中考数学二次函数专题训练50题含答案

中考数学二次函数专题训练50题含答案

一、单选题

1.尸!/-745与)，轴的交点坐标为(

)

4

A.-5B.(0,-5)C.(-5,0)D.(0,-20)

抛物线经平移后，

2.y=-gf+x+i不可能得到的抛物线是()

A121.

A.y=——x+xB.y=——厂—4

22

C.y=--x2+2021x-2022D.y=-x24-x+l

2

3.下列说法错误的是()

A.抛物线y=-x2+x的开口向下

B.两点之间线段最短

C.角平分线上的点到角两边的距离相等

D.一次函数y=-x+l的函数值随自变量的增大而增大

4.下列函数中，是二次函数的是()

A.y=(2x-1)2B.y=(x+1)2-x2

C.y=ax2D.y=2x+3

5.将抛物线y=2/向右平移i个单位长度，在向上平移2个单位长度后，所得的抛

物线的解析式为()

A.y=2(x+l『+2B.y=2(x-lf+2C.y=2(x+l)2-2

D.y=2(x-l)2-2

6.将抛物线y=2/+］向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到的抛物线表达式

为()

A.y=2(x-2)2+4B.y=2(x+2『+4C.y=2(x-21-2

D.y=2(x+2)?-2

7.二次函数旷=-(》-1)2+2的顶点坐标是()

A.(1,-2)B.(1,2)C.(-1,2)D.(-1,-2)

8.在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是()

A.y=-B.y=-2x-3C.y=2x2+1D.y=5x

x

9.已知二次函数y=以2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=-g.有下列结

论：①">0；②a+b+c<0；③b+2c<0；④当x>-l时，y随x的增大而增大.其

中正确结论的个数是（）

10.已知二次函数了=以2+法+。的图象经过（-3,0）与（1,0）两点，关于x的方程

ar2+〃x+c+,”=0（初>。）有两个根，其中一个根是3.则关于x的方程

◎?+皈+°+〃=0（0<〃<5）有一两个整数根，这两个整数根是（）

A.-2或0B.T或2C.-5或3D.-6或4

11.如果将抛物线向右平移2个单位后得到y=那么原抛物线的表达式是（）

A.y=X2+2B.y=x2—2C.y=（x+2）2D.y=（x-2）2

12.一元二次方程V+bx+cuO有一个根为x=-3,则二次函数），=2/_法一的图像

必过点（）

A.（-3,0）B.（3,0）C.（-3,27）D.（3,27）

13.一次函数y=x+a与二次函数丫=狈2一。在同一平面直角坐标系中的图象可能是

14.将抛物线y=f向右平移3个单位长度得到的抛物线是（)

A.y=x2+3B.y=x2-3C.y=(x-3pD.y=(x+3)2

15.抛物线y=（m-1"?-（2m+3）x+m+l与坐标轴的交点不超过2个，则m的值满足

（）

13Tc13

AA.m<-----或机=-1或m=1B.m<-----

1212

1313

C.m<或m=lD.m<或加=一1

1212

16.点C为线段AB上的一个动点，AB=\,分别以AC和CB为一边作等边三角形，

用S表示这两个等边三角形的面积之和，下列判断正确的是（）

A.当C为AB的三等分点时，S最小B.当C是AB的中点时，S最大

C.当C为AB的三等分点时，S最大D.当C是A8的中点时，S最小

17.如图，正方形纸片A8C。的边长为2,翻折NABC、ZADC,使两个直角顶点重合

于对角线80上一点P,EF、G”分别是折痕，设AE=x（0Vx<2）,给出下列判断：

①当x=l时，点尸是正方形A8C。的中心：

②当x=’时，EF+GH>AC；

2

③当0<x<2时，六边形AEFCHG面积的最大值是?

④当0<x<2时，六边形AEFCHG周长的值不变.

其中错误的是（）

C.①④D.①②

18.在抛物线y=/-3x+I上的点是(

A.(0,-1)B.(2,-3)C.(-3,1)D.(3,1)

19.二次函数丫=(X-1)2+(x-3)2与丫=(X+a)2+(X+b)2的图象关于y轴对称,

则(a+1)2+(1+b)2的值为()

A.9B.10C.20D.25

20.已知抛物线丫二奴?+法+。开口向下，与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标为。,〃)，

与丁轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点)，则下列结论：

2

①2"+6=0；(2)-1<a<-—；③对于任意实数，"，a+b>atrr+bmf&AL;

④关于x的方程如?+法+c=〃-l有两个不相等的实数根.

