北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明 教学设计（含教学反思）

第七章平行线的证明

7.1为什么要证明.........................................................-1-

7.2定义与命题...........................................................-4-

7.3平行线的判定.......................................................-12-

7.4平行线的性质.......................................................-16-

7.5三角形内角和定理...................................................-20-

7.1为什么要证明

教学目标

【知识与能力】

1.体会通过观察、猜想、归纳等得到的结论不一定正确，使学生对由这些方法得到的结论产生怀

疑,从而认识到证明的必要性.

2.理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法:试验验证、举出反例推理证明等，理解数学

的严谨性.

【过程与方法】

通过观察、猜想、推理的过程,发展学生的探索意识与合作交流的意识.

【情感态度价值观】

发展学生的探索意识以及合作交流的习惯;关注现实，培养学生进行深入思考的能力和质疑精

神.

教学重难点

【教学重点】

理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明，理解并掌握应用实验进行证明、举反例验证、利

用推理论证来验证某些结论是否正确的方法.

【教学难点】

体会数学推理的重要性和必要性.

课前准备

多媒体课件三角板等

教学过程

一、创设情境，导入新课

教材第162页“做一做”上方的问题.

【教学说明】让学生通过观察、实验、归纳等方法初步体会得到的结论是否正确.

二、思考探究，获取新知

验证结论的正确性.

做一做：

教材第162页“做一做”.

【教学说明】（1）中让学生体会数学教学中从特殊到一般的思想方法；（2）中利用先猜想

再验证的方法；培养学生从不同的角度来用不同的数学方法解决实际问题.

【归纳结论】实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一个数

学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明.

三、运用新知，深化理解

1.最近有很长一段时间没有下雨了.并且今天是施阳高照，那么晚上不会下雨，这个判断是

的.（填“JF确”或“不正确”）

2.下列说法不正确的是（）

A.若N1=N2,则N1与N2是对顶角.

B.若N1与N2是对顶角，则N1=N2.

C.若直线a//b,a±c,则b±c.

D.若Nl+/3=90°,N2+N3=90°,则N1=N2.

3.如图，甲沿着ACB由A到B,乙沿着ADEFB由A到B,同时出发，速度相等，则（）

A.甲先到B.乙先到C.甲乙同时到D.不确定

4.在梯形ABCD中，AD〃BC,点E、F分别是AB、CD的中点，连结EF,EF与AD和BC有怎样

的位置关系和数量关系？你的结论对所有的梯形都成立吗？

5.当a=l,b=2时，12+22>2X1X2;3a=-l,b=3W,（-1）2+32>2X（-L）X3：当a=一，力:一3

2

时，（--）2+（-3）2>2X（-L）x（—3）.于是猜想：对于任意实数总有a?+b2>2ab成立.这个结论

22

正确吗？说明理由.

【教学说明】让学生独立完成，检查学生对于所学知识的掌握程度，根据反馈的情况适当

查漏补缺，有困难的学生采用互相交流的形式得出结论.

【答案】1.不正确；2.A;3.C

4.EF〃AD〃BC.EF=1(AD+BC).这个结论对所有的梯形都成立.

2

证明：连结AF并延长交BC的延长线十点G.VAD/7BC,AZD=ZFCG,ZDAF=ZG,XVF是

CD的中点，.・・DF=CF,•••△ADFgaGCF(AAS),・・・AD=CG,AF=GF.又丁E是AB的中点，，AE=BE,.二EF二

-BG=-(BC+CG)=-(BC+AD).

222

5.解：不正确.当a=b时，a2+b2=2ab,找得到实数a、b,如a=b=l,使得a2+b2=2ab成立,因

为对于任意的实数a、b都有a2+b2-2ab=(a-b)成立,所以£+b222ab成立,而不是a2+b2>2ab.

四、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习，经过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是

怎样判断一个结论是否正确？说说你的经验与困惑，与同学交流.

【教学说明】让学生大胆发言，进行知识的提炼和归纳总结，与同学交换意见相互补充，

利于共同提高.

板书设计

1为什么要证明

例1例2

必要性

解：解：

课后作业

1.布置作业：习题7.1中的第1、2、3题.

2.完成练习册中本课时相应练习.

教学反思

学生的直观判断、实验操作得出的结论可能带有极大的片面性.数学是一门科学，讲究的是

周密的计算和合乎逻辑的推理证明，不能想当然，让学生在学习过程中不断去体会.

7.2定义与命题

第1课时定义与命题

教学目标

【知识与能力】

1.理解定义、命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果……那么……”的

形式；（重点）

2.了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对假命题举反例.（难点）

【过程与方法】

在实例中体会定义、命题的含义，通过举反例判断一个命题是假命题.

【情感态度价值观】

通过举反例的方法来判断一个命题是假命题，说明任何事物都是正反两方面的对立统一体.

教学重难点

【教学重点】

理解命题的概念，找出命题的条件和结论.

【教学难点】

正确找出命题的条件和结论.

课前准备

课件.

教学过程

第一环节：情景引入

活动内容（由学生表演）：

小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.

小亮说：...

小刚说：“是的，现在因特网广泛运用于我们的生活中，绐我们带来了方便，但……”

小亮说：“……”

小刚说：“……”

小亮说：“哈!，这个黑客终于被逮住了……

坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄议论着：

一人说：“这黑客是个小偷吧？”

另一人说：“可能是喜欢穿黑衣服的贼.”……

一人说：“那因特网肯定是一张限大的网.”

