111(1)等腰三角形的性质（备作业）2021-2022学年八年级数学下册(北师大版)

1.1.1(1)等腰三角形的性质一、单选题1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠C的度数为（）A．80° B．60° C．50° D．40°【答案】C【分析】由题意易知∠B=∠C，进而问题可求解．【解析】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠B=∠C=50°；故选C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．2．如果的一个外角等于，且，则（）A． B． C． D．或【答案】D【分析】根据三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可以得到：（1）当这个150°的外角为顶角的外角时，则这个等腰三角形的顶角为30°；（2）当这个150°的外角为底角的外角时，可以得到这个等腰三角形的顶角为180°−30°−30°＝120°．【解析】分两种情况：（1）当这个150°的外角为顶角的外角时，则这个等腰三角形的顶角∠A为30°；

（2）当这个150°的外角为底角的外角时，可以得到这个等腰三角形的顶角∠A为180°−30°−30°＝120°．故选：D．【点睛】本题主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据作图和等腰三角形的判定，逐项分析判断【解析】解：A，根据作图可知，，△ACD为等腰三角形，不符合题意；B.根据作图，是的角平分线，不能判定△ACD为等腰三角形，符合题意；C.根据作图可知，点在的垂直平分线上，，△ACD为等腰三角形，不符合题意；D.根据作图可知，则，△ACD为等腰三角形，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，尺规作图，作线段，作角平分线，作中垂线，作一个角等于已知角，能掌握基本作图和等腰三角形的判定是解题的关键．4．如果等腰三角形的腰比底长3，其周长为30，则底边长为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】设等腰三角形的底边长为：则腰长为：再根据三角形的周长列方程，解方程可得答案.【解析】解：设等腰三角形的底边长为：则腰长为：故选：【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键.5．如果等腰三角形的一个角等于62度，则它的底角是（）度A．62 B．59 C．62或59 D．62成56【答案】C【分析】根据题意，分已知角是底角和不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于，分析可得答案．【解析】解：根据题意，等腰三角形的一个角等于62度，当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是，当这个角为顶角时，设等腰三角形的底角为，则，解得：，即该等腰三角形的底角为：，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和，列出方程求解是解答本题的关键．6．等腰三角形两边a，b满足，则此三角形的周长是（）A．7 B．5 C．8 D．7或5【答案】A【分析】根据非负数的性质，列出方程组，进而求得的值，进而根据题意分类讨论，即可求得答案．【解析】解得当为等腰三角形的腰时，，不能构成三角形；当为等腰三角形的腰时，等腰三角形的周长为：．故选A．【点睛】本题考查了非负性的性质，解二元一次方程组，等腰三角形的定义，三角形三边关系，掌握以上知识是解题的关键．7．如图，中，，D、E分别是两点，且，连接．则的度数为（）度·A．45 B．52.5 C．67.5 D．75【答案】C【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC=∠C=75°，然后求出∠DBC=180°∠BCD∠BDC=30°，∠DBE=45°，由此求解即可．【解析】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠ABC+∠C+∠A=180°，∠A=30°，∴∠ABC=∠C=75°，∵BD=BC=DE，∴∠BED=∠BDE，∠BCD=∠BDC=75°，∴∠DBC=180°∠BCD∠BDC=30°，∴∠DBE=45°，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的性质．8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（）A． B． C． D．或【答案】D【分析】此题需要分情况讨论：等腰角形的顶角是钝角，等腰三角形的顶角是锐角，分别画出图形进行求解即可．【解析】如图1

；

如图2

，故顶角．故选D【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．9．如图，在中，，过点A作，若，则的大小为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行线的性质求出∠C，根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C=70°，根据三角形内角和定理求出即可．【解析】∵，