其中结论正确的个数是()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

二、填空题

21.已知二次函数y=f-4x+c,若它的图象经过点A(-2,%),3(4,必)，则M―

)-2(填>,<-或=)

22.抛物线y=/-x-1关于x轴对称的抛物线的解析式为.

23.抛物线y=V-2x,当丫随x的增大而减小时x的取值范围为.

24.将抛物线y=3/先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得新抛

物线的表达式为.

25.函数y=-g/-3图像开口方向是,对称轴是顶点坐标是

,这个顶点是图像的最一点(填“高”或"低”).

26.烟花厂为2018年春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度小(加)与

飞行时间心)的关系式是〃=-|/+12什0.1,若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则

从点火升空到引爆需要的时间为5.

27.如图，矩形四个顶点的坐标依次为(1,3),(2,3),(2,5),(1,5),若抛物线y=

与矩形有公共点，则实数〃的取值范围为.

28.如图，二次函数丫=a*2+1,y=ax2-l(a<0)的图象与直线x=-2,x=2所围成

的阴影部分的面积是

29.二次函数y=x2—2x—3,当m—2gxWm时函数有最大值5,则m的值可能为

30.若抛物线y=-(x-iy+m的图象上有三点4(—2,必)，8(1,%)，C(5,%)，则

%、》2、%的大小关系为.

31.如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅

子5处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y=-+法+1的一部分，跳起的演员

距点A所在>轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高.若人梯到起跳点A的水平距

32.二次函数产以2+法+0的图象如图所示，以下结论：①外。>0；②其顶点坐标为

-2)；③2a+/»0；④当时，V随工的增大而减小；⑤a+b+c>0，正确的有

33.若将二次函数y=x2+fev—5的图像向右平移2个单位后经过点M(3,-6),则

字母b的值为.

34.设二次函数y=/+2x—3的图象为C/,关于x的一次函数y=fcv+34的图象为C2

(1)G和C2恰好都经过定点P，则点P的坐标为;

(2)若C/和C2有两个不同的交点，设其横坐标分别为整和X2,且X/<X2<1，则k的

取值范围为.

35.如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱

形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，求选取点A为坐标原点时的

抛物线解析式是

36.抛物线y=的顶点坐标是,开口方向,对称轴是

当时，V随x的增大而；它可由抛物线y=3x2向平移个单位

长度得到.

37.如图是二次函数卜=奴2+法+<?(。30)图象的一部分，有下列4个结论：①

abc>0；®b2-4ac>0;③关于x的方程如?+法+,=()的两个根是芭=-2,

々=3；④关于x的不等式依2+&r+c>0的解集是工>-2.其中正确的结论是

38.如图，直线N=2x+3与两坐标轴分别交于A,B两点、点P是线段AB上的一个

动点，过P作y轴的平行线，交直线y=x+4于Q,△OPQ绕点0逆时针旋转30。，

边尸。扫过区域（阴影部分）面积的最大值为.

39.己知二次函数>="+云+。的图象如图所示，有以下结论：①a+i»+c>0；②a

-b+c>U③Hc>0；@4a-2b+c<\；⑤6+2a=0.其中所有正确的结论是

40.设y/与”都是x的二次函数（y/有最小值），Kyi+y2=-x2-8x+4,已知当x="?

时，yi—y2—-8,当x=-m时，y/=），2=8,则，"的值为.

三、解答题

41.如图，抛物线y=-,Y+2x+4与坐标轴分别交于A,B,C,点。在x轴上,

66

AC=CD,过点。作。轴交抛物线于点E,点P,。分别是线段CO,CD上的动

点，且CP=QO.记AAPC的面积为S,APC。的面积为S2,的面积为S3,

(1)若S/+5J=4S2,求。点坐标；

(2)连结A。，求AP+AQ的最小值；

P'、，•

W'""™'

42.如图1是一座抛物线型拱桥，图2是其在直角坐标系中的侧面示意图.在正常水

位时水面宽A8=24m,此时水面离桥拱顶部的距离为6m.