另一人说：“估计可能是英国造的特殊的网.”……（表演结束）

，教师提出问题：在这个小品中，你得到什么启示？

（人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行.为此，我们需

要给出它们的定义.）

这黑客是个I彳能是3欢

小偷穿M衣瓜的贼.

①关于“黑客”对话的片断来引入生活中交流时必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行；

②对定义含义的解释；

③举例说明生活中和数学学习中所熟知的定义（学生举例，看哪个小组的举例又多又好）；

活动n的：

让学生通过对一个学生比较感兴趣的名词：“黑客”“因特网”的不同理解，从而使学生了解定

义的含义.

教学效果：

很多学生对黑客的概念是很熟悉的，而小品中出现的黑客的定义与自己所熟知的黑客的概念完

全不同，由此产生了对定义的兴趣.

第二环节：命题含义

活动内容：

①师：如果B处水流受到污染，那么一处水

流便受到污染；

如果C处水流受到污染，那么一处水流便受到

污染；

如果D处水流受到污染，那么-一处水流便受

到污染：

②学生自编自练:如果一处水流受到污染,

那么处水流便受到污染.

（［生甲］如果8处工厂排放污水，那么力、B、C.〃处便会受到污染.

［生乙］如果8处.工厂排放污水，那么反F、G处也会受到污染的.

［生丙］如果。处受到污染，那.么月、B、。处便受到污染.

［生丁］如果。处受到污染，那么〃处也会受到污染的.

［生戊］如果£处受到污染，那么4B处便会受到污染.

［生己］如果H处受到污染，我认为是A处的那个工厂或8处的那个工厂排放了污水.因为力处

工厂的水向下游排放，8处工厂的污水也向下游排放.

老师归纳：同学们在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断.像这样，对事情作出判

断的句子，就叫做命题.

即：命题是判断一件事情的句子.如：

熊猫没有翅膀.

对顶角相等.

大家能举出这样的例子吗？

［生甲］两直线平行，内错角相等.

［生乙］无论〃为任意的自然数，式子/一向U的值都是质数.

［生丙］内错角相等.

［生丁］任意一个二角形都有一个直角.

［生戊］如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

［生己］全等三角形的对应角相等.

［师］很好.大家举出许多例子，说明命题就是肯定一个事物是什么或者不是什么，不能同

时既否定又肯定，如：

你喜欢数学吗？

作线段力后a

平行用符号表示.

这些句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它们就不是命题.

一般情况下：疑问句不是命题.图形的作法不是命题.)

活动目的：

通过对水流的污染问题引入命题的概念，使学生了解命题的含义，会判断某些语句是不是命题.

教学效果：

命题的判断只有两种形式，要么肯定，要么否定.作判断时，必须泾渭分明，不能模棱两可；二

是命题的句子只能是完整的句子，对一件事情的前因后果应叙述完整.从语法上讲，它应是陈述

句，不能是祈使句、疑问句或感叹句.

第三环节：反馈练习

活动内容：

1.你能列举出一些命题吗？

答案：能•举例略.

2.举出一些不是命题的语句.

答案：如：①画线段4?=3cm.

②两条直线相交，有几个交点？

③等于同一个角的两个角相等吗？

④在射线出上，任取两点8、C.等等.

活动目的：

训练与反馈

教学效果：

一般都能正确解答.

第四环节：课堂小结

活动内容：

①定义的含义：对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定，就是它们的定义：

②命题的含义：判断一件事情的句子，叫做命题，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判

断，那么它就不是命题.

活动目的：

通过课后的总结，使学生对定义、命题等概念有更清楚的认识，让学生在头脑中对本节课进行

系统的归纳与整理.

教学效果：

学生在有了前面对定义、特别是命感概念的学习后，能了解命题的结构，以及哪些是命题，使

学生对命题的学习有了清楚的认识.

第五环节课后练习

学习小组搜集八年级数学课本中的新学的部分定义、命题，看谁找得多.

教学反思

本节课的设计具有如下特点：

（1）采用了“小品表演”的形式引入新课，意在激起学生对数学的兴趣，让学生知道，数

学不是枯燥无味的.并能从表演中不同的人对“黑客”这个名词的不同理解更好地悟出“定义”

的含义.

（2）在教学设计.中，充分展示学生的语言表达能力，力图通过学生的自主学习来体现学生

的主体地位.，教师则通过对学生的启发、调整、激励来实现自己的主导地位.

（3）“什么是定义？什么是命题？”，关于这方面的教学更象是文科的教学，但我们注重的

不是让学生去死记硬背这些名词的葩释，而应侧重于对这些名词的理解.

第2课时定理与证明

教学目标

【知识与能力】

1.了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的公理；

2.体会命题证明的必要性，体验数学思维的严谨性.

【过程与方法】

通过对公理的认识，明确证明需要公理和定理.

经历实际情境，初步体会公理化的思想和方法.

【情感态度价值观】

通过从具体例子中提炼数学概念，培养学生思维的严密性和逻辑性.

结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生做到有理有据，有条理地表达自己的想法的良

好意识，培养语言表达能力.

教学重难点

【教学重点】

理解公理、证明和定理的概念.

【教学难点】

理解公理与定理的区别，写出有理有据的证明过程.

课前准备

幻灯片.