∴，∵，∴，∵∴，∵，∴，即，∴．故选B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠C的度数和得出∠B=∠C，注意：三角形内角和等于180°，两直线平行，内错角相等．10．如图，，等边的顶点B在直线m上，边与直线m所夹锐角为，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点C作直线CE∥m，由平行线的性质、等边三角形的性质及等量代换可求得答案．【解析】解：如图，过点C作m，∵，∴，∴，，∵是等边三角形，∴，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和等边三角形的性质．二、填空题11．等腰三角形一个角为50°，则此等腰三角形顶角为___________．【答案】50︒【分析】已知没有给出50°的角是顶角和是底角，所以要分两种情况进行讨论．【解析】解：分为两种情况：当50°是顶角时，顶角为50°当50°是底角时，其顶角是180°50°×2=80°故答案为：50︒或80︒【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．12．已知等腰三角形的两边长为3和6，则它的周长为_____．【答案】15【分析】分两种情况：当3为底时和3为腰时，再根据三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边去掉一种情况即可．【解析】解：当3为底时，三角形的三边长为3，6，6，则周长为15；当3为腰时，三角形的三边长为3，3，6，∵3+3＝6，∴3，3，6不能组成三角形，综上所述，等腰三角形的三边长为3，3，6，周长为15；故答案为：15．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系定理，是基础知识，要熟练掌握．注意分类讨论思想的应用．13．如图，，若AD平分，则AD与BC的位置关系是_______．【答案】【分析】根据，AD平分，等腰三角形三线合一性质可得AD⊥BC即可．【解析】解：∵，AD平分，∴AD⊥BC，∴AD与BC的位置关系是AD⊥BC．故答案为AD⊥BC．【点睛】本题主要考查等腰三角形顶角平分线底边中线，底边高线三线互相重合性质、熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．14．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAD=20°，则∠CDE度数是_______度．

【答案】10【分析】根据三角形外角定理得出∠EDC+∠C=∠AED，进而求出∠C+∠EDC=∠ADE，再利用∠B+∠BAD=∠ADC，进而利用已知求出即可．【解析】解：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠EDC+∠C=∠AED，∴∠C+∠EDC=∠ADE，又∵∠B+∠BAD=∠ADC，∴∠B+20°=∠C+∠EDC+∠EDC，∵∠B=∠C．∴2∠EDC=20°，∴∠EDC=10°．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了三角形外角定理以及角之间等量代换，利用外角定理得出∠C+∠EDC=∠ADE是解决问题的关键．15．已知等腰三角形的两个底角相等，并且一腰上的高与另一腰的夹角为，则其顶角的度数为__________度．【答案】或【分析】分两种情况讨论：如图，当等腰三角形为钝角三角形时，如图，当等腰三角形为锐角三角形时，再利用三角形的外角的性质或直角三角形两锐角互余可得答案.【解析】解：如图，当等腰三角形为钝角三角形时，如图，当等腰三角形为锐角三角形时，故答案为：或【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的外角的性质，直角三角形两锐角互余，掌握清晰的分类讨论是解题的关键.16．一等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，那么这个三角形的周长为________．【答案】或【分析】先画出图形，根据图形结合已知写出条件，再分两种情况讨论：根据一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，构建方程，再解方程可得答案.【解析】解：如图，为等腰三角形，设则当时，解得：当时，解得：故答案为：或【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的中线的性质，清晰的分类讨论是解题的关键.17．已知：如图，中，，，，则_______．【答案】【分析】设则再利用三角形的外角的性质依次表示再利用三角形的内角和定理列方程，从而可得答案.【解析】解：设则故答案为：【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，掌握利用三角形定理及三角形的外角的性质列方程是解题的关键.18．如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，P为射线OC上一点，如果射线OA上的点D满足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度数为______【答案】120°或75°或30°##120°或30°或75°##75°或120°或30°##75°或30°或120°或75°或120°或120°或75°【分析】根据当△OPD是等腰三角形,分三种情况讨论进而根据等腰三角形的性质即可求得∠ODP的度数【解析】解：∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC=30°，①当D在D1处时，OD=PD，∴∠AOP=∠OPD=30°，∴∠ODP=180°30°30°=120°；②当D在D2处时，OP=OD，则∠OPD=∠ODP=×（180°30°）=75°；③当D在D3处时，OP=DP，则∠ODP=∠AOP=30°．综上，当△OPD是等腰三角形时，∠ODP的度数为120°或75°或30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．三、解答题19．如图，求等腰三角形ABC的面积．【答案】【分析】直接利用等腰三角形的性质结合勾股定理得出BD，DC的长，进而得出等腰三角形ABC的面积．【解析】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AC=BC，DC⊥AB，∴AD=BD=AB=3cm，∵BC=5cm，∴DC==4（cm），∴等腰三角形ABC的面积为：×4×6=12（cm2）．【点睛】本题主要考查了勾股定理以及等腰三角形的性质，正确得出等腰三角形的高是解题关键．20．（1）已知：如图（甲），等腰三角形的一个内角为锐角，腰为a，求作这个等腰三角形；（2）在（1）中，把锐角变成钝角，其他条件不变，求作这个等腰三角形．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．【分析】（1）分成是顶角和顶角两种情况进行讨论，当是底角时，首先作一个∠A＝，在一边上截取AB＝a，然后过B作另一边的垂线BR，然后在AR的延长线上截取RC＝AR，连接BC，即可得到三角形，当是顶角时，作∠D＝，在角的两边上截取DE＝DF＝a，则△DEF就是所求三角形；（2）作∠M＝，在角的边上截取MN＝MH，则△MNH就是所求．【解析】（1）如图所示：△ABC和△DEF都是所求的三角形；（2）如图所示：△MNH是所求的三角形．【点睛】本题考查了三角形的作法，正确进行讨论，理解等腰三角形的性质：三线合一定理，是关键．21．已知：如图，在中，是腰上的高．求证：．【答案】证明见解析【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的内角与外角的关系得到∠DAC＝30°．在直角△ACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半解得CD的长．【解析】证明：在中，∵，∴（等边对等角）．∴．∵是腰上的高，∴．∴（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．∴．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角．三角形的内角与外角的关系以及直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半．22．求证：如果等腰三角形的底角为，那么腰上的高是腰长的一半．【答案】证明见解析【分析】根据等腰三角形的性质证明即可．【解析】证明：如图：，，，，在直角三角形中，．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是要构造直角三角形，利用直角三角形中对应的边等于斜边的一半即可．23．如图，在中，，平分，交于点D．若，则等于多少度？【答案】【分析】题中相等的边较多，且都是在同一个三角形中，因为求“角”的度数，将“等边”转化为有关的“等角”，充分运用“等边对等角”这一性质，再联系三角形内角和为180°求解此题．【解析】解：∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，又∵∠BDC＝∠A＋∠ABD，∴∠C＝∠BDC＝2∠A，又∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴∠A＋2∠C＝180°，把∠C＝2∠A代入等式，得∠A＋2×2∠A＝180°，解得∠A＝36°.【点睛】本题反复运用了“等边对等角”，将已知的等边转化为有关角的关系，并联系三角形的内角和及三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质求解有关角的度数问题．24．已知：如图，．求证：是等腰三角形．【答案】证明见解析【分析】根据全等三角形的判定定理得到△ABD≌△DCA，根据全等三角形的性质、等角对等边证明结论．【解析】证明：∵，∴．∴（全等三角形的对应角相等）．∴（等角对等边）．∴是等腰三角形．【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．如图，在中，平分，交于点D，过点D作，交于点E，请判断的形状，并说明理由．【答案】等腰三角形，理由见解析．【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠DBC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDB=∠DBC，从而得到∠ABD=∠EDB，再根据等角对等边解答．【解析】解：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∵DE//BC，