(1)按如图2所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；

(2)如图3,因某种需要，在桥拱顶部及桥的两端树立了三根支柱。£,AC,8。架设

钢缆，在钢缆和桥面之间竖直悬挂若干安全绳，过相邻支柱顶端的钢缆具有相同的抛

物线形状，且左、右两条抛物线关于y轴对称，左面钢缆抛物线可以用

y=x~+x+4表不.

①求左、右面两条钢缆的最低点之间的距离是多少？

②求安全绳长度(钢缆和桥面之间距离)的最小值是多少？

43.如图，二次函数y=ar2+bx+c(a/0)的图象经过点(1,0),(3,0)(2,2),

根据图象解答下列问题：

(1)直接写出方程。/+版+。=0的两个根；

(2)直接写出不等式办2+w+cWO的解集；

(3)若方程a(x-1)2+b(x-1)+c=上有两个不相等的实数根，求k的取值范

围.

44.我省某工厂为全运会设计了一款成本每件20元的工艺品，投放市场试销后发现销

售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，当售价为23元/件时，每天销售量为790

件；当售价为25元/件，每天销售量为750件.

（1）求y与x的函数关系；

（2）如果该工艺品最高不超过每件30元，那么售价定位每件多少元时，工艺厂销售

该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？

45.已知二次函数广办2+陵+3的图象经过点（一3,0）,（2,-5）.

（1）试确定此二次函数的解析式；

（2）请你判断点尸（-2,3）是否在这个二次函数的图象上？

46.如图，在RSABC中，ZACB=90°,ZA=45°,AB=4cm.点P从点A出发，以

2cm/s的速度沿边AB向终点B运动.过点P作PQAB交折线ACB于点Q,D为

PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ.设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图

形的面积是y（加小），点P的运动时间为x岳）.

d

2pBAB

（备用图）

（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为cm（用含x的代数式表示）；

（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；

（3）当0<x<2时，求y关于x的函数解析式；

（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围.

47.已知二次函数乂=加+法+。（必工0）的图象经过顶点为A.

（1）若点A的坐标是（-2,-5）：

①求该二次函数的解析式；

②把二次函数在第三象限内的部分图象记为图象G.若直线y="与图象G有且只有I

个交点，求”的取值范围；

3

（2）若直线必=以+8-1经过点A,当］<x<2时，比较/与为的大小.

48.如图，已知，二次函数卜=/+法的图像交x轴正半轴于点A,顶点为P,一次函

19

数y=^x-3的图像交X轴于点B,交y轴于点C,/0C4的正切值为

（1）求二次函数的解析式与顶点尸坐标；

（2）将二次函数图像向下平移机个单位，设平移后抛物线顶点为尸，若

SABjy=SBC/y,求/的值.

49.如图，二次函数丁=加+灰+以亦0）的图象与五轴交于43两点，与〉轴相交于

点C.连接4C、BC,A,C两点的坐标分别为4（7,0）、C（0,6）,且它的图象关于直

线x=l对称

（2）若点〃、N同时从A点出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿钻、AC边运

动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动.当运动时间为?秒时，连接

MN,将AAMN沿MN翻折，A点恰好落在8C边上的尸处，求f的值及点尸的坐标；

（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q,使得以AN,Q为顶

点的三角形与AABC相似？如果存在，请求出点。的坐标；如果不存在，请说明理

由.

正f+地》_友与X轴交于点A、

50.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=

848

B（点A在点8右侧），点。为抛物线的顶点.点C在y轴的正半轴上，C。交X轴于点

F，ACW绕点。顺时针旋转得到ACFE,点A恰好旋转到点尸，连接防.

(1)求点A、B、。的坐标;

(2)求证：四边形BbC石是平行四边形;

（3）如图2,过顶点。作。x轴于点A，点P是抛物线上一动点，过点P作

轴，点M为垂足，使得与ADRA相似（不含全等）.

①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；

②皂谈回笞这样的点尸共有几个？

参考答案：

1.B

【分析】令户0,求得y的值，即为与y轴交点坐标.

【详解】解：令x=0,则y=-5,

故二次函数与y轴的交点坐标为（0,-5）,

故选B.

【点睛】此题主要考查二次函数与坐标轴的交点，熟知坐标轴交点的坐标特点是解题的关

键.

2.D

【分析】通过了解平移过程，得到二次函数平移过程中不改变开口大小和开口方向，所以

4不变，选出答案即可.