教学过程

第一环节：回顾引入

活动内容：

①什么叫做定义？举例说明.②什么叫命题？举例说明.

活动目的：回顾上节知识，为本节课的展开打好基础.

教学效果：

学生举手发言，提问个别学生.

第二环节：探索命题的结构

活动内容：

①探讨命题的结构特征

观察下列命题，发现它们的结构有什么共同特征？

（1）如果两个三角一形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等.

（2）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等.

（3）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形.

(4)如果一个四边的对角线相等，那么这个四边形是矩形.

(5)如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形.

②总结命题的结构特征

(1)上述命题都是“如果……，那么……”的形式.

(2)“如果……”是已知的事项，“那么……”是由已知事项推断出的结论.

(3)一般地命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是

条件，“那么”引出的结论，每个命题都有条件和结论.

活动目的：对命题的结构进行分析，让学生会判断一个命题的条件和结论.

教学效果：

分小组交流讨论，教师引导进行归纳.

应告诫学生当一个命题改写成“如果……那么……”的形式时，要注意改写时不要机械地添上

“如果”和“那么”，应适当地补充一些修饰语句，使改写后的语句通Mb完整.

第三环节：思考探讨

活动内容：

①找出下述命题中的条件和结论，指出它们哪些是正确的命题？哪些是不正确的命题？你

又是如何知道的呢？

(1)如果两个角相等，那么它们是对顶角；

(2)如果b>c,那么a=c；

(3)两角,和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；

(4)菱形的四条边都相等；

(5)全等三角形的面积相等.

②探究真假命题的验证

说明一个命题是假命题，通常举出一个反例就可以了，使之具备命题的条件，而不具有命题的

结论，这种例子称为反,例，但是要说明一个命题是正确的无论验证多少个特例，也无法保证命

题的正确性.如何验证命题的正确性呢？

结论：正确的命题称为真命题，不正确的.命题称为假命题.

活动目的：使学生了解命题有真假之分，并且知道怎样去判断真假命题.

教学效果：

分组交流、讨论、教师引导使得学生形成共识.

在对前面5个命题的真伪进行判断的基础上，大多数学生已经对命题的真假性有了初步的判断,

但有部分学生误认为假命题不是命题.

第四环节：读一读

活动内容：

①介绍《几何原本》、公理、定理等知识.

在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题.公元前3世纪，人们已经积累了大量知

识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（公元前300前后）编写了一本书，书名叫《原本》,

为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创新，挑选了一部分数学名词和一

部分公认的真命题作为证实其它命感的起始依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称

为公理，除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，推理的过程称为证明，经

过证明的真命题称为定理，而证明所需要的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理

的前面.

《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍象《原本》这样编排，因此，《原本》是一

部具有划时代意义的著作.

②公理、定理、概念和证明的关系.

③介绍本教材的公理.

1.两点确定一条直线.

2.两点之间线段最短.

3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.

5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.

6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.

7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.

8.三边对应相等的两个三角形全等.

此八条基本事实前面己详细探索过，不必验证它们的正确性，可以直接用来证实其它命题

的正确性，另外一条我们将在以后认识它.此外等式和不等式的有关性质也可看作公理.比如:

如果a=b,b=c,那么a=c.

@读一读《原本与几何原本》

活动目的：培养学生公理化思想和方法，养成科学、严谨思维习惯.

教学效果：

乐取教师讲解与学生习读相结合的方式.

第五环节：课堂反思与小结

活动内容：

本节课的重点是了解命题中的真假命题、公理、定理的含义，通过学习学会区分命题的条件、

结论，学会判别真、假命题，理解反例、证明等概念.

活动目的：

帮助学生归纳本节课所学知识，对本节课有一个系统的认识-从而能准确地区分命题的真

假性，了解命题,结构中的条件与结,论.

教学效果：

学生能自行归纳本节课的知识,形成了较为清晰的知识脉络.

习题7.7第1、2、3题

教学反思

本节课的教学看似很容易，但要让学生真正弄清命题的含义，理清命题的构成并不容易，

更多的学生只是能机械地将一个命题改写成“如果……那么……”的形式，往往改写的语句不

够通顺、完整.因此，在教学中，进行适当的巩固练习是必要的，但要注意，应允许部分学生在

课余时间自行消化.

在探讨命题的结构特征和修改命题形式时，有的学生可能会说出比较幼稚、甚至可笑的语

句，尽管如此，也应让学生大胆说出自己的意见，避免学生机械模仿，要允许学生有错误，并

能在自行改正错误中调整前进.

73平行线的判定

教学目标

【知识与能力】

1.了解并掌握平行线的判定公理和定理；

2.了解证明的一般步骤.

【过程与方法】

通过经历利用平行线的第一个判定定理简单论证平行线的另两个判定定理的过程，进一步掌握

平行线的判定方法，领悟归纳和转化数学思想方法.

【情感态度价值观】

通过判定定理的证明、推导，进一步发展空间观念，培养逻辑思维能力.

教学重难点

【教学重点】

平行线判定定理的推导

【教学难点】

判定定理的证明

课前准备

课件.

教学过程

第一环节：情景引入

活动内容：

回顾两直线平行的判定方法

师：前面我们探索过直线平行的条件.大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？

生1：在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线.

生2：两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行.

生3：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行.

师：很好.这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的.

上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题.除公理、定义外，其他真命题都需要通过推

理的方法证实.

