读活动，计划将学生人均阅读量从七年级第一学期的70万字增加到八年级第一学期的100.8万字．（1）如果每学期学生人均阅读量的平均增长率相同，求这个增长率；（2）按照（1）中的阅读量增长率，学校期望八年级第二学期的人均阅读量达到120万字，请通过计算说明他们的目标能否实现．23．（7分）如图，点是等边内的一点，，将绕点顺时针旋转得到，连接．（1）求的度数．（2）若，求的长．24，（7分）某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件，经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低2元，其日销量可增加16件，设该商品每件降价x元，商场一天可通过A商品获利润y元．（1）求y与x之间的函数解析式（要展开化简，不必写出自变量x的取值范围）．（2）A商品销售单价为多少时，该商场每天通过A商品所获的利润最大？最大利润为多少元？25．（7分）33届巴黎奥运跳水冠军全红婵在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．（1）求y关于x的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．26．（8分）（1）如图1，在正方形中，分别是边上的点，且，把绕着点顺时针旋转得到，请直接写出图中所有的全等三角形；（2）在四边形ABCD中，．①如图2，若分别是边上的点，且，求证：；②若分别是边延长线上的点，且，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．图1图2备用图27．（10分）已知抛物线经过三点，直线是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；（3）在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

九年级数学答案一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）题号12345678910答案BCBACCCCAC二、填空题（本题共6小题，每小题3分、共18分．）11．12．13．14．15．16．三、解答题（本题共11个小题，满分72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（3分）用适当的方法解方程：；此题可用配方法、公式法、因式分解法任一方法求解。解：．18．（6分）解：（1）三点的坐标分别是，三点的坐标关于原点对称的坐标是，依次连接三点，得到，如图：就是所求的三角形．解：（2）三点的坐标分别是，三点的坐标绕原点按顺时针方向旋转后的坐标是，依次连接三点，得到，如图：就是所求的三角形，的坐标是．故答案为：19．（6分）（1）证明：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；解：（2）当时，，解得：，把代入原方程：（舍去）故的值为3，方程的另一根为1．20．（6分）．（1）解：∵绕点A逆时针旋转，，为等边三角形；（2）证明：∵绕点A逆时针旋转，，，，∵为等边三角形，，在和中，，∴，，平分．21．（6分）解：（1）将代入中，得解得：该抛物线的解析式为；（2）将代入，得解得：抛物线与轴的交点坐标为和；（3）中，，其图象大致如下由图象可知：当时，．22．（6分）解：（1）设每学期学生人均阅读量的平均增长率为，依题意得：，解得：（不合题意，舍去）．答：每学期学生人均阅读量的平均增长率为；（2）（万字）．，他们的目标能实现．23．（7分）解：（1）由旋转的性质得：，∵是等边三角形，，，是等边三角形，；（2）由旋转的性质得，，，，∵为等边三角形，，在直角中，24．（7分）解：（1）由题意得，商品每件降价元时单价为元，销售量为件，则，即与之间的函数解析式是；（2）：，当时，取得最大值，此时，销售单价为：（元），最大利润为2592元。答：商品销售单价为98元时，通过商品所获的利润最大．最大利润为2592元。25．（7分）解：（1）根据题意可得，拋物线过和，对称轴为直线，设关于的函数表达式为，，解得：，关于的函数表达式为；（2）在中，令得，解得或（舍去），运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为米．26．（8分）解：（1）；（2）①如图，将绕着点顺时针旋转，使与重合，得，，即，易得，，，，，，，即．②不成立理由如下：如图，将绕着点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得，点H在BC上，易得，，，又，，，即，①中的结论不成立．27．（10分）解：（1）经过抛物线，可设抛物线为．又经过抛物线，代入，得，即．抛物