【详解】解：抛物线y=-g』+x+l经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以。不

变，而D选项中a=-l,不可能是经过平移得到，

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数平移的知识点，上加下减，左加右减，熟练掌握方法是解题

关键，还要掌握＞=62+法+c（ax0）通过平移不能改变开口大小和开口方向，即不改变。

的大小.

3.D

【详解】试题分析：根据二次函数的性质，线段的性质，角平分线的性质，一次函数的性

质逐一作出判断：

A、由于a=-lV0,则抛物线开口向下，所以A选项的说法正确；

B、两点之间线段最短，所以B选项的说法正确；

C、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以C选项的说法正确；

D、当k=-l,y随x的增大而减小，所以D选项的说法错误.

故选D.

考点：1.二次函数的性质；2.线段的性质；3.角平分线的性质；4.一次函数的性质.

4.A

【分析】根据二次函数的定义选择正确的选项即可.

【详解】解：A、尸（2x-l）2%2一以-1是二次函数，故本选项符合题意；

答案第1页，共38页

产（x+1）2-x2=x2+2x+1-x2=2x+1,是一次函数，故本选项不合题意；

C、尸依2当。等于0时，它不是二次函数，故本选项不合题意；

D、y=2x+3是一次函数，故本选项不合题意.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如y=ax2+6x+c

（〃、b、c是常数，房0）的函数，叫做二次函数.

5.B

【分析】求出抛物线平移后的顶点坐标，然后利用顶点式写出即可.

【详解】解：：抛物线y=2/的顶点坐标为（0,0）,

.•.将抛物线y=2,向右平移1个单位长度，在向上平移2个单位长度后，所得的抛物线的

顶点坐标为（1,2）,

•••平移后所得的抛物线的解析式为y=2（x-l『+2.

故选：B

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定抛物线解析式求解更

简便.

6.B

【分析】写出原二次函数的顶点坐标，再求出平移后的顶点坐标，写出解析式即可.

【详解】解：y=2V+l的顶点坐标为（0,1）,将抛物线），=2/+1向左平移2个单位，

向上平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标为（-2,4）,抛物线表达式为

y=2（x+2）2+4,

故选：B.

【点睛】本题考查了抛物线的平移，解题关键是熟记抛物线平移变化规律，准确进行判

断.

7.B

【分析】因为y=-（x-iy+2是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标.

【详解】解：抛物线解析式为y=-（x-iy+2,

二二次函数图象的顶点坐标是（L2）.

答案第2页，共38页

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向,

顶点坐标（对称轴），最大（最小）值，增减性等.

8.D

【分析】将户0依次代入计算即可判断

【详解】A.当x=0时，■无意义，不经过原点，故本选项错误；

X

B.当k0时，尸3,不经过原点，故本选项错误；

C.当时，产1,不经过原点，故本选项错误；

D.当x=0时，y=0,经过原点，故本选项正确.

故选D.

【点睛】此题考查了各函数图象上点的坐标特征，理解原点的坐标为（0,0）,正确计算是

解题的关键.

9.B

【分析】①由抛物线的对称轴为负可得出。、匕同号，进而可得出而>0,①正确；②由当

x=l时”0,可得出a+6+cyO,②正确；③根据抛物线的对称轴为直线x=-g,可得

33

出。=二〃，结合当产一1时y>0,可得出一b-b+c>0,即b+2c>0,③错误；④由当

22

X<-g时，可得出），随X的增大而增大，④错误.综上即可得出结论.

【详解】解：①，抛物线的对称轴为直线'=-!,

h八

..---<0,

2a

「•〃、b同号，即而>0,①正确；

②当x=l时，y<0,

.\a+h+c<0,②正确；

③抛物线的对称轴为直线X=-；,

b_1

,,一五一5，

3,

/.a=—b.

2

当X=-1时，y>0,

答案第3页，共38页

3

:.a-h-^c>09Wfl-h-h+c>0f

:.h+2c>0f③错误；

④当X<-；时，)，随X的增大而增大，故④错误.

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，观察函数图象，逐一分析四个选项的正

误是解题的关键.

10.B

【分析】由题意可得方程62+云+C=0的两个根是-3,1,方程在y的基础上加m,可以

理解为二次函数的图象沿着y轴平移m个单位，由此判断加m后的两个根，即可判断选项.