我们知道：.“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义.“两条直线被第三

条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理.那其他的三个真命题如何证实

呢？这节课我们就来探讨.

活动目的：

.可顾平行线的判定方法，为下一步顺利地引出新课埋下伏笔.

教学效果：

由于平行线的判定方法是学生比较熟悉的知识，教师通过对话的形式，可以使学生很快地回

忆起这些知识.

第二环节：探索平行线判定方法的证明

活动内容：

①证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

师：这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言.所以根据

题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：

如图，已知，N1和N2是直线a、6被直线c截出的同旁内角，且N1/

与N2互补，求证：a//b.a-----------寸-

如何证明这个题呢？我们来分析分析./

师生分析：要证明直线H与方平行,可以想到应用平行线的判定公理---------

来证明.这时从图中可以知道：N1与N3是同位角，所以只需证明/

1=Z3,则a与方即平行.

因为从图中可知N2与N3组成一个平角，即N2+N3=180",所以：Z3=180°-Z2.又

因为已知条件中有N2与N1互补“即：Z2+Zl=180°，所以Nl=180°—N2,因此由等量代换

可以知道：Z1=Z3.

师：好.下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写.（在书写的同时说明：符号“・・•”

读作“因为”，“・♦・”读作“所以”）

证明：・・・/1与/2互补（已知）...N1+N2=18O°（互补定义）

.-.Zl=180°-Z2（等式的性质）VZ3+Z2=180°（平角定义）

AZ3=180°-Z2（等式•的性质）

・・・N1=N3（等量代换）

・・・a〃方（同位角相等，两直线平行）

这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的

判定定理.

这一定理可简单地写.成：同旁内角互补，两直线平行.

注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据.用来证明新定理.（2）

证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件.，也可以是定义、

公理，已经学过的定理.在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内.

②证明：内错角相等,两直线平行.

师：小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？（见相关动画）

生：我认为他的作法对.他的作法可用上图来表示：/0245°，/吩45°.因为/婀与N

砌组成一个平角，所以/咫仁180°—/比片180°-45°=135°,而/废与/防I是同旁内

角.且这两个角的和为180°,因此可知：CDH的.

师：很好.从图中可知：NG喈与/侬是内错角.因此可知：“内错角相等，两直线平行”是

真命题.下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程.

师生分析：已知，N1和N2是直线a、b被直线。截出的内错角，且N1=N2.

求证：a//b

证明：VZ1=Z2（已知）Zl+Z3=180°（平角定义）

/.Z2+Z3=180°（等量代换）・・・N2与N3互补（互补的定义）.二a〃方（同旁内

角互补，两直线平行）.

这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：内错角相等，两直线平行.

③借助“同位角相等，两直线平行"这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？

生1：已知，如图，直线a_Lc,b_Lc求证：a//b.

证明：,.,a_Lc,6_Lc（已知）

AZ1=90°Z2=90°（垂直的定义）

・・・N1=N2（等量代换）

・・・b〃a（同位角相等，两直线平行）

生2：由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论.

师：同学们讨论得真棒.下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理.

活动目的：

通过对学生熟悉的平行线判定的证明，使学生掌握平行线判定公理推导出的另两个判定定

理，并逐步掌握规范的推理格式.

教学效果：

由于学生有了以前学习过的相关知识，对几何证明题的格式有所了解，今天的学习只不过

是将原来的零散的知识点以及学生片面的认识进行归纳，学生的认识更提高一步.

第三环节：反馈练习

活动内容：

课本第231页的随堂练习第一题

活动Fb的：

巩固本节课所学知识，让教师能对学生的状况进行分析，以便调整前进.

教学.效果：

由于此题只是简单地运用到平行线的判定的三个定理（公理），因此，.学生都能很快完成此

题.

第四环节：学生反思与课堂小结

活动内容：

①这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明.同学们来归纳一下完成下表:

判定文字叙述符号语音图形

同位角相

第vzi=

等，两直线已知〕

种

平行〃汉）

同旁内角互VZ2+Z4=

第

补，两直线180“已知）

祎

平行二。〃汉）工

第内错角相VZ2=

三

（

种等，两直线43已知）

平行:区）

②由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系；而应用这些

公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角.

③注意：证明语言的规范化.推理过程要有依据.

活动目的：

通过对平行线的判定定理的归纳，使学生的认识有进一步的升华，再一次体会证明格式的

严谨，体会到数学的严密性.

教学效果：

学生充分认识到证明步骤的严密性，对平行线判定的三个定理有了更进一步的认识.

课后作业：课本第232页习题6.4第1,2,3题

思考题：课本第233页习题6.4第4题（给学有余力的同学做）

教学反思

平行线是众多平面图形与空间图形的基本构成要素之一，它主要借助角来研究两条直线之

间的位置关系，即通过两条直线与第三条直线相交所成的角来判定两条直线平行与否，在教学

中，要紧紧围绕这些角（同位角、内错角、同旁内角）与平行线之间的关系展开。

7.4平行线的性质

教学目标

【知识与能力】

经历证明平行线性质的过程，进一步掌握平行线的性质，并了解证明的方法与步骤.

【过程与方法】

经历观察、操作、推理、交流等学习活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能

力.

【情感态度价值观】

推导、论证定理正确性的过程，有利于培养学生严谨的逻辑思维能力，让学生领悟数学的魅力，

增强他们对数学的兴趣.