∴∠EDB=∠DBC，

∴∠ABD=∠EDB，

∴BE=DE，

∴△BDE是等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟记等腰三角形的判定方法是解题的关键．26．如图，在中，，点D，E都在边上，且，那么与相等吗？请证明你的结论．【答案】，证明见解析．【分析】由等腰三角形的性质得出，，证明，得出，进而得出结论．【解析】解：，理由如下：，，，，即，在和中，，，，，即．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等．27．证明：等腰三角形两底角的平分线相等．已知：如图，在中，，和是的角平分线．求证：．【答案】见解析【分析】由于AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线，利用等边对等角，角平分线定义，可得∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ECB，而BC＝CB，利用ASA可证△BDC≌△CEB，再利用全等三角形的性质可证BD＝CE．【解析】证明：∵，∴（等边对等角）．∵分别平分和，∴，．∴．在和中，∵，∴．∴（全等三角形的对应边相等）．【点睛】考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．28．如图，已知，求的度数．【答案】【分析】由∠B=20°，根据三角形内角和公式可求得∠BA1A的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质找∠BA1A与∠A4的关系即可解答．【解析】解：∵AB=A1B，∠B=20°，∴∠A=∠BA1A=（180°∠B）=（180°20°）=80°，∵A1C=A1A2，A2D=A2A3，A3E=A3A4，∴∠A1CD=∠A1A2C，∵∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠BA1A=2∠CA2A1=4∠DA3A2=8∠A4，∴∠A4=10°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角与内角的关系及等腰三角形的性质的综合运用．充分利用外角的性质确定∠BA1A与∠A4的关系是解答本题的关键．29．在△ABC中，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连接DE．（1）如图①，已知∠BAC=90°，∠BAD=60°，求∠CD