【详解】二次函数y=a?+"+c的图象经过(-3,0)与(1,0)两点，即方程加+bx+c=0的

两个根是-3和1,

+瓜+c+m=o可以看成二次函数y的图象沿着y轴平移m个单位，得到一个根3,

由1至IJ3移动2个单位，可得另一个根为-5.由于OVnVm,

可知方程ax'+bx+c+〃=O的两根范围在-5—3和1~3,

由此判断B符合该范围.

故选B.

【点睛】本题考查二次函数图象与一元二次方程的综合,关键在于方程加减任意数值可理解

为在图像上进行平移.

11.C

【分析】根据二次函数平移的性质进行解题即可；

【详解】解：•••将抛物线向右平移2个单位后得到y=Y,

二抛物线y=V向左移2个单位得原函数解析式y=(x+2『，

故选：C.

【点睛】本题主要考查二次函数图象平移的性质，掌握二次函数图象平移的性质是解题的

关键.

12.C

【分析】先把x=-3代入方程x2+bx+c=0得3b-c=9,利用整体代入的方法计算出自变

量为-3对应的函数值为27,从而可判断抛物线经过点(-3,27).

答案第4页，共38页

【详解】把x=-3代入方程代+bx+c=O得9-3b+c=0,则3b-c=9,

当x=-3时，y=2x2-bx-c=18+3b-c=18+9=27,

所以二次函数y=2x2-bx-c的图象必过点(-3,27).

故选C.

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常

数，a/))与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.也考

查了二次函数的图象上点的坐标特征.

13.B

【分析】根据二次函数的图象和一次函数与x轴，与＞轴的交点可得相关图象进行判断.

【详解】解：由一次函数y=x+a可知，一次函数的图象与X轴交于与y轴交于点

(0,4),

由二次函数丫=改?-.可知，抛物线与x轴交于(-1,0)和(1,0),顶点为(0,-。)，

观察四个选项A、C、D都不可能，

选项B中，由直线经过一、三、四象限可知a＜0,由抛物线可知开口向下，顶点在的正

半轴，则。＜0,故B有可能；

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象，函数图象与坐标轴的交点，以及

函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的

性质解答.

14.C

【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可.

【详解】解：抛物线y=V向右平移3个单位长度得到的抛物线是y=(x-3广

故选：C

【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键.

15.D

【分析】根据抛物线y=(m-1)x2-(2m+3)x+m+1与坐标轴的交点不超过2个，可知该

抛物线与x轴有一个交点或没有交点或者是与x轴两个交点，其中一个交点过原点，从而

可以求得m的取值范围，注意

答案第5页，共38页

【详解】解：抛物线y=(m-lW-(2m+3)x+m+l与坐标轴的交点不超过2个，

[[-(2m+3)『-4x(m-l)x(m+l)<0,

解得,mM-苣13，

②经过原点时也符合情况，即m+l=O,解得m=-l,

故选D.

【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键

是明确题意，利用二次函数的性质解答

16.D

【分析】根据四个选择项，可知要判断的问题是C在A3的什么位置时，S有最大或最小

值.由于点C是线段A8上的一个动点，可设4C=x,然后用含x的代数式表示S,得到S

与x的函数关系式，最后根据函数的性质进行判断.

【详解】解：如图，AACQ与ABCE是分别以AC和CB为一边作的等边三角形，分别过点

D、E作。M_LAC,ENLBC,垂足分别为MN,

D

AMCNB

设AC=xf则CB-1-%,

,•"。。与"叱是等边三角形，DMLAC,ENA.BC,

AM=-AC=-x,C7V=-BC=-(l-x),

：.2222V7

/.DM=y]AD2-AM2=卜_&)=^-x,

EN=yjCE2-CN2=J(l-x)2-[|(l-x)j=-?(1),

㈤亭一)=史Tj+小

：.S=-AC.DM+-BC.EN=-x.—x+-(]-

22222V

答案第6页，共38页

.•.当X=g时，s最小，此时，C是AB的中点.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数与几何结合问题，解决本题的关键是需建立二次函数的关系

式，然后利用抛物线的顶点公式求解.