教学重难点

【教学重点】

数学证明平行线的性质.

【教学难点】

运用严谨、科学的方法进行数学证明.

课前准备

课件.

教学过程

第一环节：情境引入

活动内容：

一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的角NB三三3多是

130°,第二次拐的角NC是多少度？B

说明：这是一个实际问题，要求出/C的度数，需要我们研究与判定相反的问题，即已知两条

直线平行，同位角、内错角、同旁内角有什么关系，也就是平行线的性质.

活动目的：

通过对一个实际问题的解决，引出平行线的性质.

教学效果：

由于学生对平行线的性质比较熟悉，因此，在学生回忆起这些知识后，能很快解决实际问题.

第二环节：探索与应用

活动内容：

①画出直线AB的平行线CD,结合画图过程思考画出的平行线，被第三条直线所截的同位角的

关系是怎样的？

②平行公理：两直线平行同位角相等.

③两条平行线被第三条直线所截，同位角是相等的，那么内错角、同旁内角有什么关系呢？

•・・a〃b（已知）,

・・・/1=/2（两条直线平行，同位角相等）

・・・N1=N3（对顶角相等），

・・.N2=N3（等量代换）.

师：由此我们又得到了平行线有怎样的性质呢？

学生活动：同学们积极举手回答问题.

教师根据学生叙述，给出板书：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.

师：下面请同学们自己推导同旁内角是互补的.并归纳总结出平行线的第三条性质.请一名同

学到黑板上板演，其他同学在练习本上完成.师生共同订正推导过程并写出第三条性质，形成

正确.板书.---------a

•・，a〃b（己知）----—b

・・.N1=N2（两直线平行，同位角相等）

・・・N1+N4=18O°（邻补角定义〕

・・・N2+N4=180"（等量代换）

即：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成，两直线平行，同旁内角互补

师：我们知道了平行线的性质，在今后我们经常要用到它们去解决、论述一些问题，所需要知

道的条件是两条直线平行，才有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，即它们的符号语言

分别为：

Va/7b,

・・・N1=N2（两直线平行，同位角相等）.

・・・a〃b（已知），

・・・N2=N3（两直线平行，内错角相等）.

•・・a〃b（已知），

・・・N2+N4=180°.（两直线平行，同旁内角互补）

（板书在三条性质对应位置上）

活动目的：

通过对平行线性质的探索，使学生对证明的步骤、格式有更进一步的认识，认识证明的必要性.

教学效果：

在前面复习引入的基础卜.通过学生的观察、分析、讨论.此时学生已能够进行推理.在这里

教师不必包办代替，充分调动学生的主动性和积极性，进而培养学生分析问题的能力，在学生

有成就感的同时也激励了学生的学.习兴趣.

第三环节：课堂练习

活动内容：

①已知平行线AB、CD被直线AE所截

（1）若Nl=110°,可以知道N2是多少度吗？为什么？

（2）若，可以知道N3是多少度吗？为什么？

.（3）若Nl=110。，可以知道N4是多少度吗，为什么？

②变式训练：如图是梯形有上底的一部分，已知量得NA=115°

10.0°,梯形另外两个角各是多少度?

解：・・・AD〃BC（梯形定义），

AZA+ZB=180°.ZC+ZD=180°C两直线平行，同旁内角互补）,

AZB=1800-ZA=180°-115°=65°.

AZC=1800-ZD=130°-100°=80°.

③变式练习：如图，已知直线DE经过点A,DE〃BC,NB=44°

DNDAB等于多少度？为什么？

⑵NEAC等于多少度？为什么？

3)NBAC、ZBAC+ZB+ZC各等于多少

④如图，A、B、C、D在同一直线上，AD〃EF.

(1)ZE=78°时，Nl、N2各等于多少度？为什么？

(2)NF=580时，N3、N4各等于多少度？为什么？

活动目的：

通过学生对证明的螺旋式上升的认识，更认•识到数学严密性与证明的必要性，做到每一步都有

根有据.

教学效果：

在教师不给任何提示的情况下，学生独立完成，把理由写成推理格式.对于学习困难一点的同

学允许他们相互之间讨论后,再试着在练习本上写出解题过程.对学生中出现的不同解法给予肯

定，培养学，生的解.题能力.

第四环节：课堂反思与小结

活动内容：

①归纳两直线平行的判定与性质

1.同位角相等

两直线平行磬

2.内错角相等

rllJE3.同旁内角互补

②总结证明的一般思路及步骤

活动目的：

使学生认识到平行线的判定与性质是一对互逆定理，并由感性认识上升到理性认识，归纳总结

出证明题的一般思路及步骤.

教学效果：

应让学生积极讨论，说出平行线的判定及性质，由角的关系得到两条直线平行的结论是平行线

的判定，反过来，由已知直线平行，得到角相等或互补的结论是平行线的性质，能通过具体实

例，使学生在有充足的感性认识的基础上上升到理性认识，总结出平行线性质与判定的不同，

总结证明的一般步骤，养成严谨的推理习惯.

