福建省泉州市四校联盟2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

南星中学､泉港二中､晋江陈埭民族中学､福师大泉州附中四校联盟20232024学年度下学期期中考高二年段数学学科试卷考试时间：120分钟，满分150分，命卷人：康湫婉审核人：谢辉阳一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1.曲线在处的切线与直线平行，则的值为（）A.1B.2C.3D.42.二项式的展开式中含项的系数为（）A.B.C.D.3.元宵节是中国传统节日，当天人们会吃汤圆､赏花灯､猜灯谜.小明爸爸手里有6个灯谜，其中4个事物谜，2个字谜，小明随机抽取2个灯谜，事件为“取到的2个为同一类灯谜”，事件为“取到的2个为事物谜”，则（）A.B.C.D.4.中国古代中的“礼､乐､射､御､书､数”合称“六艺”.为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“礼”在第一次，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（）A.48种B.36种C.24种D.20种5.设随机变量，若，则（）A.B.C.2D.16.若，则的值为（）A.45B.55C.120D.1657.函数的图象大致是（）A.B.C.D.8.已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.已知离散型随机变量的分布列如下所示，则下列结论正确的是（）213A.B.C.D.10.已知，则下列结论正确的是（）A.展开式中二项式系数最大项为第1012项B.展开式中所有项的系数和为1C.D.11.已知函数在处取得极值，则下列结论正确的是（）A.B.C.函数的图像与直线只有一个公共点D.对任意的三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.设是等差数列的前项和，若，则__________.13.中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲､乙等6名航天员开展实验，三个实验舱每个至少一人至多三人，则不同的安排方法有__________种.（用数字作答）14.近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线.他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单，某外卖小哥每天来往于个外卖店（外卖店的编号分别为，其中，约定：每天他首先从1号外卖店取单，称为第1次取单，之后，他等可能的前往其余个外卖店中的任何一个店取单，称为第2次取单，依此类推.假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的个外卖店取单.设事件表示“第次取单恰好是从1号店取单是事件发生的概率，显然，则__________，与的关系式为__________.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（13分）已知是公差不为0的等差数列，若是等比数列的连续三项.（1）求数列的公比；（2）若，数列的前项和为且，求的最小值.16.（15分）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球､2个白球，乙箱中有4个红球､1个白球.（1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；（2）抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率；（3）在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率.17.（15分）已知函数（为常数）（1）讨论函数的单调性；（2）不等式在上有解，求实数的取值范围.18.（17分）某冰糖橙是甜橙的一种，以味甜皮薄著称.该橙按照等级可分为四类：珍品､特级､优级和一级.某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱（每箱有），利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：等级珍品特级优级一级箱数40301020（1）若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是一级品的概率；（2）利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考：方案一：不分等级出售，价格为27元；方案二：分等级出售，橙子价格如下表.等级珍品特级优级一级价格/（元）36302418从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，表示抽取的珍品的箱数，求的分布列及均值.19.（17分）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.（1）证明：；（2）设，证明：；（3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围.南星中学、泉港二中、晋江陈埭民族中学、福师大泉州附中四校联盟20232024学年度下学期期中考高二年段数学学科试卷参考答案1.C【详解】解：由得，因为曲线在处的切线与直线平行所以，解得.故选：C.2.B【详解】由二项式定理可知，的展开式的通项为，令，解得，所以，所以二项式的展开式中含项的系数为.故选：B.3.B【详解】由题意可得，，所以，故选：B.4.A【详解】依题意，“礼”在第一次，固定，“射”和“御”两次相邻，两者捆绑，与另外3艺进行排列，所以“六艺”讲座不同的次序共有种，故选：A5.A【详解】即，所以，故选A.6.【答案】D【详解】因为，则，解得，故.故选：.7.D【详解】，则是偶函数，图象关于轴对称，排除C，当且，排除A，当时，，则，，则有两个不同的零点，即当时，函数至少有三个单调区间，排除故选：D.8.D【详解】因为函数是定义在上的偶函数，，所以，则，又因为函数也是偶函数，所以，得，因为为减函数，为增函数，所以为减函数，令，得，所以时，在上单调递减，根据偶函数的性质可知，函数在上单调递增，所以，即，即，得或，所以不等式的解集为.故选：D9.【答案】BD【详解】对于，由分布列的性质可得，解得，故错误；对于，故B正确；对于，故C错误；对于D，，故D正确.故选：BD.10.【答案】BCD【详解】对于，由二项展开式中的二项式系数性质可知二项式系数最大为，易知应为第1013项，即A错误对于，令，可得，即展开式中所有项的系数和为1，可得正确；对于，令，可得，令，可得，所以，即C正确；对于，将等式两边同时求导可得，，再令，可得，即D正确.故选：BCD11.ACD【详解】对于，因为函数在处取得极值，所以，解得，故A正确.即对于，因为真数，所以所以，欲证，只需证因为，定义域为所以，令，解得所以当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以，即，所以，即，故B错误对于，欲证与只有一个交点，只需证只有一个根，即证只有一个根，即只有一个根，由上述可得在递减，在递增，所以，故C正确对于，由上述得恒成立，即恒成立，所以当时，，即因为所以且所以，即证，故D正确故选：ACD.12.10【详解】因为为等差数列，所以，所以.故答案为：10.13.450【详解】若6名航天员三个实验舱，三个实验舱每个至少一人至多三人，若每组人数分别为，共有种，若每组人数分别为，共有种，综上所有不同的安排方法共有.故答案为：45014.；【详解】根据题意，事件表示“第3次取单恰好是从1号店取单”，因此同理.故答案为：.15.（满分13分）【详解】（1）设等差数列的公差为，由是等比数列的连续三项，得即，化简得..设数列的公比的公比为，则.（2）若，则，.由，得，故的最小值为1011.16.（满分15分）【详解】（1）记事件表示“抽出的2个球中有红球”，事件表示“两个球都是红球”，则，故（或直接用也给5分）（2）设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”（3）在（2）的条件下.（公式2分，计算1分）17.（满分15分）【详解】（1）的定义域为，，当时，，所以在上单调递增，当时，令，解得，若，则，所以在上单调递增，若，则，所以在上单调递减，综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减（2）在上有解在上有解，在上有解，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，且所以，所以，故实数的取值范围是.18.（满分17分）【详解】（1）设“从这100箱橙子中随机抽取1箱，抽到一级品”为事件，则，现有放回地随机抽取4箱，设抽到一级品的箱数为，则，所以恰好有2箱是一级品的概率为.（2）设方案二中每千克橙子的价格为元，则，因为，所以从采购商的角度考虑应该采用方案一.（3）用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱，再从中随机抽取3箱，则珍品的箱数服从超几何分布，其中，.的分布列为：0123.19.（满分17分）【详解】（1）设，则.当时，：当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.因此，，即.（2）由泰勒公式知，①于是，②由①②得，，所以.即.