17.A

【分析】①由折叠的性质可知，△3EF和OG”是等腰直角三角形，由此即可判断①的正

误；

②由折叠的性质可知，BEFBAC,得出==3,同理则1可判断②

44

的正误；

③利用六边形4MC/7G面积=正方形ABCD的面积-ZXEB尸的面积-GDF的面积得到函数

关系式，从而即可确定最大值；

④利用六边形AEFCHG的周长为AE+防+尸。+。7+〃6+46即可判断@的正误.

【详解】正方形纸片ABCD,翻折Z43C、ZADC,使两个直角顶点重合于对角线8。上一

点、P,

，/XBEF和二DGH是等腰直角三角形，

二当AE=1时，重合点P是BD的中点，

二点P是正方形ABCD的中心，

故①正确；

正方形纸片ABCD,翻折乙钻C、ZADC,使两个直角顶点重合于对角线30上一点P,

:.BEFBAC.

BEEF

,AB-AC

3

即5_EF,

AC

3

:.EF=-AC

4

答案第7页，共38页

同理，GH=-AC.

4

:.EF+GH=AC,

故②错误：

六边形AEECHG面积=正方形ABCD的面积-△£»尸的面积-GDF的面积，

:AE=x,

，六边形AEFCHG面积为：

22--BE-BF--GDHD

22

-4--(2-x)(,2-x)--x-x

22

———x?+2x+2

———(x—1)~+3

...六边形AEFC77G面积的最大值为3,

故③错误；

当0<x<2时，

EF+GH=AC.

六边形AEEC7/G的周长为

AE+EF+FC+CH+HG+AG

=(AE+CH)+(FC+AG)+(EF+GH)

=2+2+2夜

=4+20

故④正确；

•••错误的是②③，

故选：A.

【点睛】本题主要考查折叠的性质，相似三角形的判定及性质，二次函数的最值，掌握折

叠的性质，相似三角形的判定及性质，二次函数的性质是解题的关键.

18.D

【分析】分别计算自变量为0、2、-3和3时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特

征进行判断.

【详解】解：.当x=0时，y=x2-3x+l=l；

答案第8页，共38页

当x=2时，y=X2-3x+l=-1；

当x=-3时,y=x2-3x+l=19；

当x=3时，y=/-3x+l=l；

...点(3,1)在抛物线y=f-3x+l上.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析

式，解题的关键是正确的计算.

19.C

【详解】试题分析：首先由二次函数y=(x-1)2+(x-3)2与y=(x+a)2+(x+b)2的图

象关于y轴对称，即可求得丫=(x+a)2+(x+b)2的解析式，然后根据整式相等的性质，

求得2a+2b=8,a2+b2=10,又由(a+1)2+(1+b)2=a2+b2+2a+2b+2,即可求得答案.

解：,二次函数y=(x-1)2+(x-3)2与丫=(x+a)2+(x+b)2的图象关于y轴对称,

y=(x+a)2+(x+b)2的解析式为：y=(-x-1)2+(-x-3)2,

即y=2x2+8x+10,

又.；y=(x+a)2+(x+b)2=2x2+(2a+2b)x+a2+b2,

2a+2b=8,a2+b2=10,

(a+1)2+(1+b)2=a2+b2+2a+2b+2=10+8+2=20.

故选C.

点评：此题考查了二次函数的对称变换，注意两函数关于y轴对称，则x变为相反数，y

不变.解此题的关键是注意整体思想与方程思想的应用.

20.D

【分析】由抛物线与y轴的交点位置、对称轴方程可对①进行判断，并能求出另一个交点

为(3,0),将4-1,0)代入方程可得a+b+c=0,得到c=-3a,再由V轴的交点在(0,2),(0,3)之

间(包含端点)，可知2%与从而得到②;根据题意可知x=l时函数取得最大值，则

a+b+cNam2+bm+c从而可以判断③；因为二次函数的最大值为n,而n-l<n,所以

y=ax2+hx+c^y=n-l这条直线有两个交点，可以判断④.

【详解】:•抛物线顶点坐标为(1，〃)，

答案第9页，共38页

：.2a+b=0,故①正确；

•・,抛物线与X轴交于点4-1,0),

/.a+b+c=0,b=-2a,

.*.c=-3a,且c是函数与y轴的交点的纵坐标，

A2<c<3,

2_

A2<-3a<3即一1WaW,故②正确；

由②可知二次函数开口向下，

又•.•顶点坐标为

x=l时y取最大值，

a+b+c>am2+bm+c即a+bZam2+bm,故③正确；

二,二次函数的最大值为n,并且n-l<n,所以y=ax?+以+。与y=n-［这条直线有两个交

点，

关于x的方程at2+bx+c=n—\有两个不相等的实数根.故④正确.