课后练习：课本的习题6.4第1,2,3题

教学反思

语言是思维的工具，要学好证明，必须学会语言的表达和运用，初学几何证明题时，学生

对于几何语言不甚清楚，几何语言分为文字语言、符号语言和图形语言，老师有必要强调：将

图形语言和符号语言相结合是学好证明的基本功，画图时按要求将符合题意的图形画出来.但要

注意以下几点：

(1)注意所画图形的多种情况；

(2)能根据题意画出简单的图形，掌握“题”与“图・”的对应关系，一般图形不要画成特殊

图形，否则就意味着人为增加了已知条件，反之，特殊图形也不要画成一般图形，这两种做

法都没有真实的表达题意；

(3)图形力求准确，便于观察,有利于解题.

7.5三角形内角和定理

第1课时三角形内角和定理

教学目标

【知识与技能】

掌握“三角形内角和定理”的证明及简单的应用.

【过程与方法】

通过一题多变,建立思考情境,形成独立思考、合作交流的学习模式，培养理性说理能力.

【情感态度价值观】

培养学生创造性,弘扬个性发展,体验解决问题的成就感，使学生感悟逻辑推理的数学价值.

教学重难点

【教学重点】

理解三角形内角和定理及其简单的应用.

【教学难点】

三角形内角和定理的证明方法.

课前准备

【教师准备】教学导入图片和例题图片.

【学生准备】量角器、三角板等作图工具.

教学过程

一、导入新课

导入一：

师:我们知道，三角形内角和等于多少度？

生：(齐声)三角形的内角和是180°.

师:你们还记得这个结论的探索过程吗？

请看试验:将三角形纸片的三个码剪下，随意将它们拼凑在一起.

b

/一、2

BC

生.：由试验可知三角形的内角和正好为一个平角.

师:但观察与试验得到的结论,并不一定正确、可靠,这样就需要通过数学证明.那么怎样证

明呢?这节课我们一起探究一下三角形内角和定理的证明.（教师板书课题）

［设计意图］对比过去撕纸等探索过程，体会思维试验和符号化的理性作用.将自己的操作

转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难,因此需要一个台阶,使学生逐步过渡到严格的证

明.

导入二：

课件出示《三角形家族的“官司”风波》.

故事导入:很久很久以前的一天，数学国际法庭来了三位告状者，它们是锐角三角形、直角三

角形和钝角三角形.“它们干什么来了？”“是来打官司的.”这不它们在法庭外刚一见面又争

吵起来：

锐角三角形说：“我们锐角三角形的内角和度数最大！”

直角三角形说：“不对!是我们直角三角形的内角和最大！”

钝角三角形说：“你们别吵了!还是我们钝角三角形的内角和最大！”

问题1

【课件1］如果你是法庭庭长,你认为该怎样对它们宣判?为什么？

问题2

【课件2】你们还记得小学是怎样探索三角形内角和的吗?谁能给大家说一说或者展示一

下吗？

问题3

【课件3］小学的证明方法固然好，但是这些方法可靠吗?现在有更加科学严密、更有说

服力的证明方法吗？

［处理方式］学生观察并读出对话及问题.问题1学生能够顺利解决;问题2学生一次回答

出全部答案会有困难,根据学生已有的知识经验,学生间互相补充能够解决,学生边说边在讲台

上演示测量法、折拼法、剪拼法（撕拼法）.学生回答时语言可能不准确，教师及时引导纠正.教师

根据学生回答利用课件展示三种方法.对于问题3,学生通过思考、联想前面所学，应该能够解决.

学生只要能够回答出用推理的方法证明三角形内角和即可,不要求作出具体回答.

1.测量法.

2.折拼法：

3.剪拼法（撕拼法）:

［设计意图］通过学生动手测量、折纸与剪纸等操作让学生获得直接经验,为下面探究推理

证明提供直接经验.

导入三：

出示下面的投影片

工人师傅将凹型零件（图（1））加工成斜面及?与槽底⑺成55°角的燕尾槽（图（2））的程序是：

将垂直的铳刀倾斜偏转35°角（图⑶），就能得到55°的燕尾槽底角.为什么铳刀偏转35°角就

能得到55°的燕尾槽底角呢？

［设计意图］通过问题的解答,再现所学知识,为新知识的接纳做心理和知识上的准备，引

出新课内容.

二、新知构建

11）.探索三角形内角和定理

［过渡语］我们已经知道三角形内角和等于180°,这个定理是怎样证明的呢？

思路一

［活动内容1］证明思路的探索分析.

（多媒体出示）剪拼法图示（动态）：

问题1

【课件1】如图所示,当N/1移到N1的位置时,残边切和边47有何位置关系？为什么？

问题2

【课件2】在剪拼法中，通过移动角拼成了一个平角；如果不实际移动角，那么你还有其他

方法可以达到同样的效果吗？

［处理方式］教师先出示图，学生读题回答.对于问题1可让学生到黑板前指图回答，注意

语言表达及学生指图的准确性,发现不当处,及时强调.问题2可以让学生合作完成.如果有困惑,

教师可作引导.利用课件图形，结合问题1引导学生进行逆向思考：“如果先移动角，那么可以得

到平行线;反过来，如果我们先画出平行线，会得到什么呢？”此时教师在空白△力应'上规范作出

射线必使切48,学生自然推出N1=N4教师追问：“你还可以得到哪些角相等?说说理由.”

学生得出/2=/6后,一个平角自然就摆放在学生眼前了,达到了移角的效果.此时教师顺势引出

辅助线:为了证明的需要，在原来的图形上添作的线叫做辅助线.（教师板书:辅助线）在平面几何

里，辅助线通常画成虚线.

［设计意图］利用剪撕纸得来的直接经验和逆向思维的方式，引导学生初步感悟辅助线的

来源和作用,提高学生分析问题的能力.

［活动内容2］说一说，写一写.

问题1

【课件1】你能用简洁的语言完整地说一说分析思路吗？

问题2

【课件2］你能用数学推理的方法证明它吗？

问题3

【课件3】证明的关键是什么?说说你的想法.

［处理方式］问题1小组交流后学生代表发言,展示交流成果.学生发言时，教师注意提示

学生文字命题的证明步骤以及数学语言表达的规范性.对于问题2,教师引导学生再次明确辅助

线的作法及其相关要求：（1）这里的CD称为辅助线；（2）辅助线通常画成虚线.师生合作,教师规

范完成辅助线的添加后,余下的证明过程由一名学生在黑板上独立完成，其余学生在练习本上写

出完整的证明过程.教师巡视,帮助、鼓励困难学生解决问题.学生板演完成后师生共同评价,评

价时重点强调辅助线的作法及证明过程的规范性.对于问题3,学生回答时,可能语言不准确,教

师及时引导，让学生自主感悟体会到证明的关键是添加辅助线，把三角形内角和转化成一个平

角.

【多媒体展示】已知:如图所示，'ABC.

求证：N/1+N*N力华180°.

证明：如图所示,延长勿至D,过点。作射线CE〃AB,则N1二/1（两直线平行，内错角相等），

N2=N8（两直线平行,同位角相等）.

•・・Nl+N2+/4^=180°（平角的定义），

:.N力+N小N力吠180°（等量代换）.

师:命题“三角形的内角和等于180。”经过了我们严密地推理证明，它是真命题.此时我们

可以理直气壮地称之为三角形内角和定理.

【课件展示】三角形内角和定理:三角形的内角和等于180。.

［设计意图］用平行线的性质定理来推导出三角形内角和定理,让学生再次体会推理证明

的严密性和数学的严谨.同时让学生初步理解添加辅助线的原因及添加辅助线的注意事项，培养

学生的分析能力和逻辑推理能力.

思路二

［过渡语］根据上面给出的基本事实和三角形内角和定理，你能用自己的语言说一说这一

结论的证明思路吗?你能用较为简洁的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流.

接下来同学们来证明:三角形的内角和等于180°这个真命题.这是一个文字命题，证明时需

要先干什么呢？

生:需要先画出图形,根据命题的条件和结论,结合图形写出已知、求证.

师：对，下面大家来证明，哪位同学上黑板给大家板演呢？

A

/E

生1：已知:如图所示，△板：BCD

求证：/力+N/N4的180°.

证明：作鸵的延长线CD,过点。作射线CE〃AB,

则/力层N/l（两直线平行，内错角相等），N比%N8（两宜线平行，同位角相等）.

VZJ6^-Z/f6^Z^6Z^180°（平角的定义），

・•・N/+N*/力吠180°（等量代换）.

生2:老师,我的证明过程是这样的：

证明:作函的延长线CD,悍乙EC24B,则优〃48（同位角相等,两直线平行），

・•・乙4=/力困两直线平行，内错角相等）.

■:NAC//ACE+NECD=180°（1平角=180。）,

:./力吠N4+N后180°（等量代换）.

师：同学们写的证明过程都很好,在证明过程中,我们仅仅添画了一条射线笫使处于原三角

形中不同位置的三个角，巧妙地拼“凑”到了一起.为了证明的需要，在原来的图形上添画的线

叫做辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成虚线.

我们通过推理的过程，得证了命题:三角形的内角和等于1800是真命题，这时称它为定理,

即三角形内角和定理.

⑵、想一想，做一做

【问题】你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗？

［处理方式］学生先尝试独立完成，教师巡视引导.绝大多数学生会想到图形（1）的方法.对

于图形（2）,可能只有少数学生想到或者全体学生都想不到.当只有少数学生想到时，教师指名学

生说说方法和理由.如果全体学生都想不到,教师可以追问：“我们移动其中一块,能否得到平行

线呢？”并引导学生摆出图形（2）.结合图形（2）,学生会恍然大悟:应该如何添加辅助线,进而解

决图形（2）的证明过程.教师巡视时,有意识寻找证明过程正确规范的作业,全班展示、评价.

【参考答案】

证法1：过点A作施〃比.

,:DE〃BC,

・・・N『NAN2=NC（两直线平行，内错角相等）.

VZ1+Z2+Z3=18O°（平角的定义），

・・・/胡3/班/仁180°（等量代换）.

证法2:过点力作月〃〃必

'：AD〃BC,

•••N1=N8（两直线平行，内错角相等），/的GN伉180°（两直线平行，同旁内角互补）.

又・・・N%3N1+N2,

•••N1+N2+N信180°（等量代换），

・•・/班3N*Nei800（等量代换）.

［设计意图］通过学生独立运月较简单的方法证明三角形内角和定理，感受体会“辅助线”

的作法和作用，提高一题多解的能力，体会思维的多样性和基本的转化思想.

⑶、议一议

【问题】综上所述,添加辅助线的目的是什么?你是怎样理解辅助线的？

［处理方式］教师先快速地展示三种辅助线的添加图形,学生结合图片先在小组内讨论交流，

形成小组成果，然后全班交流、随时互评.学生讨论时,教师参与其中，倾听学生的讨论，引导学生

从辅助线的作用、作法、要求去交流.学生通过观察图形得出：添加辅助线的目的是构造180°

的平角或同旁内角.