故选D.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a#0),当

a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共

同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左侧；当a与b异号时

(即ab<0),对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于

(0,c)；抛物线与x轴交点个数由A决定：△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；

△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

21.>

【分析】首先求出二次函数的对称轴为x=2,然后根据二次函数的对称性得到点A的对称

点为(6,y),最后根据二次函数的增减性判断即可.

【详解】解：：y=x2-4x+c,

h-4

二二次函数的对称轴为x=-丁=-「=2,

2a2x1

•••点A关于对称轴对称的点的坐标为(6,乂)，

答案第10页，共38页

Va=1>0,

.••图像开口向上，

，当x>2时，y随x的增大而增大，

6>4,

Ji>.

故答案为：>,

【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是根据题意求出点A关于对称轴

对称的点的坐标.

22.y=-N+x+1

【分析】利用配方法可得抛物线的顶点坐标为（），-。），先确定点（；，-。）关于x轴对称

2424

的对应点的坐标，由于关于X轴对称的两抛物线开口方向相反，则可根据顶点式写出对称

后的抛物线解析式.

【详解】解：尸N-X-l=（x-；）2-匚抛物线的顶点坐标为（；，点（；，-?）关

242424

于X轴对称的对应点的坐标为（；，7）,

24

所以原抛物线关于X轴对称的抛物线的解析式为y=-（X-1）2+|,

即尸-N+x+l,

故答案为：丫=-》2+丫+1.

【点睛】本题考查了抛物线的顶点式形式的应用，轴对称图形的特征，掌握抛物线的顶点

式是解题的关键.

23.x<l（x41也可以）

【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，即可确定答案.

【详解】解：：丫=炉-2尤的对称轴为x=l且开口向上

>随x的增大而减小时x的取值范围为x<l（xWl也可以）

【点睛】本题主要考查了二次函数增减性中的自变量的取值范围，其中确定抛物线的开口

方向和对称轴是解答本题的关键.

24.y=3（x+2）2+1

【分析】根据函数图象平移规律，可得答案.

【详解】解：抛物线y=3N先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得

答案第II页，共38页

抛物线的表达式是y=3(x+2)2+1,

故答案为：y=3(x+2)2+1.

【点睛】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上

加下减.并用规律求函数解析式.

25.向下y轴(0,-3)高

【分析】根据二次函数的性质：当”<0时，抛物线的开口向下，顶点式：

2

h)+k(a,h,%是常数，a*0),其中仇行为顶点坐标，对称轴为：x=h,抛物

线的最高点可得答案.

【详解】解：函数y=-；x?—3中，

.••开口向下;

•；b=0,对称轴是y轴；

，顶点坐标是(0,-3)；

开口向下则顶点是最高点；

故答案是：向下，y轴，(0,-3),高.

【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，熟悉相关性质是解题的关键.

26.4

333

【详解】'//i=--/2+12/+0,1=--(/2-8/)+0.1=--(/-4)2+24.1,

222

.•.当7=4时，礼炮升到最高点，即从点火到引爆需要4秒钟.

故答案为:4.

3

27.—4a45

4

【分析】结合题意，根据直角坐标系和二次函数图形的性质，得分别得。=：3、。=5,再

结合矩形和二次函数图像的性质分析，即可得到答案.

【详解】当抛物线y=”经过(2,3)时,得4a=3,

._3

..a-4;

当抛物线>=经过(1,5)时，a=5,

答案第12页，共38页

3

观察函数图像，可知=工。工5,

4

3

故答案为：

4

【点睛】本题考查了二次函数、直角坐标系、矩形的知识；解题的关键是熟练掌握二次函

数图像的性质，从而完成求解.

28.8

【分析】图中所求的阴影部分的面积相当于抛物线y=oN+l向下平移2个单位时，抛物线

在-2人2的范围内所扫过的面积，即图中平行四边形的面积的2倍.

【详解】解：由题意如，抛物线产，*一1(«<0)是由抛物线)="2+1向下平移2个单位得

到的.

则图中阴影部分的面积为：2X2X2=8.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换.抛物线平移问题，实际上就是两条抛物线

顶点之间的问题，找到了顶点的变化就知道了抛物线的变化.