【课件展示】添加辅助线的目的：

|添加辅助线

三角形内角和|睡|平角、同旁内角

【教师总结】（1）辅助线通常画成虚线；（2）辅助线要正确、规范地写出作法,并标明字母,

便于书写证明过程；（3）辅助线能把题目中可利用的隐藏条件显露出来，化难为易.

为便于学生掌握，总结四句话:小小辅助线，作时画虚线,写清其来源,隐藏条件见.

［设计意图］添加辅助线是教学中的••个难点，学生通过思考、讨论、交流对辅助线的认识,

展示思维过程,然后在老师的引导下达成共识,进一步加深了对辅助线的理解，易于突破教学难

点,提高学生解决问题的能力.

14)、探究活动

刚才同学们对辅助线掌握得很好.接下来,我将平角或同旁内角的位置移动或者改造一下,

使它再有一些难度,看谁还能攻克它？

［处理方式］教师先出示图(1)：思考:怎样添加辅助线?学生思考讨论，由于图形较直观，学

生能够解决辅助线的添加问题;学生完成后教师出示图(2);为便于学生叙述证明过程，教师再出

示图(3).学生根据图(3)口述证明过程.学生在口述证明过程时,教师注意数学语言表达的规范

性和推理证明的逻辑性.

⑴

⑵

(3)

［设计意图］用多种方法证明三角形内角和定理,培养一题多解的能力，同时提高学生添

加辅助线的技能、技巧，提高解决问题的能力.

15）、典例解析，应用新知

［活动内容1］通过刚才的学习，同学们不仅知道了辅助线，而且利用它用多种方法证明了

三角形内角和定理,你们觉得学了这些知识,能解决哪些问题呢?

【课件展示】

例1如图所示，在△四C中，/庐38°,/俏62°,力〃是A/IAC的角平分线，求4"的度数.

［处理方式］学生先结合图形读题，指图说出已知条件和要解决的问题，然后说说分析思路

及求解过程,最后学生板演，师生共同评价.如果学生有困难,可以先在小组.内讨论交流.

在学生板演时,教师巡视指导,帮助、鼓励学困生完成任务.集体评价时,教师强调证明过程

的规范性和严谨性.

解:在比中，胡俏180。（三角形内角和定理）.

•・•/庐38°,N俏62°（已知），

・•・/为0180°-38°-62°=80°（等式的性质）.

•・）〃平分/胡。（已知），

:./BAA/CA吟NBA吟X8G。=40°（角平分线的定义）.

在△力如中，/加/的升/力腔180°（三角形内角和定理）.

•・•/比38°（已知），/仍止40°（已证），

；•4A吐1800-38°-40°=1U2#（等式的性质）.

［设计意图］学生通过三角形内角和定理的简单应用,及时加深了对所学知识的理解,规范

学生的证明过程，培养了学生良好的学习数学的习惯.

三、课堂总结

运用辅助线将原三角形中处

于不同位置的三个内角集中

证明的基

a在一起•拼成一个平角.辅助

本思想

线是联系命题的条件和结论

的桥梁

四、课堂练习

1.三角形三个内角的和等于

答案：180°

2.如下图所示的是三角形内角和定理的几种证明方法,可分别记作法,法,

答案:拼凑作平行线折叠

3.如图所示，49是2胡。的平分线，若/力麻110。，且/力e/以求的三个内角的

度数.

解：・・・/力屐110°,N为右NC：.ZC=~=35°，,N胡伍2/加俏2N俏70°,・•・/

庐180°-70°-35°=75：

4.在△力8。中，N4：NS：N6M：3：5,求N4NB,NC的度数.

解:设N4N氏NC的度数分别为x,3x,5%

则X+-3A+5A=180°,

解得年20°,

・・・/力=20°，/庐60°,N俏100°.

五、板书设计

第1课时

1.探索三角形内角和定理

2.想一想，做一做

3.议一议

4.探索活动

5.典例解析,应用新知

六、布置作业

【必做题】教材随堂练习第2,3题.

【选做题】教材习题7.6第5题.

第2课时三角形的外角

教学目标

【知识与技能】

掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明.

【过程与方法】

体会几何中不等关系的简单证明过程,引导学生从内和外、相等和不相等的不同角度对三角形做

更全面的思考.

【情感态度价值观】

通过积极参与课堂练习，培养学生积极思考及与他人交流合作的学习习惯，同时培养学生大胆猜

忠、勇于探索数学问题的兴趣和信心.

教学重难点

【教学重点】

掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明.

【教学难点】

灵活应用三角形内角和定理的推论解决简单的问题.

课前准备

课件

教学过程

第一环节：情境引入

活动内容：

在证明三角形内角和定理时，用到了把4ABC的一边BC延长得到NACD,这个角叫做什么角呢？

下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质.

活动目的：

引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣.

注意事项：

教师应在学生充分展示自己的意见之后，有意识地引导学生从三角形的外角的角度进行思,考.

第二环节：探索新知

活动内容：

①三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形.的外角，结合

图形指明外角的特征有三：

(1)顶点在三角形的一个顶点上.

(2)一条边是三角形的一边.

(3)另一条边是三码形某条边的延长线.