29.0或4

【分析】先求出抛物线的对称轴为直线x=-l,然后确定当x=4时取得最大值，代入函数解

析式进行计算即可得解.

【详解】解：y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

•••抛物线的对称轴为直线x=l,

•••当m-2WxWm<4时，x=-2时二次函数y=x?-2x-3的最大值为：y=4+4-3=5,符合题意，此

时m=0；

当m%时，x=m时二次函数y=x2-2x-3的最大值为：m2-2m-3=5,

解得mi=4,m2=-2(舍去).

综上所述，m的值为0或4都符合题意，6和-2都不符合题意.

故答案为：0或4

答案第13页，共38页

【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的对称性，确定出抛物线

的对称轴解析式是确定m的取值范围的关键，难点在于读懂题目信息.

30.<y,<y2

【分析】函数开口向下，对称轴是直线X=l,x=l函数取得最大值，故”最大，x=5比x

=-2离对称轴远，故：即可求解.

【详解】解：函数开口向下，对称轴是直线x=l,

x=l函数取得最大值，故丫2最大，

x=5比x=-2离对称轴远，故：yi>y>3

故答案是：>13<<y2

【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是找到二次函数的对称轴，根据对称性

将两个点移到对称轴同侧比较.

31.3.4

【分析】根据题意可得抛物线的对称轴为x=2.5,可求得b的值，点B的横坐标为4,代

入后可得出点3的纵坐标，继而得出人梯高BC的长度.

【详解】解：•••跳起的演员距点A所在），轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高.

二抛物线的对称轴为x=2.5,

b

.♦.x=--,3=2.5,解得：b=3,

.,.抛物线为y=y=--x2+3x+l,

•••人梯到起跳点A的水平距离是4,

...点8的横坐标为4,

3

则yB=-1X42+3X4+1=3.4,即BC=3.4米.

故答案为：3.4.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题关键是根据题意求出二次函数解析式，属

于基础题.

32.①③④

【分析】根据二次函数的性质和二次函数的图象可以判断题目中各个小题的结论是否成

立，从而可以解答本题.

答案第14页，共38页

【详解】解：由图象可知，

抛物线开口向上，则a>0,顶点在y轴右侧，则b<0,与y轴交于负半轴，则c<0,

.'.abc>Q,故①正确，

由抛物线过点(-1,0),(0,-2),(2,0),可得，

6(X(-1)2+/>X(-l)+C=0

<c=-2,

ax22+2b+c=0

a=\

得〃=T,

c=-2

：.y^x2-x-2=

i9

,顶点坐标是(；，-：),故②不正确，

24

由②可知，抛物线对称轴为一^^-=77，则-6=。，2。+〃=-Z?>0,故③正确，

当x<g时，y随X的增大而减小，故④正确，

当x=l时，y=a+b+c<0,故⑤错误，

故答案为：①③④，

【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确二次函数的性质，

利用数形结合的思想解答.

33.—2

【详解】；y=x2+bx-5=(x+yb)2-5-

.•.抛物线y=(x+gb)2-5-»2向右平移2个单位长度后所得的新抛物线的解析式为y=(x+g

b-2)2—5—b~,

4

把M(3,-6)代入得-6=(3+、b-2)2-5-5〃，

24

解得b=-2.

故选D.

34.(-3,0)%<0且厚-4

【分析】(1)求出二次函数与x轴的交点坐标，再根据了=日+3%(%70)可得

答案第15页，共38页

y=A（x+3）,当x=—3时，y=0,故过定点（—3,0）即可解答

（2）根据⑴得G，g过定点（—3,0）,4与x轴交于点（—3,0）,（1,0）结合

G，G的交点横坐标为毛，演且当<々<1,可得C?过二，四象限，则&<0,再利用

G，C?有两个交点，联立△>（）,即可求解

【详解】（1）3»=x2+2x-3=（x-l）（x+3）

.,.令y=0,贝ijx=-3或x=1

・•・与x轴交于点（-3,0）,（1,0）

y=fcr+3Z=Z（x+3）

当x=—3时，产。，

，过定点（-3,0）

・•・G，G过定点P（-3,0）

（2）•.二次函数G开口向上，G，过定点（一3,0）,G与X轴交于点（一3,0）,